2016 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試題 第 1 頁（共 7 頁） 2016 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試題年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試題 （考試時(shí)間：2016 年 5 月 22 日上午 8:3011:00） 考試形式： 閉卷 考試時(shí)間： 150 分鐘 滿分： 150 分 題號(hào) 填空題 11 12 13 總分 得分 注意：1. 所有答題均寫在密封線右邊，寫在其他紙上一律無效； 2. 密封線左邊請(qǐng)勿答題，密封線外不得有姓名及相關(guān)標(biāo)記 一一、填空題填空題 (本大題共本大題共 10 小題小題，每小題每小題 8 分分，共共 80 分分，請(qǐng)將答案填寫在下面請(qǐng)將答案填寫在下面答答題卡相應(yīng)的橫線上題卡相應(yīng)的橫線上) （10，100）； 2 -2 ； 3. 2 )(ba ； 4. 2 3 ； 5 3 ； 62； 7 8204 ； 8. 72 ； 9. ； 10 4 4 3 , 33 ； 1 （趙繼源供題）函數(shù) 2 1 ( ) (lg )3lg2 f x xx 的定義域是_. 答案答案： （10，100） 解：要使函數(shù)有意義，應(yīng)有 2 (lg )3lg20 xx，解得 1lgx2，即 10x100，故函數(shù)的定義域 為（10，100） 2 （趙繼源供題） 設(shè)實(shí)數(shù) x，y 滿足62 1 xy yx x ，向量a =（2xy，m），b =（1，1），若a b ，則實(shí)數(shù) m 的最小值 為 答案答案：2 解：由已知，若a b ，則 2 11 xym ，即 m=2x+y. 由 m=2x+y，得 y=2x+m，作出不等式對(duì)應(yīng)的可行域（陰影部分），并平移直 線 y=2x+m，由平移可知當(dāng)直線 y=2x+m 經(jīng)過點(diǎn) B 時(shí)，直線 y=2x+m 的截距最小，此時(shí) m 取得最小值. 2016 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試題 第 2 頁（共 7 頁） 由 , 62 . xy yx ，解得 2 2 x y ，即 B（2，2） 將 B（2，2）坐標(biāo)代入 m=2x+y，得 z=4+2=2， 即目標(biāo)函數(shù) m=2x+y 的最小值為2 3 （黎福慶供題）設(shè)a、b都為大于零的常數(shù)，10 x，則 x b x a 1 22 的最小值為 . 答案： 2 )(ba 解： 2222 (1) 11 abab xx xxxx 22 22 (1) 1 axb x ab xx 22 22 (1) 2 1 axb x ab xx 2 ()ab .（或直接用柯西不等式也行） 4 （唐光明供題）運(yùn)行右側(cè)的程序框圖，輸出的結(jié)果S的值為 . 答案答案： 2 3 . 解析：因?yàn)? 3 6 sin 3 5 sin 3 4 sin 3 3 sin 3 2 sin 3 sin ， 根據(jù)周期性，該程序的功能是計(jì)算： 2 3 3 sin 3 2017 sin 3 4 sin 3 3 sin 3 2 sin 3 sin . 5（王強(qiáng)芳供題）已知函數(shù) 3 ( )f xx對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)(,()() kk af akN 處的切線與x軸的交點(diǎn)為 1 (,0) k a ，若 1 1a ，則 333 1210 10 ()()() 2 1 ( ) 3 fafafa . 答案答案：3 解：由 2 ( )3fxx得曲線在點(diǎn)(,()() kk af akN 處的切線斜率 2 3 k ka，故切線方程為 32 3() kkk yaaxa. 令0y 得 1 2 3 kk aa 1 2 3 k k a a ，故數(shù)列 n a是首項(xiàng) 1 1a ，公比 2 3 q 的等比數(shù)列， 又 333 1210 ()()()fafafa 10 10 1 1210 (1) 3(1) 1 aq aaaq q ， 開始 是 否 輸出S 結(jié)束 S=0,n=1 n2017 n=n+1 S=S+sin( n) 3 2016 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試題 第 3 頁（共 7 頁） 所以 333 1210 10 ()()() 3 2 1 ( ) 3 fafafa . 6 （王強(qiáng)芳供題）已知點(diǎn)P在曲線 y=ex上，點(diǎn)Q在曲線 y=lnx 上，則PQ的最小值是_ 答案答案：2 解：因曲線 y=ex與 y=lnx 關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱所求PQ的最小值為曲線 y=ex上的點(diǎn)到直線 y=x 最小距離 的兩倍,設(shè) P(x, ex)為 y=ex上任意點(diǎn), 則 P 到直線 y=x 的距離 22 | )( xexe xd xx , 因00)(, 00 2 1 )( / xxdx e xd x ,所以, 2 2 )0()( min dxd,即PQ min= 2. 7（唐光明供題） 設(shè) mN*， log2m 的整數(shù)部分用 F(m)表示， 則 F(1)F(2)F(1024)的值是_. 答案答案：8204 解析：依題意，F(xiàn)(1)0， F(2)F(3)1，有 2 個(gè) F(4)F(5)F(6)F(7)2，有 22個(gè) F(8)F(15)3，有 23個(gè) F(16)F(31)4，有 24個(gè) F(512)F(1 023)9，有 29個(gè) F(1 024)10，有 1 個(gè) 故 F(1)F(2)F(1 024)01222232392910. 令 T12222323929， 則 2T1222238299210. ，得T222232992102(12 9) 12 92102102921082102， T821028194，F(xiàn)(1)F(2)F(1024)8 194108204. 8 （趙繼源供題）將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，若只有 4 種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)有_種. 答案答案：72 解：設(shè)四棱錐為 PABCD下面分三種情況討論： (1) AC 同色，但 BD 不同色: P 的著色方法種數(shù)為 1 4 C, AC 的著色方法種數(shù)為 1 3 C, B 的著色方法種數(shù)為 1 2 C, D 的著色方法種數(shù)為 1 1 C 共有 1 4 C 1 3 C 1 2 C 1 1 C=24 種； 2016 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試題 第 4 頁（共 7 頁） (2) AC 不同色，但 BD 同色: P 的著色方法種數(shù)為 1 4 C, BD 的著色方法種數(shù)為 1 3 C, A 的著色方法種數(shù)為 1 2 C, C 的著色方法種數(shù)為 1 1 C， 共有 1 4 C 1 3 C 1 2 C 1 1 C=24 種； (2) AC 同色， BD 也同色: P 的著色方法種數(shù)為 1 4 C, BD 的著色方法種數(shù)為 1 3 C, AC 的著色方法種數(shù)為 1 2 C， 共有 1 4 C 1 3 C 1 2 C=24 種； 故共有 24+24+24=72 種. 9 （趙繼源供題）設(shè)函數(shù)( )f x的定義域?yàn)?R，若存在常數(shù) 0 使|( )f x|x|對(duì)一切實(shí)數(shù) x 均成立， 則稱( )f x為“條件約束函數(shù)”現(xiàn)給出下列函數(shù)： ( )f x=4x； ( )f x=x2+2； ( )f x= 2 2 25 x xx ； ( )f x是定義在實(shí)數(shù)集 R 上的奇函數(shù)，且對(duì)一切 x1，x2均有 f（x1）f（x2）4|x1x2| 其中是“條件約束函數(shù)”的序號(hào)是 _ （寫出符合條件的全部序號(hào)） 答案答案： 解：對(duì)于，( )f x=4x，易知存在 =40，使|( )f x|x|對(duì)一切實(shí)數(shù) x 均成立，符合題意；是“條件約 束函數(shù)” 對(duì)于用 F 函數(shù)的定義不難發(fā)現(xiàn)：因?yàn)?x0 時(shí)，| ( )f x x |，所以不存在常數(shù) 0，使|( )f x|x|對(duì) 一切實(shí)數(shù) x 均成立，不符合題意，不是“條件約束函數(shù)” 對(duì)于，因?yàn)?22 2|2|1 |( )| 25(1)42 xx f xx xxx ，所以存在常數(shù) =20，使|( )f x|x|對(duì)一切 實(shí)數(shù) x 均成立，是“條件約束函數(shù)” 對(duì)于，( )f x是定義在實(shí)數(shù)集 R 上的奇函數(shù)，故|( )f x|是偶函數(shù)，因而由|f（x1）f（x2）|4|x1x2| 得 |( )f x|4|x|成立，即存在 40，使|( )f x|x|對(duì)一切實(shí)數(shù) x 均成立 2016 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試題 第 5 頁（共 7 頁） 10 （趙繼源供題） 已知線段 AB 是半徑為 2 的球 O 的直徑，C、D 兩點(diǎn)在球 O 的球面上，CD=2，ABCD， 45AOC135，則四面體 ABCD 的體積的取值范圍是 _ 答案答案： 4 4 3 , 33 解：由題意，當(dāng)AOC=45或 135時(shí)經(jīng)過 CD 與 AB 垂直的截面面積最小，此時(shí)四面體 ABCD 的體積取得最小值. 如圖（1）ECD 中，F(xiàn) 為 CD 的中點(diǎn)，EC=OCsin45= 2， OF= 3，EF=1，SECD= CDEF=1 可得棱錐體積的最小值為 4 3 當(dāng)AOC=90時(shí)，經(jīng)過 CD 與 AB 垂直的截面面積最大，如圖（2），截面OCD 是 正三角形，邊長(zhǎng)為 2可得棱錐體積的最大值為 4 3 3 故四面體 ABCD 的體積的取值范圍是： 4 4 3 , 33 三、 解答題解答題 (本大題共本大題共 3 小題小題，共共 70 分分. 解答應(yīng)寫出文字說明解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步證明過程或演算步 驟驟.) 11. （本小題滿分 20 分） （趙繼源供題）已知數(shù)列 n a中， 1 1a ， 2 1 4 a ，且 1 (1) n n n na a na （n=2， 3，4） （）求數(shù)列 n a的通項(xiàng)公式； （）求證：對(duì)一切 nN*，有 2 1 7 6 n k k a 解：（） 1 1a , 1 (1) n n n na a na （n=2，3，4）, 當(dāng) n2 時(shí)， 1 11 (1)(1)1 n nnn nan ananan . 兩邊同時(shí)除以 n，得 1 111 (1)(1) nn nanan n ， 2016 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試題 第 6 頁（共 7 頁） 1 11 () 1 nn bb nn 5 分 11 1 22 11 () 1 nn kk kk bb kk 1 (1) 1n 2 1 (1) 1 n bb n ，n2. 2 132 (1) 11 n n bb nn nN*10 分 （）證明：當(dāng) k2 時(shí)， 2 2 11 (32)(34)(31) k a kkk 111 () 3 3431kk ，15 分 當(dāng) n2 時(shí)， 22 12 1 nn kk kk aa 1111111 1()().() 325583431nn 1 1117 1()1 3 23166n .又 n=1 時(shí)， 2 1 7 1 6 a ， 對(duì)一切 nN*，有 2 1 7 6 n k k a 20 分 12. （本小題滿分 25 分） （趙繼源供題） 如圖， 點(diǎn)H為ABC的垂心， 以AB為直徑的 1 O和BCH的外接圓 2 O相 交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AD交CH于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P為CH的中點(diǎn). 證明： 如圖，延長(zhǎng)AP交 2 O于點(diǎn)Q，連接 AHBDQB QCQH，.5 分 AB為 1 O的直徑， ADB 90BDQ 10 分 BQ為 2 O的直徑. CQBC BHHQ，. 15 分 點(diǎn)H為ABC的垂心， .AHBC BHAC， 20 分 AHCQ，ACHQ,四邊形ACQH為平行四邊形. 點(diǎn)P為CH的中點(diǎn). 25 分 2016 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試題 第 7 頁（共 7 頁） 13. （本小題滿分 25 分） （黎福慶供題） 已知拋物線xyC4: 2 ，以)2 , 1 (M為直角頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接直角三角形MAB. （）求證：直線 AB 過定點(diǎn)； （）過點(diǎn) M 作 AB 的垂線交 AB 于點(diǎn) N，求點(diǎn) N 的軌跡方程. 解:（）設(shè)直線 AB 的方程為nmyx，),( 11 yxA，),( 22 yxB. ,4 , 2 xy nmyx 得044 2 nmyy， myy4 21 ， nyy4 21 .5 分 90AMB，0MBMA，即 0)2, 1()2, 1( 2211 yxyx. 0)2)(2() 1)(1( 2121 yyxx.10 分 0)2)(2() 1)(1( 2121 yynmynmy， 04) 1()(2() 1( 2 2121 2 nyy