1、二面角的兩類常見(jiàn)三棱錐模型及兩種特殊求角的技巧重慶八中 陳發(fā)幫一問(wèn)題的提出二面角是高中立體幾何中三類空間角中難度最大的一類，它也是歷年高考中必考的一個(gè)重要考點(diǎn).由于呈現(xiàn)出這一考點(diǎn)的幾何情景和幾何模型千姿百態(tài)，尤其是當(dāng)對(duì)應(yīng)二面角的兩個(gè)半平面均不在水平位置或當(dāng)二面角的平面角為鈍角時(shí)，學(xué)生把握起來(lái)較為困難.難點(diǎn)突出表現(xiàn)為：一是，視角識(shí)別困難，立體幾何圖形的視角不同，字母排列順序不同，會(huì)造成視角障礙，牽制學(xué)生的思維，立體幾何的大題往往設(shè)置二至三個(gè)小題，二面角的考察一般放在第二或第三個(gè)小題，在考場(chǎng)時(shí)間有限的情況下，當(dāng)解決好前面的一至二小問(wèn)后，所給的立體幾何圖形已經(jīng)被標(biāo)示得“體無(wú)完膚“，這個(gè)時(shí)候，迅速識(shí)別

2、所給二面角的兩個(gè)半平面，并將注意力集中于此是相當(dāng)必要的。二是，高考中二面角的平面角的作法常常有以下三種主要辦法：（1） 定義法（即在棱上取一特殊點(diǎn)，在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別過(guò)該點(diǎn)作棱的垂線，所成角為二面角的平面角）（2） 垂面法（過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)作兩個(gè)半平面的垂線，過(guò)兩垂線做平面與兩個(gè)半平面的交線所成角即為二面角的平面角）（3） 三垂線法（過(guò)二面角一面內(nèi)的一點(diǎn)作另一面的垂線，再過(guò)垂足作棱的垂線，利用三垂線定理就可得到二面角的平面角）但分析全國(guó)各地的高考試題，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于三垂線法作二面角的平面角考查尤為頻繁，此法最困難的地方是作面的垂線時(shí)垂足的落點(diǎn)位置的確是關(guān)鍵）.本文正是基于上面兩點(diǎn)，總結(jié)高

3、考中的立體幾何解答題，歸納出兩類常見(jiàn)模型及兩種求二面角大小的特殊技巧，掌握和熟悉這些，可以較為很好的解決高考要求內(nèi)二面角的很多問(wèn)題.二解決問(wèn)題的模型 模型一 有長(zhǎng)度相等關(guān)系的三棱錐模型要求：(1)與相似或全等(圖1)，求作二面角的平面角. 操作方法：只需過(guò)作于，再連接，由條件，可得，則為所求二面角的平面角.(2)若時(shí)，求作二面角的平面角：只需取的中點(diǎn),連接.則為所求（圖2）.(3)若時(shí)，取中點(diǎn)，連接，再過(guò)作，交于，則為二面角的平面角.（圖3） 模型二.有垂直關(guān)系的三棱錐模型要求：若，求作二面角的平面角.（圖4）操作方法：過(guò)點(diǎn)作，則，再過(guò)作，連接，由三垂線定理有,則為所求二面角的平面角.同理可求

4、二面角的平面角.特殊情形1 時(shí)，易作二面角的平面角，二面角的平面角.（圖5）(此模型俗稱“三節(jié)棍模型”)特殊情形 2 兩兩垂直，求作二面角的平面角.（圖6）(此模型又俗稱“墻角模型”)注:1.模型一主要是定義法作平面角，關(guān)鍵是確定棱上的垂足.而模型二均有面面，線面垂直的條件，很容易作出面的垂線及確定垂足的位置，熟悉這些模型可有效解決前文提到的第二個(gè)難點(diǎn).2.抽取出這些模型實(shí)際上都很簡(jiǎn)單，一旦將其“藏匿”于形形色色的幾何體中，識(shí)別它們的難度就大增，總結(jié)這些模型的目的是希望熟記這些模型于心，無(wú)論它們?cè)趲缀误w中處于什么位置，什么角度，都能快速的識(shí)別，這樣可有效解決前文提到的第一個(gè)難點(diǎn).三模型的運(yùn)用例

5、1 （05年北京.16）如圖7，在直四棱柱中，垂足為.(1) 求證：；(2) 求二面角的大??；(3) 求異面直線與所成角的大小. （1）（3）略（2）分析：有條件易知，所以，與是共底的等腰三角形，即為模型一（見(jiàn)圖7黑體突出部分），有條件可得為的中點(diǎn)，連結(jié)a1e，c1e，a1c1.可證bda1e，bdc1e，a1ec1二面角a1bdc1的平面角.（下略），針對(duì)此例題，我們：延伸兩種特殊的求二面角的技巧：技巧一，如本題圖，設(shè)二面角的大小為，二面角的大小為，二面角的大小為，則有.實(shí)際上，這里后兩個(gè)二面角的大小顯然為銳角，而且它們各有一個(gè)面為水平面，且共棱，所以學(xué)生應(yīng)該是很熟悉的.本質(zhì)上講，二面角用平

6、面角來(lái)刻畫大小后，其求值就是求平面角的大小，這個(gè)地方運(yùn)用的技巧就是平面角的補(bǔ)角思想.技巧二，當(dāng)然這里也可以連接，交于，則易得，那么就將我們的模型一分解成了兩個(gè)模型二，相應(yīng)的二面角（平面角的大小記為）與二面角（平面角的大小記為）的之和即為二面角的大小，即.本質(zhì)上來(lái)講這是一個(gè)分割的思想。不妨看下面的一個(gè)例題，就能很好的體現(xiàn)這種技巧的妙處：例2 如圖8，已知在四棱錐中，側(cè)面為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面是菱形，側(cè)面與地面所成的二面角為.(1) 求點(diǎn)到面的距離；(2) 求二面角的大小. 解：(1 )解：如圖8,作po平面abcd,垂足為點(diǎn)o, 連結(jié)ob、oa、od、ob與ad交于點(diǎn)e,連結(jié)pe. adp

7、b, adob , pa = pd , oa = od , 于是ob平分ad,點(diǎn)e為ad的中點(diǎn),所以pead. 由此知peb為面pad與面abcd所成二面角的平面角. peb = 120, peo = 60. 由已知可求得pe = .po = pesin60= . 即點(diǎn)p到平面abcd的距離為.(2)如圖8,取pb的中點(diǎn)g,pc的中點(diǎn)f,連結(jié)eg、ag、gf,adpb, bcpb, 又由（1）可得pebc ，所以bc面pob，則面pbc面pbe，所以二面角c-pb-e的平面角的大小為.而易求得egpb，由三垂線定理可得agpb，所以age為二面角a-pb-e的平面角，所以ae=1，de=，所以

8、tanage=，所以age=.所以二面角的大小為.注：二面角的兩個(gè)半平面均非水平面，且從視角看，二面角的平面角為鈍角，直接在其一面向另一面作垂線很困難，由（1）小問(wèn)的解決為之提供了思路，先找二面角的一個(gè)中間面pob，將二面角分割成兩個(gè)二面角來(lái)求.例3 如圖9，已知平面a1b1c1平行于三棱錐vabc的底面abc，等邊ab1c所在平面與底面abc垂直，且acb=90，設(shè)ac=2a，bc=a.（1）求證直線b1c1是異面直線ab1與a1c1的公垂線；（2）求點(diǎn)a到平面vbc的距離；（3）求二面角avbc的大小.解答：（1）（2）略.（3）面面，又，所以面，所以，即圖9中黑體突出部分為模型二，只需要過(guò)作于，又為等邊三角形，所以為的中點(diǎn)，且，再過(guò)點(diǎn)作，連接，由三垂線定理有,所以為二面角avbc的平面角.(后略)四小結(jié)本文中二面角的兩個(gè)三棱錐模型是最常見(jiàn)的，很多立體幾何題以此為模型進(jìn)行編寫，本文試圖將求二面角的問(wèn)題模型化，總結(jié)處適用于大多數(shù)情況的結(jié)構(gòu)，這對(duì)于學(xué)生思維的系統(tǒng)化是非常有用的，陶興模老師在問(wèn)1中提倡“在進(jìn)行一個(gè)單元，一個(gè)章節(jié)的知識(shí)梳理時(shí)，要注意對(duì)典型方法，典型題型的歸納與梳理，,要知道這些典型的題型又該用怎樣的方法去求解”.“將典型問(wèn)題模型化符合人們的認(rèn)真規(guī)律，能夠有效地提高學(xué)生解