本章整合 第二章解析幾何初步 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 專題1待定系數(shù)法若所研究的式子 方程 的結(jié)構(gòu)是確定的 但它的全部或部分系數(shù)是待定的 我們可以根據(jù)題中的條件來(lái)確定這些系數(shù) 這種解決問(wèn)題的方法就是待定系數(shù)法 直線和圓的方程常用待定系數(shù)法來(lái)求解 選擇合適的直線方程 圓的方程的形式是很重要的 一般情況下 與截距有關(guān)的 可設(shè)直線的斜截式方程或截距式方程 與斜率有關(guān)的 可設(shè)直線的斜截式方程或點(diǎn)斜式方程等 與圓心和半徑相關(guān)時(shí) 常設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 其他情況下設(shè)圓的一般方程 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 應(yīng)用1若一條直線經(jīng)過(guò)兩條直線x 3y 10 0和3x y 0的交點(diǎn) 且原點(diǎn)到它的距離為1 求該直線的方程 提示 先利用已知兩直線的方程設(shè)出所求直線方程 再用點(diǎn)到直線的距離公式求解 解 很顯然所求直線不為直線3x y 0 故可設(shè)過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程為x 3y 10 3x y 0 即 1 3 x 3 y 10 0 原點(diǎn)到所求直線的距離為1 解得 2 9 3 所求直線的方程為x 1或4x 3y 5 0 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 應(yīng)用2根據(jù)下列條件求圓的方程 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)p 1 1 和坐標(biāo)原點(diǎn) 并且圓心在直線2x 3y 1 0上 2 圓心在直線y 4x上 且與直線l x y 1 0相切于點(diǎn)p 3 2 解 1 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x a 2 y b 2 r2 由題意列出方程組所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x 4 2 y 3 2 25 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 專題2直線系方程的應(yīng)用常見的直線系方程 1 平行直線系 y kx b k為常數(shù) b為變數(shù) 表示一組斜率為k的平行直線 2 共點(diǎn)直線系 y y0 k x x0 定點(diǎn) x0 y0 k為變數(shù) 表示一組過(guò)定點(diǎn) x0 y0 的直線 不包括直線x x0 3 過(guò)直線l1 l2交點(diǎn)的直線系 設(shè)l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 則a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 r 表示一組過(guò)l1 l2交點(diǎn)的直線 不包括l2 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 應(yīng)用求滿足下列條件的直線的方程 1 過(guò)點(diǎn) 2 1 且與直線3x 4y 2 0平行 2 與直線3x 4y 2 0垂直且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為6 解 1 設(shè)所求直線為3x 4y m 0 直線過(guò)點(diǎn) 2 1 3 2 4 m 0 m 10 故所求直線為3x 4y 10 0 2 設(shè)所求直線為4x 3y m 0 與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為 m 12 即所求直線為4x 3y 12 0或4x 3y 12 0 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 專題3圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用圓是一種特殊圖形 既是中心對(duì)稱圖形 又是軸對(duì)稱圖形 圓心是對(duì)稱中心 任意一條直徑所在直線都是對(duì)稱軸 圓具有許多重要的幾何性質(zhì) 如圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑 圓心與弦的中點(diǎn)的連線垂直于弦 切線長(zhǎng)定理 切割線定理 直徑所對(duì)的圓心角是直角等 充分利用圓的幾何性質(zhì)可獲得解題途徑 減少運(yùn)算量 另外 對(duì)于未給出圖形的題目 要邊讀題邊畫圖 這樣能更好地體會(huì)圓的幾何性質(zhì) 有助于找到解題思路 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 應(yīng)用1以原點(diǎn)為圓心 且截直線3x 4y 15 0所得的弦長(zhǎng)為8的圓的方程是 a x2 y2 5b x2 y2 16c x2 y2 4d x2 y2 25提示 利用圓的幾何性質(zhì) 半徑 半弦長(zhǎng)和弦心距構(gòu)成直角三角形 由勾股定理求解 解析 設(shè)圓的半徑為r 圓心o到直線3x 4y 15 0的距離 由題意得d2 42 r2 所以r2 32 42 25 所以圓的方程是x2 y2 25 答案 d 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 應(yīng)用2已知圓c x2 y2 4x 6y 12 0 求過(guò)點(diǎn)a 1 0 的弦長(zhǎng)的最大值l和最小值l 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 專題4分類討論思想解題過(guò)程中 遇到被研究的對(duì)象包含多種可能的情形時(shí) 就需選定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)把被研究的對(duì)象劃分成幾個(gè)能用不同形式去解決的小問(wèn)題 從而使問(wèn)題得到解決 這就是分類討論思想 利用分類討論思想解答問(wèn)題已成為高考中考查學(xué)生知識(shí)和能力的熱點(diǎn)問(wèn)題之一 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 應(yīng)用過(guò)點(diǎn)p 1 0 q 0 2 分別作兩條互相平行的直線 使它們?cè)趚軸上的截距之差的絕對(duì)值為1 求這兩條直線的方程 提示 要分斜率存在和不存在兩種情況討論 解 當(dāng)兩直線的斜率均不存在時(shí) 兩條直線的方程分別為x 1 x 0 它們?cè)趚軸上的截距之差的絕對(duì)值為1 滿足題意 當(dāng)兩直線的斜率均存在時(shí) 設(shè)它們的斜率均為k 顯然k 0 則兩條直線的方程分別為y k x 1 y kx 2 所以兩條直線的方程分別為y x 1 y x 2 即x y 1 0 x y 2 0 綜上可知 所求的兩條直線方程分別為x 1 x 0或x y 1 0 x y 2 0 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 專題5數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想 其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái) 即把代數(shù)中的 數(shù) 與幾何中的 形 結(jié)合起來(lái)認(rèn)識(shí)問(wèn)題 理解問(wèn)題并解決問(wèn)題的思維方法 數(shù)形結(jié)合一般包括兩個(gè)方面 即以 形 助 數(shù) 以 數(shù) 解 形 本章直線的方程和直線與圓的位置關(guān)系中有些問(wèn)題 如距離 傾斜角 斜率 直線與圓相切等都很容易轉(zhuǎn)化成 形 因此這些問(wèn)題若利用直觀的幾何圖形處理會(huì)得到很好的效果 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 提示 首先化曲線方程為我們所熟悉的形式 然后利用數(shù)形結(jié)合的思想解題 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 答案 d 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 專題6對(duì)稱問(wèn)題在解析幾何中 經(jīng)常遇到對(duì)稱問(wèn)題 對(duì)稱問(wèn)題主要有兩大類 一類是中心對(duì)稱 一類是軸對(duì)稱 1 中心對(duì)稱 1 兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 設(shè)p1 x1 y1 p a b 則p1 x1 y1 關(guān)于p a b 對(duì)稱的點(diǎn)為p2 2a x1 2b y1 即p為線段p1p2的中點(diǎn) 特別地 p x y 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為p x y 2 兩條直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 設(shè)直線l1 l2關(guān)于點(diǎn)p對(duì)稱 這時(shí)其中一條直線上任一點(diǎn)關(guān)于p對(duì)稱的點(diǎn)都在另外一條直線上 并且l1 l2 p到l1 l2的距離相等 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 2 軸對(duì)稱 1 兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱 設(shè)p1 p2關(guān)于直線l對(duì)稱 則直線p1p2與l垂直 且p1p2的中點(diǎn)在l上 解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是由 垂直 和 平分 列方程 2 兩條直線關(guān)于直線對(duì)稱 設(shè)l1 l2關(guān)于直線l對(duì)稱 當(dāng)三條直線l1 l2 l共點(diǎn)時(shí) l上任意一點(diǎn)到l1 l2的距離相等 并且l1 l2中一條直線上任意一點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)在另外一條直線上 當(dāng)l1 l2 l時(shí) l1到l的距離等于l2到l的距離 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 應(yīng)用1若不同的兩點(diǎn)p q的坐標(biāo)分別為 a b 3 b 3 a 則線段pq的垂直平分線l的斜率為 圓 x 2 2 y 3 2 1關(guān)于直線l對(duì)稱的圓的方程為 提示 若l1的斜率為k1 l2的斜率為k2 則l1 l2 k1k2 1 從而求直線l的斜率 得出其方程 求圓 x 2 2 y 3 2 1關(guān)于直線l對(duì)稱的圓 關(guān)鍵是求出圓心 2 3 關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn) 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 答案 1x2 y 1 2 1 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 應(yīng)用2已知直線l y 3x 3 求 1 點(diǎn)p 1 2 關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo) 2 直線l1 y x 2關(guān)于l的對(duì)稱直線的方程 3 直線l關(guān)于點(diǎn)a 3 2 的對(duì)稱直線的方程 提示 直線關(guān)于直線對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 專題1 專題2 專題3 專題4 專題5 專題6 3 設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)a 3 2 的對(duì)稱直線為l 由于l l 可設(shè)l 的方程為y 3x b b 3 由點(diǎn)到直線的距離公式得即 b 7 10 解得b 17或b 3 舍去 所以直線l 的方程為y 3x 17 即所求直線的方程為3x y 17 0 1234567 1 2016全國(guó)甲高考 圓x2 y2 2x 8y 13 0的圓心到直線ax y 1 0的距離為1 則a 解析 由x2 y2 2x 8y 13 0 得 x 1 2 y 4 2 4 所以圓心坐標(biāo)為 1 4 因?yàn)閳Ax2 y2 2x 8y 13 0的圓心到直線ax y 1 0的距離為1 答案 a 1234567 2 2016北京高考 圓 x 1 2 y2 2的圓心到直線y x 3的距離為 答案 c 1234567 3 2016山東高考 已知圓m x2 y2 2ay 0 a 0 截直線x y 0所得線段的長(zhǎng)度是2 則圓m與圓n x 1 2 y 1 2 1的位置關(guān)系是 a 內(nèi)切b 相交c 外切d 相離 1234567 答案 b 1234567 4 2016全國(guó)乙高考 設(shè)直線y x 2a與圓c x2 y2 2ay 2 0相交于a b兩點(diǎn) 若 ab 2 則圓c的面積為 解析 圓c的方程可化為x2 y a 2 2 a2 直線方程為x y 2a 0 故圓c的面積為 2 a2 4 答案 4 1234567 5 2016全國(guó)丙高考 已知直線l x y 6 0與圓x2 y2 12交于a b兩點(diǎn) 過(guò)a b分別作l的垂線與x軸交于c d兩點(diǎn) 則 cd 1234567 答案 4 12