habitat n. 棲息地be bound to 一定做fulfilling adj. 令人滿意的；令人愉快的instruct vt. 命令；指示；教導(dǎo)panic (panicked, panicked) vi. & vt. 驚慌employ vt. 雇用；利用（時(shí)間、精力等）translation n. 翻譯；譯文agricultural adj. 農(nóng)業(yè)的；農(nóng)藝的make a life 習(xí)慣于新的生活方式、工作等vt. 將上訴一天征服傅里葉變換如果你對(duì)信號(hào)處理感興趣，無(wú)疑會(huì)說(shuō)這個(gè)標(biāo)題是太夸張了我贊同這點(diǎn)當(dāng)然，沒(méi)有反覆實(shí)踐和鉆研數(shù)學(xué)， 您無(wú)法在一天里學(xué)會(huì)傅立葉變換的方方面面無(wú)論如何, 這個(gè)在線課程將提供給您怎樣進(jìn)行傅立葉變換運(yùn) 算的基本知識(shí)能有效和能非常簡(jiǎn)單地領(lǐng)會(huì)的原因是我們使用了一種不太傳統(tǒng)的逼近重要的是你將學(xué)習(xí) 傅立葉變換的要素而完全不用超過(guò)加法和乘法的數(shù)學(xué)計(jì)算! 我將設(shè)法在不超過(guò)以下六節(jié)里解釋在對(duì)音像信 號(hào)處理中傅立葉變換的實(shí)際應(yīng)用步驟 1: 一些簡(jiǎn)單的前提在下面，您需要理解以下四件最基本的事情: 加法，乘除法什么是正弦，余弦和正弦信號(hào)明顯 地，我將跳第一二件事和將解釋位最后一個(gè)您大概還記得您在學(xué)校學(xué)過(guò)的“三角函數(shù)”1，它神秘地用于 與角度一起從它們的內(nèi)角計(jì)算它們的邊長(zhǎng)，反之亦然我們這里不需要所有這些事，我們只需要知道二個(gè) 最重要的三角函數(shù)，正弦 和余弦 的外表特征這相當(dāng)簡(jiǎn)單: 他們看起來(lái)象是以峰頂和谷組成的從觀 察點(diǎn)向左右無(wú)限伸展的非常簡(jiǎn)單的波浪（附圖一）The sine wave The cosine wave如同你所知道的，這兩種波形是周期性的，這意味著在一定的時(shí)間周期之后，它們看起來(lái)再次一樣 兩種波形看起來(lái)也很象，但當(dāng)正弦波在零點(diǎn)開(kāi)始時(shí)余弦波開(kāi)始出現(xiàn)在最大值在實(shí)踐中，我們?nèi)绾闻卸ㄎ?們?cè)谝粋€(gè)給定時(shí)間所觀測(cè)到的波形是開(kāi)始在它的最大值或在零? 問(wèn)的好: 我們不能實(shí)踐上沒(méi)有辦法區(qū)分 正弦波和余弦波，因此看起來(lái)象正弦或余弦波的我們統(tǒng)稱為正弦波，在希臘語(yǔ)中譯作正弦類正弦波的 一個(gè)重要性質(zhì)是頻率它告訴我們?cè)谝粋€(gè)給定的時(shí)間內(nèi)有多少個(gè)波峰和波谷高頻意味許多波峰和波谷， 低頻率意味少量波峰和波谷:Low frequency sinusoid Middle frequency sinusoid High frequency sinusoid步驟 2: 了解傅立葉定理Jean-Baptiste Joseph Fourier 是孩子們中讓父母感到驕傲和慚愧的的一個(gè)，因?yàn)樗臍q時(shí)就開(kāi)始對(duì)他們 說(shuō)非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)用語(yǔ)他的一生中做了很多重要工作，但最重大的發(fā)現(xiàn)可能是解決了材料熱傳導(dǎo)問(wèn)題 他推導(dǎo)出了描述熱在某一媒介中如何傳導(dǎo)的公式，即用三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題（就是我們?cè)?上面討論過(guò)的正弦余弦函數(shù)）主要和我們?cè)掝}有關(guān)的是：傅里葉的發(fā)現(xiàn)總結(jié)成一般規(guī)律就是任意復(fù)雜 的信號(hào)都能由一個(gè)個(gè)混合在一起的正弦函數(shù)的和來(lái)表示這是一個(gè)例子：This is our original One sine Two sines Four sines Seven sines Fourteen sines（附圖三）在這里你看到的是一個(gè)原始的信號(hào)，以及如何按某一確定的關(guān)系（“配方”）混合在一起的正弦函數(shù)混 合物（我們稱它們?yōu)榉至浚┧平覀儗⒑?jiǎn)略地談?wù)撘幌履欠菖浞饺缒闼?，我們用的正弦函?shù)愈多 其結(jié)果就愈精確地接近我們的原始信號(hào)波形在“現(xiàn)實(shí)”世界中，在信號(hào)連續(xù)的地方，即你能以無(wú)窮小的間 隔來(lái)測(cè)量它們，精度僅受你的測(cè)試設(shè)備限制，你需要無(wú)限多的正弦函數(shù)才能完美地建立任意一個(gè)給定的信 號(hào)幸運(yùn)地是，和數(shù)字信號(hào)處理者們一樣，我們不是生活在那樣的世界相反，我們將處理僅以有限精度 每隔一定間隔被測(cè)量的現(xiàn)實(shí)世界的采樣信號(hào)因而，我們不需要無(wú)限多地正弦函數(shù)，我們只需要非常多 稍后我們也將討論這個(gè)“非常多”是多少目前重要的一點(diǎn)是你能夠想象，任意一個(gè)在你計(jì)算機(jī)上的信號(hào)， 都能用簡(jiǎn)單正弦波按配方組成步驟 3: “非常多”是多少正如我們所知道的，復(fù)雜形狀的波形能由混合在一起的正弦波所建立我們也許要問(wèn)需要多少正弦波來(lái) 構(gòu)造任意一個(gè)在計(jì)算機(jī)上給定的信號(hào)當(dāng)然，倘若我們知道正在處理的信號(hào)是如何組成的，這可能至少是 一個(gè)單個(gè)正弦波在許多情況下，我們處理的現(xiàn)實(shí)世界的信號(hào)可能有非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，以至于我們不能深 入知道實(shí)際上有多少“分量”波存在在這種情況下，即使我們無(wú)法知道原始的信號(hào)是由多少個(gè)正弦波來(lái)構(gòu) 成的，肯定存在一個(gè)我們將需要多少正弦波的上限盡管如此，這實(shí)際上沒(méi)解決有多少的問(wèn)題讓我們?cè)?著來(lái)直觀地逼近它: 假設(shè)一個(gè)信號(hào)我們有 1000 個(gè)樣采，可能存在的最短周期正弦波（即多數(shù)波峰波谷在其 中）以交替的波峰波谷分布在每個(gè)采樣內(nèi)因此，最高頻率的正弦波將有 500 個(gè)波峰和 500 個(gè)波谷在我 們的 1000 個(gè)采樣中，且每隔一個(gè)采樣是波峰下圖中的黑點(diǎn)表示我們的采樣，所以，最高頻率的正弦波 以看起來(lái)象這樣:The highest frequency sine wave（附圖四）現(xiàn)在讓我們來(lái)看一下最低頻率正弦波可能多么低如果我們只給一個(gè)單獨(dú)的采樣點(diǎn)，我們將如何能測(cè) 量穿過(guò)這點(diǎn)的正弦波的峰頂和谷? 我們做不到，因?yàn)橛性S多不同周期正弦波穿過(guò)這點(diǎn)所以，一個(gè)單獨(dú)數(shù)據(jù)點(diǎn)不足以告訴我們關(guān)于頻率的任何事現(xiàn)在，如果我們有兩個(gè)采樣，那么穿過(guò)這 兩點(diǎn)的正弦波的最低頻率是什么？在這種情況下它很常簡(jiǎn)單只有一個(gè)穿過(guò)這兩點(diǎn)的非常低頻率的正弦波它看起來(lái)向這樣：The lowest frequency sine wave（附圖六）想象最左面的兩個(gè)點(diǎn)是二個(gè)釘子和一個(gè)跨越它們之間的弦（圖六描述三個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)是因?yàn)檎也ǖ闹芷?性，但我們實(shí)際上只需要最左面的兩點(diǎn)說(shuō)明它的頻率）我們能領(lǐng)會(huì)的最低的頻率是來(lái)回地?cái)[動(dòng)在二個(gè)釘 子之間的弦，象是圖六中左邊兩點(diǎn)之間的正弦波所做的如果我們有 1000 個(gè)采樣，那么兩個(gè)“釘子”相當(dāng) 于第一個(gè)或最后的采樣，比如 1 號(hào)采樣和 1000 號(hào)采樣從對(duì)樂(lè)器的體驗(yàn)我們知道，當(dāng)長(zhǎng)度增加時(shí)弦的頻 率將下降所以我們可以想象，當(dāng)我們將兩個(gè)釘子向彼此遠(yuǎn)離的方向移開(kāi)時(shí)，最小正弦波的頻率將變得更 低例如，如果我們選擇 2000 個(gè)采樣，因?yàn)槲覀兊摹搬斪印保?1 號(hào)或 2000 號(hào)采樣間，所以最低正弦波將 更低事實(shí)上，它將低兩倍，因?yàn)橐驗(yàn)槲覀兊尼斪颖?1000 個(gè)采樣時(shí)遠(yuǎn)兩倍這樣，如果我們有更多的采 樣，我們將能辨別出一個(gè)更低頻率的正弦波，因?yàn)樗鼈兊牧憬徊纥c(diǎn)（我們的“釘子”）將移動(dòng)得更遠(yuǎn)這對(duì) 了解下面的解釋是非常重要的象我們看到的那樣，在兩個(gè)“釘子”之后，我們的波形開(kāi)始重復(fù)上升斜坡（第一個(gè)釘子和第三個(gè)釘子同 樣）這意味著任意兩個(gè)相鄰的釘子準(zhǔn)確地包含完整正弦波的一半，換句話說(shuō)一個(gè)峰或一個(gè)谷或半個(gè)周期概括一下我們剛學(xué)過(guò)的東西，我們知道，一個(gè)采樣正弦波的上限頻率是所有其它有一個(gè)波峰和波谷的 采樣，并且，低頻下限是我們看到的正好匹配采樣數(shù)的正弦波的周期的一半但等一下，這難到不意味著， 當(dāng)上限頻率保持固定時(shí)，當(dāng)有很多采樣時(shí)最低頻率可以降低？確實(shí)如此! 結(jié)果我們將從一個(gè)低頻開(kāi)始增加 更多正弦波來(lái)組成一個(gè)較長(zhǎng)的未知內(nèi)容的信號(hào)一切都清楚了，但我們?nèi)匀徊恢牢覀冏罱K需要多少正弦波就象我們現(xiàn)在知道任意正弦波分量所能 具的有上下限頻率一樣，我們能計(jì)算出適合這兩個(gè)極限之間的量是多少既然我們沿著最左到最右的采樣 固定了最低正弦波分量，我們要所有其它正弦波最好也使用這些釘子(為什么我們要不同地對(duì)待他們? 所有的正弦波被同等的創(chuàng)建！)假設(shè)正弦波束是系在吉他上二個(gè)固定點(diǎn)的弦它們能只搖擺在二個(gè)釘子之間(除 非他們斷了)，就象我們下圖的正弦波這導(dǎo)致如下關(guān)系，我們的最低分量（1）以 1/2 周期裝配，第二分 量（2）以 1 個(gè)周期裝配，第三分量以 1 1/2 周期裝配以此類推直到我們看到的 1000 個(gè)采樣形象地, 看起來(lái)象這:（附圖七）現(xiàn)在，如果我們算一下要多少正弦波以那種方法裝配我們的 1000 個(gè)采樣，就會(huì)發(fā)現(xiàn)我們精確地需要1000 個(gè)正弦波疊加起來(lái)表示 1000 個(gè)采樣實(shí)際上，我們總是發(fā)現(xiàn)我們需要和采樣一樣多的正弦波 步驟 4 關(guān)于烹飪食譜在前面的段落我們看到, 任一個(gè)給定的在計(jì)算機(jī)上的信號(hào)能被正弦波混合物來(lái)構(gòu)造 我們考慮了他們 的頻率，并且考慮了需要多大的最低和最高頻率的正弦波來(lái)完美地重建任一個(gè)我們所分析信號(hào)我們明白 了為確定所需最低的正弦波分量，我們考察的采樣的數(shù)量是重要，但我們還未論述實(shí)際正弦波如何必需被 混合產(chǎn)生某一確定的結(jié)果由疊加正弦波組成任何指定的信號(hào)，我們需要測(cè)量他們的另外一個(gè)方面實(shí)際 上，頻率不是我們需要知道的唯一的事我們還需要知道正弦波的幅度，也就是說(shuō)每個(gè)正弦波幅度有多高 才能混合在一起產(chǎn)生我們需要的輸入信號(hào)高度是正弦波的峰頂?shù)母叨?，意即峰頂和零線之間距離幅度 赿高，我們聽(tīng)到的聲音也就赿大所以，如果您有一個(gè)含有許多低音的信號(hào)，無(wú)疑可以預(yù)期混合體中的低 頻率正弦波的分量比例比高頻正弦波分量更大因此一般情況下，低音中的低頻正弦波有一個(gè)比高頻正弦 波更高的幅度在我們的分析中，我們將需要確定各個(gè)分量正弦波的幅度以完成我們的配方如果你一直跟著我，我們幾乎完成了通向傅里葉變換的旅程我們學(xué)了需要多少正弦波，它的數(shù)量依 賴于我們查看的采樣的數(shù)量有一個(gè)頻率上下限界，并且不知道怎么確定單個(gè)分量的幅度以完成我們的配 方我們一直不清楚究竟如何從我們的采樣來(lái)確定實(shí)際的配方直觀上我們可以斷定能找到正弦波的幅度， 設(shè)法把一個(gè)已知頻率正弦波和采樣作對(duì)比，我們測(cè)量找出它們有多么接近如果它們精確地相等，我們知 道該正弦波存在著相同的幅度，如果我們發(fā)現(xiàn)我們的信號(hào)與參考正弦波一點(diǎn)也不匹配，我們將認(rèn)為這個(gè)不 存在盡管如此，我們?nèi)绾胃咝У匕岩粋€(gè)已知的正弦波同采樣信號(hào)進(jìn)行比較？幸運(yùn)地是，數(shù)字信號(hào)處理工 作者早已解決了如何作這些事實(shí)上，這象加法和乘法一樣容易我們?nèi)∫粋€(gè)已知頻率的單位正弦波（這 意味著它的振幅是 1，可從我們的計(jì)算器或計(jì)算機(jī)中精確地獲得）和我們的信號(hào)采樣相乘累加乘積之后， 我們將得到我們正在觀測(cè)的這個(gè)頻率上正弦波分量的幅度這是個(gè)舉例，一個(gè)簡(jiǎn)單的完成這些工作的 C 代 碼片段：Listing 1.1: The direct realization of the Discrete Sine Transform (DST):#define M_PI 3.14159265358979323846 long bin,k;double arg;for (bin = 0; bin transformLength; bin+) transformDatabin = 0.;for (k = 0; k FFT, 1 - iFFT */for (bin = 0; bin = transformLength/2; bin+) cosPartbin = (sinPartbin = 0.);for (k = 0; k transformLength; k+) arg = 2.*(float)bin*M_PI*(float)k/(float)transformLength; sinPartbin += inputDatak * sign * sin(arg); cosPartbin += inputDatak * cos(arg);我們?nèi)赃z留著一個(gè)問(wèn)題，就是如何獲得傅里葉變換所缺乏的那些有用的東西我說(shuō)過(guò)傳里葉變換的優(yōu)赿性 超過(guò)正弦和余弦變換是因?yàn)橛谜倚盘?hào)工作但至今我們還未看到任何正弦信號(hào)，仍只有正弦和余弦好， 這需要一點(diǎn)附加處理步聚：#define M_PI 3.14159265358979323846long bin;for (bin = 0; bin = transformLength/2; bin+) /* frequency */frequencybin = (float)bin * sampleRate / (float)transformLength;/* magnitude */magnitudebin = 20. * log10( 2. * sqrt(sinPartbin*sinPartbin +cosPartbin*c osPartbin) / (float)transformLength);/* phase */phasebin = 180.*atan2(sinPartbin, cosPartbin) / M_PI - 90.;在運(yùn)行清單 1.3 所示的關(guān)于 DFT 輸出的代碼段之后，我們結(jié)束被看作以正弦信號(hào)波的和的輸入信號(hào)表示 K 序正弦信號(hào)是用 frequencyk,magnitudek和 phasek來(lái)描述的單位是 Hz(Hertz,周/秒)，dB(Decibel), 和(Degree)請(qǐng)注意在經(jīng)過(guò)清單 1.3 的后加工（處理）即把正弦和余弦函數(shù)部份轉(zhuǎn)換成一個(gè)單一的正弦信 號(hào)之后，我們命名 K 序正弦信號(hào)的振幅DFT 存貯為幅度，且它總是取相對(duì)值我們可以說(shuō)一個(gè)-1.0 的振 幅對(duì)應(yīng)于 1.0 的幅度，對(duì)應(yīng)于相位+或-180在文獻(xiàn)中，做做傅里葉變換的場(chǎng)合，隊(duì)列 magnitude 被稱 作被測(cè)信號(hào)的幅度譜，隊(duì)列 phase被稱作被測(cè)信號(hào)的相位譜如用分貝測(cè)量存貯幅度的參考，輸入波也期望有一個(gè)在-1.0,1.0之間的采樣值，相對(duì)于 0dB 幅度滿刻 度數(shù)字做為一個(gè) DFT 的有趣應(yīng)用，比如清單 1.3 就可被用于寫一個(gè)基于離散傅里葉變換的譜分析結(jié)論象我們已知那樣，傅里葉變換和其系列的離散正弦和余弦變換，提供了把一個(gè)信號(hào)分解成一束分波的便利工具結(jié)果有正弦或余弦之一，或正弦信號(hào)（用正弦和余弦波的組合來(lái)描述）在傅里葉變換中同時(shí) 使用正弦和余弦波的好處是我們因而能引入相位的概念，它使變換更一般化，因而我們能用它有效清楚地 分析既不是純正弦也不是純余弦的正弦信號(hào)，當(dāng)然其它信號(hào)也一樣傅里葉變換與被考察信號(hào)無(wú)關(guān)，因而無(wú)論我們正分析的信號(hào)是一個(gè)正弦信號(hào)或是一些其它的更復(fù)雜的， 變換需要相同的操作數(shù)這就是為什么傅里葉變換被稱做無(wú)參數(shù)變換的原因，這意味著它對(duì)需要的信號(hào)“智 能的”分析沒(méi)有直接的幫助（在考察一個(gè)我們已知是一個(gè)信號(hào)是正弦曲線的情況下，我們更喜歡精確地獲 得關(guān)于相位，頻率，幅度的信息以代替一串在一些預(yù)定頻率上的正弦和余弦波）現(xiàn)在我們也知道了我們是在求輸入信號(hào)在一組固定頻率柵格上的值，輸入信號(hào)實(shí)際存在的頻率組在這 組柵格上可能不起作用我們?cè)诜治鲋欣玫臇鸥袷侨藶榈?，因?yàn)槲覀儙缀醢凑贞P(guān)于它們的頻率的嘗試來(lái) 選擇參考正弦余弦波說(shuō)到了這些，馬上清楚了一個(gè)將要很容易遇到的要點(diǎn)，即被測(cè)信號(hào)的頻率位于變 換柵格的頻率之間因此，有一個(gè)頻率發(fā)生在位于兩個(gè)頻率柵格之間的正弦曲線，在變換中將不好被描述 包圍著與輸入信號(hào)頻率最接近的柵格的相鄰的柵格將試圖改正頻率的背離因而，輸入信號(hào)的能量將拖 尾至數(shù)個(gè)相鄰的柵格這也是傅里葉變換不能迅速地分析聲音返回它的基波和諧波（并且，這也是為什么 我們稱正弦和余弦波為分波而不諧波和泛音）簡(jiǎn)單的說(shuō)，沒(méi)有進(jìn)一步的快速處理，DFT 和一個(gè)狹窄的壩一樣，細(xì)小并行的帶通濾波器組（“通道”） 和每個(gè)通道帶有附加的相位信息這對(duì)分析信號(hào)做濾波器和運(yùn)用其它的技巧是有益的（改變一個(gè)信號(hào)的 音調(diào)而不改變它的速度是它們其中之一，說(shuō)明在 DSP 上另一篇不同的文章中），但它需 要對(duì)少量普通任務(wù)附加快速處理同樣，它能被認(rèn)為是使用除了正弦和余弦波基本函數(shù)的變換系列的一個(gè) 特例在這個(gè)方向上展開(kāi)概念超出了這篇文章的范圍最后，重要的是要提及一個(gè)更高效的 DFT 工具，也就是一個(gè)被稱做快速傅里葉變換的算法它最初 是由庫(kù)利和圖克在 1969 年構(gòu)思的（它的根源仍然要追溯到高斯和其它人的工作）FFT 只是一個(gè)高效的 算法，它比上面給出的以直接逼近計(jì)算 DFT 所化的時(shí)間少，它是結(jié)果完全相同的其它方法無(wú)論如何，F(xiàn) FT 是以庫(kù)利/圖克算法實(shí)施的，它需要變換長(zhǎng)度是 2 的冪在實(shí)踐中，對(duì)大多數(shù)應(yīng)用來(lái)說(shuō)這是一個(gè)可以接 受的限制有大量的以不同方法實(shí)施 FFT 的可利用的文獻(xiàn)，因而，可以說(shuō)有足夠多不同的 FFT 實(shí)現(xiàn)，其 中一些并不需要經(jīng)典 FFT 的 2 的冪的限制下面清單 1.4 以程序 smbFft()給出了一個(gè) FFT 的實(shí)現(xiàn)#define M_PI 3.14159265358979323846void smbFft(float *fftBuffer, long fftFrameSize, long sign)/*FFT routine, (C)1996 S.M.Bernsee. Sign = -1 is FFT, 1 is iFFT (inverse)Fills fftBuffer0.2*fftFrameSize-1 with the Fourier transform of the time domain data in fftBuffer 0.2*fftFrameSize-1. The FFT array takes and returns the cosine and sine parts in an interleaved manner, ie. fftBuffer0 = cosPart0, fftBuffer1 = sinPart0, asf. fftFrameSize must be a power of2. It expects a complex input signal (see footnote 2), ie. when working with common audio sig nals our input signal has to be passed as in0,0.,in1,0.,in2,0.,. asf. In that case, the transform of the frequencies of interest is in fftBuffer0.fftFrameSize.*/float wr, wi, arg, *p1, *p2, temp;float tr, ti, ur, ui, ur, ui, *p1r, *p1i, *p2r, *p2i;long i, bitm, j, le, le2, k;for (i = 2; i 2*fftFrameSize-2; i += 2) for (bitm = 2, j = 0; bitm 2*fftFrameSize; bitm = 1) if (i & bitm) j+;j = 1;if (i j) p1 = fftBuffer+i; p2 = fftBuffer+j;temp = *p1; *(p1+) = *p2;*(p2+) = temp; temp = *p1;*p1 = *p2; *p2 = temp;for (k = 0, le = 2; k (long)(log(fftFrameSize)/log(2.); k+) le 1;ur = 1.0;ui = 0.0;arg = M_PI / (le21);wr = cos(arg);wi = sign*sin(arg);for (j = 0; j le2; j += 2) p1r = fftBuffer+j; p1i = p1r+1;p2r = p1r+le2; p2i = p2r+1;for (i = j; i 2*fftFrameSize; i += le) tr = *p2r * ur - *p2i * ui;ti = *p2r * ui + *p2i * ur;*p2r = *p1r - tr; *p2i = *p1i - ti;*p1r += tr; *p1i += ti; p1r += le; p1i += le; p2r += le; p2i += le;tr = ur*wr - ui*wi;ui = ur*wi + ui*wr;ur = tr;The DFT “ Pied”: Mastering The Fourier Transform in One DayPosted by Bernsee on September 21, 1999 50 CommentsIf youre into signal processing, you will no doubt say that the headline is a very tall claim. I would second this. Of course you cant learn all the bells and whistles of the Fourier transform in one day without practising and repeating and eventually delving into the maths. However, this online course will provide you with the basic knowledge of how the Fourier transform works, why it works and why it can be very simple to comprehend when were using a somewhat unconventional approach. The important part: you will learn the basics of the Fourier transform completely without any maths that goes beyond adding and multiplying numbers! I will try to explain the Fourier transform in its practical application to audio signal processing in no more than six paragraphs below.Step 1: Some simple prerequisitesWhat you need to understand the following paragraphs are essentially four things: how to add numbers, how to multiply and divide them and what a sine, a cosine and a sinusoid is and how they look. Obviously, I will skip the first two things and just explain a bit the last one. You probably remember from your days at school the trigonometric functions* that were somehow mysteriously used in conjunction with triangles to calculate the length of its sides from its inner angles and vice versa. We dont need all these things here, we just need to know how the two most important trigonometric functions, the sine and cosine look like. This is quite simple: they look like very simple waves with peaks and valleys in them that stretch out to infinity to the left and the right of the observer.As you can see, both waves are periodic, which means that after a certain time, the period, they look the same again. Also, both waves look alike, but the cosine wave appears to start at its maximum, while the sine wave starts at zero. Now in practice, how can we tell whether a wave we observe at a given time started out at its maximum, or at zero? Good question: we cant. Theres no way to discern a sine wave and a cosine wave in practice, thus we call any wave that looks like a sine or cosine wave a sinusoid, which is Greek and translates to sinus-like. An important property of sinusoids is frequency, which tells us how many peaks and valleys we can count in a given period of time. High frequency means many peaks and valleys, low frequency means few peaks and valleys:Step 2: Understanding the Fourier TheoremJean-Baptiste Joseph Fourier was one of those children parents are either proud or ashamed of, as he started throwing highly complicated mathematical terms at them at the age of fourteen. Although he did a lot of important work during his lifetime, the probably most significant thing he discovered had to do with the conduction of heat in materials. He came up with an equation that described how the heat would travel in a certain medium, and solved this equation with an infinite series of trigonometric functions (the sines and cosines we have discussed above). Basically, and related to our topic, what Fourier discovered boils down to the general rule that every signal, however complex, can be represented by a sum of sinusoid functions that are individually mixed.What you see here is our original signal, and how it can be approximated by a mixture of sines (we will call them partials) that are mixed together in a certain relationship (a recipe). We will talk about that recipe shortly. As you can see, the more sines we use the more accurately does the result resemble our original waveform. In the real world, where signals are continuous, ie. you can measure them in infinitely small intervals at an accuracy that is only limited by your measurement equipment, you would need infinitely many sines to perfectly build any given signal. Fortunately, as DSPers were not living in such a world. Rather, we are dealing with samples of such realworld signals that are measured at regular intervals and only with finite precision. Thus, we dont need infinitely many sines, we just need a lot. We will also talk about that how much is a lot later on. For the moment, it is important that you can imagine that every signal you have on your computer can be put together from simple sine waves, after some cooking recipe.Step 3: How much is a lotAs we have seen, complex shaped waveforms can be built from a mixture of sine waves. We might ask how many of them are needed to build any given signal on our computer. Well, of course, this may be as few as one single sine wave, provided we know how the signal we are dealing with is made up. In most cases, we are dealing with realworld signals that might have a very complex structure, so we do not know in advance how many partial waves there are actually present. In this case, it is very reassuring to know that if we dont know how many sine waves constitute the original signal there is an upper limit to how many we will need. Still, this leaves us with the question of how many there actually are. Lets try to approach this intuitively: assume we have 1000 samples of a signal. The sine wave with the shortest period (ie. the most peaks and valleys in it) that can be present has alternating peaks and valleys for every sample. So, the sine wave with the highest frequency has 500 peaks and 500 valleys in our 1000 samples, with every other sample being a peak. The black dots in the following diagram denote our samples, so the sine wave with the highest frequency looks like this:Now lets look how low the lowest frequency sine wave can be. If we are given only one single sample point, how would we be able to measure peaks and valleys of a sine wave that goes through this point? We cant, as there are many sine waves of different periods that go through this point.So, a single data point is not enough to tell us anything about frequency. Now, if we were given two samples, what would be the lowest frequency sine wave that goes through these