.周期信號的頻域分析,.LTI系統(tǒng)的頻域分析,.傅立葉級數(shù)的性質(zhì),FourierSeriesRepresentationofPeriodicSignals,第3章周期信號的傅里葉級數(shù)表示,3.0引言Introduction,時域分析方法的基礎(chǔ)：信號在時域的分解；LTI系統(tǒng)：滿足線性、時不變性,從分解信號的角度出發(fā)，基本信號單元必須滿足：本身簡單，且LTI系統(tǒng)對它的響應(yīng)能簡便得到。具有普遍性，能夠用以構(gòu)成相當(dāng)廣泛的信號。,傅立葉分析方法：出發(fā)點：將信號表示成一組基本信號的線性組合；基本信號為復(fù)指數(shù)信號；信號表示為連續(xù)時間和離散時間的傅立葉級數(shù)與傅立葉變換。,3.1歷史的回顧（AHistoricalPerspective）,任何科學(xué)理論,科學(xué)方法的建立都是經(jīng)過許多人不懈的努力而得來的,其中有爭論,還有人為之獻(xiàn)出了生命。歷史的經(jīng)驗告訴我們,要想在科學(xué)的領(lǐng)域有所建樹，必須傾心盡力為之奮斗。今天我們將要學(xué)習(xí)的傅立葉分析法，也經(jīng)歷了曲折漫長的發(fā)展過程，剛剛發(fā)布這一理論時，有人反對，也有人認(rèn)為不可思議。但在今天，這一分析方法在許多領(lǐng)域已發(fā)揮了巨大的作用。,傅立葉1768-1830(Fourier,JeanBaptisteJoseph)法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家最早使用定積分符號改進(jìn)符號法則、根數(shù)判別方法傅立葉級數(shù)創(chuàng)始人1807熱的傳播1822熱的分析理論傅立葉級數(shù)、分析等理論,傅里葉的兩個最重要的貢獻(xiàn),“周期信號都可以表示為成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”傅里葉的第一個主要論點“非周期信號都可以用正弦信號的加權(quán)積分來表示”傅里葉的第二個主要論點,傅立葉分析方法的歷史,古巴比倫人“三角函數(shù)和”描述周期性過程、預(yù)測天體運動1748年歐拉振動弦的形狀是振蕩模的線性組合1753年D伯努利弦的實際運動可用標(biāo)準(zhǔn)振蕩模的線性組合來表示1759年拉格朗日不能用三角級數(shù)來表示具有間斷點的函數(shù),1822年傅立葉“熱的分析理論”中提出并證明周期函數(shù)的正弦級數(shù)展開原理，奠定了傅立葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)1829年P(guān).L狄里赫利周期信號傅立葉級數(shù)表示的若干精確條件19-20世紀(jì)兩種傅立葉分析方法-連續(xù)與離散1965年Cooley&Tukey(IBM)發(fā)明FFT算法,由時域分析方法有，,3.2LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng),考查LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號和的響應(yīng),易求LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)這說明和符合對單元信號的第一項要求,特征函數(shù)與特征值,如果系統(tǒng)對某一輸入信號的響應(yīng)只是該輸入信號乘以一個常數(shù)，則稱該輸入信號是這個系統(tǒng)的特征函數(shù)，該常數(shù)稱為與該信號有關(guān)(相對應(yīng))的特征值,系統(tǒng)對某一輸入信號的響應(yīng)：一個常數(shù)輸入信號,系統(tǒng)的特征值,結(jié)論：復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù),時不變性,齊次性,LTI,LTI,可加性,LTI,離散時間LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),對時域的任何一個信號或者,若能將其表示為下列形式：,例：,*問題：究竟有多大范圍的信號可以用復(fù)指數(shù)信號的線性組合來表示？,回顧：連續(xù)復(fù)指數(shù)信號的周期,對一個復(fù)指數(shù)信號，要成為具有周期為的周期信號的必要條件：,定義,有,3.3連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示,一.連續(xù)時間傅里葉級數(shù),成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號,基波頻率,成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集合,第k次諧波的周期為,基波周期為,成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號之和,信號周期為,傅里葉級數(shù)表示,傅里葉級數(shù)系數(shù),例1：,該信號中，有兩個諧波分量，為相應(yīng)分量的加權(quán)因子。,例2：,連續(xù)時間周期信號可以按傅立葉級數(shù)被分解成無數(shù)多個復(fù)指數(shù)諧波分量的線性組合?,二.連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的系數(shù)確定,如果周期信號可以表示為傅里葉級數(shù),則有,對兩邊同時在一個周期內(nèi)積分，有,即,在確定此積分時，只要積分區(qū)間是一個周期即可，對積分區(qū)間的起止并無特別要求，因此可表示為,是信號在一個周期的平均值，通常稱直流分量。,三.頻譜（Spectral）的概念,信號集中的每一個信號，除了成諧波關(guān)系外，每個信號隨時間的變化規(guī)律都是一樣的，差別僅僅是頻率不同。在傅里葉級數(shù)中，各個信號分量（諧波分量）間的區(qū)別也僅僅是幅度（可以是復(fù)數(shù)）和頻率不同。因此，可以用一根線段來表示某個分量的幅度，用線段的位置表示相應(yīng)的頻率,分量可表示為,因此，當(dāng)把周期信號表示為傅里葉級數(shù)時，就可以將表示為,這樣繪出的圖稱為頻譜圖,頻譜圖其實就是將隨頻率的分布表示出來，即關(guān)系。由于信號的頻譜完全代表了信號，研究它的頻譜就等于研究信號本身。因此，這種表示信號的方法稱為頻域表示法。,四.傅里葉級數(shù)的其它形式,傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)表示式,傅里葉級數(shù)的另一種三角函數(shù)形式,3.4連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的收斂,這一節(jié)來研究用傅氏級數(shù)表示周期信號的普遍性問題，即滿足什么條件的周期信號可以表示為傅里葉級數(shù)。,一.傅里葉級數(shù)是對信號的最佳近似,對任何周期信號代入左式都可求得傅里葉系數(shù)。某些情況下，左式的積分可能不收斂，即求得的無窮大。,求得的全部都是有限值，代入左式所得的無限項級數(shù)也可能不收斂于。,二.傅里葉級數(shù)的收斂,傅里葉級數(shù)收斂的兩層含義：是否存在?級數(shù)是否收斂于?,Dirichlet條件：在任何周期內(nèi)信號絕對可積，即在任何單個周期內(nèi)，只有有限個極值點，且極值為有限值。（最大值和最小值數(shù)目有限）在任何單個周期內(nèi)，只有有限個第一類間斷點，且在間斷點上的函數(shù)值為有限值。,因此，信號絕對可積就保證了的存在。,它們都是傅里葉級數(shù)收斂的充分條件。相當(dāng)廣泛的信號都能滿足Dirichlet條件，因而用傅里葉級數(shù)表示周期信號具有相當(dāng)?shù)钠毡檫m用性。,幾個不滿足Dirichlet條件的信號,三.Gibbs現(xiàn)象,滿足Dirichlet條件的信號，其傅里葉級數(shù)是如何收斂于的。特別當(dāng)具有間斷點時，在間斷點附近，如何收斂于?,用有限項傅里葉級數(shù)表示有間斷點的信號時，在間斷點附近會不可避免的出現(xiàn)振蕩和超量。超量的幅度不會隨所取項數(shù)的增加而減小。只是隨著項數(shù)的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓縮，從而使它所占有的能量減少。,Gibbs現(xiàn)象表明：,例1：周期信號,試確定的傅里葉級數(shù)系數(shù)。,解：由題的基波周期為,例2：對稱周期方波信號,確定的傅里葉級數(shù)系數(shù)。,根據(jù)可繪出的頻譜圖。稱為占空比,其中,不變時,不變時,周期性矩形脈沖信號的頻譜特征：1.離散性2.諧波性3.收斂性,考查周期和脈沖寬度改變時頻譜的變化：,當(dāng)不變，改變時，隨使占空比減小，譜線間隔變小，幅度下降。但頻譜包絡(luò)的形狀不變，包絡(luò)主瓣內(nèi)包含的諧波分量數(shù)增加。2.當(dāng)改變，不變時，隨使占空比減小，譜線間隔不變，幅度下降。頻譜的包絡(luò)改變，包絡(luò)主瓣變寬。主瓣內(nèi)包含的諧波數(shù)量也增加。,PropertiesofContinuous-TimeFourierSeries,3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的性質(zhì),學(xué)習(xí)這些性質(zhì)，有助于對概念的理解和對信號進(jìn)行級數(shù)展開。,一.線性：,二.時移:,若是以為周期的信號，且,則,令，當(dāng)在變化時，從變化，,于是有：,五.相乘:,若和都是以為周期的信號，且,則,也即,六.共軛對稱性:,若是以為周期的信號，且,則,由此可推得，對實信號有：或,七.Parseval定理：,表明：一個周期信號的平均功率就等于它所有諧波分量的平均功率之和.,*掌握表3.1,對實信號,（實偶函數(shù)）,當(dāng)時，,（虛奇函數(shù)）,當(dāng)時，,例1：如圖周期為的沖激串,求其傅里葉級數(shù)表示。,解：,例2：周期性矩形脈沖,求其傅里葉級數(shù)系數(shù)。,由例1知,根據(jù)時移特性，有,考察成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集:該信號集中每一個信號都以為周期，且該集合中只有個信號是彼此獨立的。,FourierSeriesRepresentationofDiscrete-TimePeriodicSignals,一.離散時間傅里葉級數(shù)（DFS）Discrete-TimeFourierSeries,3.6離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示,將這個獨立的信號線性組合起來，一定能表示一個以為周期的序列。即：,其中為個相連的整數(shù),這個級數(shù)就稱為離散時間傅里葉級數(shù)（DFS），其中也稱為周期信號的頻譜。,二.傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定,給兩邊同乘以，得,顯然仍是以為周期的,而,顯然上式滿足即也是以為周期的，或者說中只有個是獨立的。,即,或,對實信號同樣有：,例1：考慮信號,基波周期,的頻譜圖,三.周期性方波序列的頻譜,顯然的包絡(luò)具有的形狀。,時,周期性方波序列的頻譜,當(dāng)不變、時，頻譜的包絡(luò)形狀不變，只是幅度減小，譜線間隔變小。當(dāng)改變、不變時，由于的包絡(luò)具有的形狀，而，可知其包絡(luò)形狀一定發(fā)生變化。當(dāng)時，包絡(luò)的第一個零點會遠(yuǎn)離原點從而使頻譜主瓣變寬。這一點也與連續(xù)時間周期矩形脈沖的情況類似。,四.DFS的收斂,DFS是一個有限項的級數(shù)，確定的關(guān)系式也是有限項的和式，因而不存在收斂問題，也不會產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象。,周期序列的頻譜也具有離散性、諧波性，當(dāng)在區(qū)間考查時，也具有收斂性。不同的是，離散時間周期信號的頻譜具有周期性。,1.相乘,2.差分,周期卷積,PropertiesofDiscrete-TimeFourierSeries,3.7DFS的性質(zhì),DFS有許多性質(zhì)，這里只選幾個加以討論。,3.Paseval定理,左邊是信號在一個周期內(nèi)的平均功率，右邊是信號的各次諧波的總功率。,上式表明：一個周期信號的平均功率等于它的所有諧波分量的功率之和。也表明：周期信號的功率既可以由時域求得，也可以由頻域求得。,3.9濾波Filtering,本節(jié)移至第6章講授。,3.10用微分方程描述的連續(xù)時間濾波器舉例,本節(jié)移至第6章講授相關(guān)內(nèi)容時由學(xué)生自學(xué)。,3.11用差分方程描述的離散時間濾波器舉例,本節(jié)移至第6章講授相關(guān)內(nèi)容時由學(xué)生自學(xué)。,3.12小結(jié)Summary,本章主要討