進(jìn)一步鞏固橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 掌握直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí) 第2課時(shí)橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用 課標(biāo)要求 核心掃描 與直線和橢圓的位置關(guān)系相關(guān)的距離 弦長(zhǎng) 中點(diǎn)等問(wèn)題 重點(diǎn) 與橢圓相關(guān)的綜合應(yīng)用問(wèn)題 難點(diǎn) 1 2 1 2 自學(xué)導(dǎo)引 所以消y得一個(gè)一元二次方程 兩 一 無(wú) 想一想 直線和橢圓的位置關(guān)系能不能用中心到直線的距離來(lái)判斷呢 提示不能 因?yàn)闄E圓不是圓 中心到橢圓上點(diǎn)的距離不完全相等 直線與橢圓的位置關(guān)系 1 直線與橢圓有三種位置關(guān)系 相交 直線與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn) 相切 直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 相離 直線與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn) 2 直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷 我們把直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線和橢圓的公共點(diǎn)問(wèn)題 而直線與橢圓的公共點(diǎn)問(wèn)題 又可以轉(zhuǎn)化為它們的方程所組成的方程組的解的問(wèn)題 而它們的方程所組成的方程組的 名師點(diǎn)睛 解的問(wèn)題通常又可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程解的問(wèn)題 一元二次方程解的問(wèn)題可以通過(guò)判別式來(lái)判斷 因此 直線和橢圓的位置關(guān)系 通?？捎上鄳?yīng)的一元二次方程的判別式來(lái)判斷 其中 x1 x2 x1x2或y1 y2 y1y2的值 可通過(guò)由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y或x后得到關(guān)于x或y的一元二次方程得到 題型一直線與橢圓的位置關(guān)系 思路探索 可先利用弦長(zhǎng)公式及兩點(diǎn)斜率公式構(gòu)造方程組 再通過(guò)解方程組 得到基本元素a b的值 從而求得方程 解法一設(shè)a x1 y1 b x2 y2 代入橢圓方程并作差得a x1 x2 x1 x2 b y1 y2 y1 y2 0 例1 規(guī)律方法 1 法一利用了設(shè)點(diǎn)代入 作差 借助斜率解題的方法 稱作 點(diǎn)差法 或 平方差法 這是解析幾何中解決直線與圓錐曲線相交的常用方法 2 法二是圓錐曲線弦長(zhǎng)的基本求法 是利用兩點(diǎn)間的距離公式求得 并結(jié)合弦所在直線的斜率 利用弦長(zhǎng)公式與根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合較簡(jiǎn)單 如果是焦點(diǎn)弦可結(jié)合橢圓的定義解 解法一如右圖 設(shè)所求直線的方程為y 1 k x 2 代入橢圓方程并整理 得 4k2 1 x2 8 2k2 k x 4 2k 1 2 16 0 又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為a x1 y1 b x2 y2 則x1 x2是 方程的兩個(gè)根 變式1 所求直線的方程為x 2y 4 0 法二設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為a x1 y1 b x2 y2 p為弦ab的中點(diǎn) x1 x2 4 y1 y2 2 又 a b在橢圓上 x12 4y12 16 x22 4y22 16 兩式相減 得 x12 x22 4 y12 y22 0 即 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 法三設(shè)所求直線與橢圓的一交點(diǎn)為a x y 則另一交點(diǎn)為b 4 x 2 y a b在橢圓上 x2 4y2 16 4 x 2 4 2 y 2 16 從而a b在方程 的圖形x 2y 4 0上 而過(guò)a b的直線只有一條 所求直線的方程為x 2y 4 0 1 若點(diǎn)p的坐標(biāo)為 0 1 求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 若點(diǎn)p的坐標(biāo)為 0 t 求t的取值范圍 題型二橢圓的綜合問(wèn)題 例2 2 由點(diǎn)p的坐標(biāo)為 0 t 及點(diǎn)a位于x軸下方 得點(diǎn)a的坐標(biāo)為 0 t 3 t 3 b 即b 3 t 顯然點(diǎn)b的坐標(biāo)是 3 t 將它代入橢圓方程得 規(guī)律方法解析幾何中的綜合性問(wèn)題很多 而且可與很多知識(shí)聯(lián)系在一起出題 例如不等式 三角函數(shù) 平面向量以及函數(shù)的最值問(wèn)題等 解決這類問(wèn)題需要正確地應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想 函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想 其中應(yīng)用比較多的是利用方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等式或函數(shù)關(guān)系式 這其中要注意利用根的判別式來(lái)確定參數(shù)的限制條件 變式2 12分 我國(guó)計(jì)劃發(fā)射火星探測(cè)器 該探測(cè)器的運(yùn)行軌道是以火星 其半徑r 34百公里 的中心f為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓 如圖 已知探測(cè)器的近火星點(diǎn) 軌道上離火星表面最近 題型三與橢圓有關(guān)的應(yīng)用題 例3 題后反思 解答與橢圓相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí) 事物的實(shí)際含義向橢圓的幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵 其次要充分利用橢圓的方程對(duì)變量進(jìn)行討論 以解決實(shí)際問(wèn)題 神舟 五號(hào)載人飛船發(fā)射升空 于15日9時(shí)9分50秒準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道 開(kāi)始巡天飛行 該軌道是以地球的中心f2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓 選取坐標(biāo)系如圖所示 橢圓中心在原點(diǎn) 近地點(diǎn)a距地面200km 遠(yuǎn)地點(diǎn)b距地面350km 已知地球半徑r 6371km 求飛船飛行的橢圓軌道的方程 變式3 由題設(shè)條件得a c oa of2 f2a 6371 200 6571 a c ob of2 f2b 6371 350 6721 解得a 6646 c 75 所以a2 44169316 b2 a2 c2 a c a c 44163691 利用設(shè)而不解的方法求解直線與橢圓相交位置關(guān)系中的中點(diǎn) 弦長(zhǎng)等問(wèn)題是本節(jié)特別常見(jiàn)的方程思想方法 方法技巧函數(shù)方程思想在橢圓中的應(yīng)用 示例 思路分析 求弦ab的長(zhǎng) 需確定點(diǎn)a b的坐標(biāo) 點(diǎn)a b是直線與橢圓的交點(diǎn) 因此由直線方程和橢圓方程組成方程組 解方程組 依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式可求解 方法點(diǎn)評(píng)解決直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題經(jīng)常利用設(shè)而不解的方法 解題步驟為 1 設(shè)直線