1.3.2函數(shù)的奇偶性,1.已知函數(shù)f(x)=x2,求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及f(-x),并畫出它的圖象。,解:,f(-2)=(-2)2=4f(2)=4,f(-1)=(-1)2=1f(1)=1,f(-x)=(-x)2=x2,f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-x)=f(x),-x,x,f(-x),f(x),1.偶函數(shù)的概念:,偶函數(shù)定義:如果對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫偶函數(shù).,2.已知f(x)=x3,畫出它的圖象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x),解:,f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8,f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1,f(-x)=(-x)3=-x3,f(-2)=-f(2)f(-1)=-f(1)f(-x)=-f(x),-x,f(-x),x,f(x),1.奇函數(shù)的概念:,奇函數(shù)定義:如果對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫奇函數(shù).,奇函數(shù)、偶函數(shù)定義的說(shuō)明:,(1).函數(shù)具有奇偶性的前提：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。,（2）.奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立，即：若f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=f(x)成立。若f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x)成立。,（3）如果一個(gè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么我們就說(shuō)函數(shù)f(x)具有奇偶性。,練習(xí)1.說(shuō)出下列函數(shù)的奇偶性:,偶函數(shù),奇函數(shù),奇函數(shù),奇函數(shù),f(x)=x4_f(x)=x-1_,f(x)=x_,奇函數(shù),f(x)=x-2_,偶函數(shù),f(x)=x5_,f(x)=x-3_,說(shuō)明：對(duì)于形如f(x)=xn的函數(shù)，若n為偶數(shù)，則它為偶函數(shù)。若n為奇數(shù)，則它為奇函數(shù)。,例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性,(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2,解:,f(-x)=(-x)3+2(-x),=-x3-2x,=-(x3+2x),即f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù),f(-x)=2(-x)4+3(-x)2,=2x4+3x2,f(x)為偶函數(shù),定義域?yàn)镽,解:,定義域?yàn)镽,即f(-x)=f(x),先求定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;再判斷f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。,用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:,練習(xí)2.判斷下列函數(shù)的奇偶性,(2)f(x)=-x2+1,f(x)為奇函數(shù),f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1,f(x)為偶函數(shù),解：定義域?yàn)閤|x0,解：定義域?yàn)镽,即f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),(3).f(x)=5(4)f(x)=0,解:(3)f(x)的定義域?yàn)镽f(-x)=f(x)=5f(x)為偶函數(shù),解:(4)定義域?yàn)镽f(-x)=f(x)=0又f(-x)=-f(x)=0f(x)為既奇又偶函數(shù),說(shuō)明:函數(shù)f(x)=0(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱），為既奇又偶函數(shù)。,(5).f(x)=x+1(6).f(x)=x2x-1,3,解:(5)f(-x)=-x+1-f(x)=-x-1f(-x)f(x)且f(-x)f(x)f(x)為非奇非偶函數(shù),解:（6）定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(x)為非奇非偶函數(shù),奇函數(shù)說(shuō)明：根據(jù)奇偶性,偶函數(shù)函數(shù)可劃分為四類:既奇又偶函數(shù)非奇非偶函數(shù),偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).,o,y,x,例3已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，它在y軸右邊的圖象如圖，畫出y=f(x)在y軸左邊的圖象。,例2.根據(jù)下列函數(shù)圖象,判斷函數(shù)奇偶性.,y,x,y,x,y,x,用定義法判斷函數(shù)奇偶性解題步驟:,(1)先確定函數(shù)定義域,并判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;,(2)求f(-x)，找f(x)與f(-x)的關(guān)系;若f(-x)=f(x),則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x),則f(x)是奇函數(shù).,(3)作出結(jié)論.f(x)是偶函數(shù)或奇函數(shù)或非奇非偶函數(shù)或即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。,2.奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì):,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.反過(guò)來(lái),如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù).,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.,反過(guò)來(lái),如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù).,注：奇、偶函數(shù)圖象的性質(zhì)可用于：.簡(jiǎn)化函數(shù)圖象的畫法。.判斷函數(shù)的奇偶性。,課堂小結(jié),1奇偶性定義:對(duì)于函數(shù)f(x),在它的定義域內(nèi)，若有f(-x)=-f(x),則f(x)叫做奇函數(shù)；若有f(-x)=f(x),則f(x)叫做偶函數(shù)。2圖象性質(zhì):奇函數(shù)的