1、B題長(zhǎng)途列車食品的價(jià)格方案摘 要列車要的就餐問(wèn)題一直是一個(gè)棘手的問(wèn)題，服務(wù)方依靠得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)以高出市場(chǎng)幾倍價(jià)格出售食品，簡(jiǎn)直就是暴力壟斷。而乘客往往有一個(gè)價(jià)格承受上限，隨著價(jià)格的繼續(xù)增加，超過(guò)這個(gè)上限，乘客將會(huì)放棄購(gòu)買，往往會(huì)自己自帶食物如方便面、面包等。所以，服務(wù)方的銷售效益會(huì)隨著乘客的購(gòu)買量以及銷售價(jià)格而變化。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，在這個(gè)模型中，我們將售價(jià)、需求量、成本作為數(shù)學(xué)決策變量，將利潤(rùn)作為目標(biāo)函數(shù)，在約束條件下，求出利潤(rùn)的最大值。本文通過(guò)分析火車上盒飯和方便面的銷售情況，對(duì)實(shí)際火車上快餐銷售進(jìn)行摸擬，根據(jù)價(jià)格與銷售量的關(guān)系，運(yùn)用供求理論建立微分方程模型，求解微分方程

2、，從理論上求解出盒飯和方便面的銷售量與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系。再利用數(shù)學(xué)公式：效益 銷售量單價(jià)-成本，計(jì)算出火車快餐銷售的最大利潤(rùn)。對(duì)于本題我們利用微分方程，先找出早餐、盒飯和方便面銷售量與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)分別為價(jià)格上漲時(shí)，早餐、盒飯和方便面的銷售量單位價(jià)格減少率。分別為早餐、盒飯和方便面的成本價(jià)。根據(jù)微分方程模型，得到早餐、盒飯和方便面的銷售量與其相應(yīng)價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系為：，。同時(shí)，我們假設(shè)q0=5;q1=10;q2=3;均為市場(chǎng)價(jià)格。此時(shí)餐飲均是需求大于供給，所以此時(shí)為最大需求量x0=500;y0=200;z0=100。可得利潤(rùn)：。由于我們不知道銷售量減少率，因此，我們可以通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查得

3、出減少率的穩(wěn)定值。最后可以算出最大利潤(rùn)。關(guān)鍵詞：微分方程 微分函數(shù) matlab一、問(wèn)題重述長(zhǎng)途列車由于時(shí)間漫長(zhǎng)，需要提供車上的一些服務(wù)。提供一天三餐是主要的服務(wù)。由于火車上各方面的成本高，因此車上食物的價(jià)格也略高。以T238次哈爾濱到廣州的列車為例，每天早餐為一碗粥、一個(gè)雞蛋及些許咸菜，價(jià)格10元；中午及晚上為盒飯，價(jià)格一律15元。由于價(jià)格偏貴，乘客一般自帶食品如方便面、面包等。列車上也賣方便面及面包等食品，但價(jià)格也偏貴。如一般售價(jià)3元的方便面賣5元。當(dāng)然，由于列車容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，適當(dāng)提高價(jià)格是正常的。但高出的價(jià)格應(yīng)有一個(gè)限制，不能高得過(guò)頭。假如車上有乘客1000人

4、，其中500人有在車上買飯的要求，但車上盒飯每餐只能供給200人；另外，車上還可提供每餐100人的方便面。請(qǐng)你根據(jù)實(shí)際情況設(shè)計(jì)一個(gè)價(jià)格方案， 使列車在用餐銷售上效益最大。二、問(wèn)題分析1.價(jià)格增長(zhǎng)利潤(rùn)增加同時(shí)導(dǎo)致要求購(gòu)買的人數(shù)下降。2.價(jià)格降低利潤(rùn)減小同時(shí)導(dǎo)致要求購(gòu)買的人數(shù)上升。3.存在最優(yōu)的價(jià)格使得列車上的東西全都售出同時(shí)獲得最大效益。4. 火車快餐價(jià)格提的越高，人們的需求量就越小，直到達(dá)到兩者的平衡點(diǎn)。而選擇火車快餐的群體一般是那些收入較高的群體。5.這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵在找到最優(yōu)的價(jià)格。三、問(wèn)題假設(shè)1.列車上早餐可以供給500份；2.列車上除早餐外，午餐和晚餐只提供方便面與盒飯兩種食物；

5、3.列車上的食物的成本價(jià)為市場(chǎng)價(jià)格；4.每位乘客早餐只需要早餐、午餐及晚餐只需要一盒盒飯或一袋方便面；四、變量說(shuō)明C一份早餐的銷售價(jià)格C1一份盒飯的銷售價(jià)格C2一袋方便面的銷售價(jià)格早餐上漲時(shí)，單位價(jià)格銷售量減少率盒飯上漲時(shí)，單位價(jià)格銷售量減少率方便面價(jià)格上漲時(shí)，單位價(jià)格銷售量減少率X(c)早餐價(jià)格為c時(shí)，早餐銷售量Y(c1)盒飯價(jià)格為c1每餐盒飯銷售量Z(c2)方便面價(jià)格為c2時(shí)，每餐方便面銷售量早餐成本價(jià)盒飯成本價(jià)方便面成本價(jià)W總收入W0早餐收入W1盒飯收入W2方便面收入W3純利潤(rùn)五、模型建立與求解因?yàn)樵诨疖嚿?，餐飲量不?huì)受到外界多大干擾，所以每餐的銷售量不會(huì)有太多偏差。因此，我們可以對(duì)一頓

6、飯做相應(yīng)研究，從而得到最大收益。1.銷售量與銷售價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系：當(dāng)早餐價(jià)格由c上漲到c+時(shí)，單位價(jià)格銷售量減少率為：整理得：；進(jìn)一步推導(dǎo)得：當(dāng)c=q0時(shí)銷售量x(c)=x0,于是可以建立方程：則該初值問(wèn)題的解為：。當(dāng)c為早餐成本價(jià)時(shí)，需求量大于供給量，因此所有的早餐都賣光，此時(shí)x(c)=500,則函數(shù)方程為：。大體圖像如下：的大致圖像如下：因?yàn)椋菏杖?銷售價(jià)格*銷售量,所以，在此假設(shè)q0=5;q1=10;q2=3;均為市場(chǎng)價(jià)格。此時(shí)餐飲均是需求大于供給，所以此時(shí)為最大需求量x0=500;y0=200;z0=100;可得：要求w3的最大值，即是求w0,w1,w2的最大值，則分別對(duì)上述方程一次

7、求導(dǎo)，得： 因此要取得最大收入，就要知道銷售量減少率，求列車快餐的最大收入，可以運(yùn)用調(diào)查問(wèn)卷的方法來(lái)確定銷售量減少率、和的值。例如：早餐銷售量單位價(jià)格減少率，則制定早餐價(jià)格c=5元,早餐收入為：2500元，盒飯銷售量單位價(jià)格減少率為，則制定盒飯價(jià)格為c1=20元，此時(shí)盒飯收入為4840元：，方便面銷售量單位價(jià)格減少率為，則制定方便面價(jià)格為c2=4元，此時(shí)方便面收入為：623元，最大利潤(rùn)：。若取得，則用matlab繪制早餐、盒飯、方便面收入與定價(jià)的關(guān)系圖像如下：（1） 早餐收入圖取區(qū)間（4,40）：（2） 盒飯收入圖取區(qū)間（10,40）：（3） 方便面收入圖取區(qū)間（3,20）：六、結(jié)果分析1.模

8、型的優(yōu)點(diǎn)模型是通過(guò)建立微分方程得到價(jià)格與銷售量之間的關(guān)系，再根據(jù)收入=價(jià)格*銷售量，得到收入與銷售量減少率及價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系。該模型的銷售量減少率為穩(wěn)定值，可以通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查得出。該模型簡(jiǎn)單，容易理解，但是沒(méi)有考慮到銷售量減少率可能會(huì)隨著價(jià)格的變動(dòng)而改變。 2.模型的缺點(diǎn) 對(duì)于本題我們還沒(méi)有考慮到餐飲如果沒(méi)有賣出是否有有降價(jià)處理的可能性，同時(shí)也沒(méi)有考慮列車中間停站時(shí)，乘客會(huì)下車購(gòu)買食物。以及火車還可能提供其他食物。因此，該問(wèn)題還需進(jìn)行改進(jìn)與優(yōu)化。3.模型的推廣本模型可以為長(zhǎng)途列車上餐飲問(wèn)題對(duì)的分配問(wèn)題帶來(lái)幫助，可以大致計(jì)算出需求及供給的關(guān)系，然后計(jì)算出大致結(jié)果。這樣既方便了乘客，同時(shí)也為餐飲運(yùn)營(yíng)商帶來(lái)最大利益。七、參考文獻(xiàn)1張志涌，楊祖櫻. MATLAB教程. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社,2011.2 熊偉.運(yùn)籌學(xué)M，武漢.武漢理工大學(xué) 戴朝壽，孫世良編著.數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程.北京：高等教育出版社；20073李伯德編著.數(shù)學(xué)建模方法.甘肅教育出版社；20064高隆昌，楊元著.數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)理論.科學(xué)出版社；20075沈繼紅等編著.數(shù)學(xué)建模.哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)出版社；19985李志林編著.數(shù)學(xué)建模典型案例分析.北京:化學(xué)工業(yè)出版社；2007 6羅守權(quán)、卓巖.經(jīng)濟(jì)學(xué)原理.北京:首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)出版社，2004，第一版八、附錄程序1c=4:0.1:4