專題七：直線和圓余杭實(shí)驗(yàn)中 任惜芬【考點(diǎn)審視】本章是解析幾何的基礎(chǔ)，也是高考對解析幾何進(jìn)行綜合考查的重要組成部分之一，因?yàn)橹本€和圓是最簡單基本的幾何圖形。研究直線和圓的思想與方法也是解析幾何研究的基本思想與方法，同時也是后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，所以直線和圓成為高考的必考內(nèi)容。命題的特點(diǎn)：1.本章在高考中主要考查兩類問題：基本概念題和求在不同條件下的直線方程?；靖拍钪攸c(diǎn)考查（1）與直線方程特征值（主要指斜率、截距）有關(guān)的問題；（2）直線的平行和垂直的條件；（3）與距離有關(guān)的問題等。此類題大都屬于中、低檔題，以選擇題和填空題形式出現(xiàn)。2.直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系等綜合性試題，此類題難度較大，一般以解答題形式出現(xiàn)。3.由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，因此有關(guān)函數(shù)、數(shù)列、不等式等代數(shù)問題往往借助直線方程進(jìn)行解決，考查學(xué)生的綜合能力及創(chuàng)新能力。4.本章的線性規(guī)劃內(nèi)容是新教材中增加的新內(nèi)容，在高考中極有可能涉及，但難度不會大。應(yīng)試策略：首先是注重基礎(chǔ)，基本知識、基本題型要掌握好，不必做那些難的有關(guān)直線的問題，高考中直線以解答題形式出現(xiàn)的可能性不大。解析幾何解答題大多是關(guān)于直線與圓錐曲線關(guān)系的綜合題，考查綜合運(yùn)用知識、分析問題、解決問題的能力，尤其現(xiàn)在高考不要求兩圓錐曲線的交點(diǎn)來解決問題后，直線和圓錐曲線的關(guān)系問題更是重要，因此，在復(fù)習(xí)中要注意滲透本章知識在解答解析幾何綜合問題時的運(yùn)用。【疑難點(diǎn)拔】直線的斜率及直線方程的幾種形式是本章的重點(diǎn)，本章的難點(diǎn)是傾斜角及直線方程的概念，突破難點(diǎn)的方法之一是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，要注意直線方程幾種形式的適用性和局限性，直線方程中的各個參數(shù)都具有明顯的幾何意義，它對直線的位置、點(diǎn)與直線、直線與直線、直線與圓的各種關(guān)系的研究十分重要，高考中重點(diǎn)考查運(yùn)用上述知識解題的變通能力。在解答有關(guān)直線的問題時，要注意：（1）在確定直線的斜率、傾斜角時，首先要注意斜率存在的條件，其次是傾斜角的范圍；（2）在利用直線的截距式解題時，要注意防止由于“零截距”而造成丟解的情況；（3）在利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式解題時，要注意檢驗(yàn)不存在的情況，防止丟解；（4）直線方程的三種形式各有適用范圍，要能根據(jù)題中所給已知條件選用最恰當(dāng)?shù)谋硎拘问?，并能根?jù)問題的需要靈活準(zhǔn)確地進(jìn)行互化，在求直線方程時，要注意需二個獨(dú)立的條件才能確定。常用的方法是待定系數(shù)法；（5）兩直線的平行與垂直是現(xiàn)實(shí)生活中最常見到的兩種特殊位置關(guān)系，故掌握它們的判斷方法就顯得非常重要，特別要提醒的是應(yīng)把它們的判定和平面兩向量共線與垂直的判定有機(jī)地結(jié)合在一起；（6）在由兩直線的位置關(guān)系確定有關(guān)參數(shù)的值或其范圍時，要充分利用分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗(yàn)等基本的數(shù)學(xué)思想方法。(7)直線方程問題是“解析幾何”的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時應(yīng)注意積累下面兩方面的經(jīng)驗(yàn)：正確選擇各種直線方程解決各種問題；通過直線方程問題的解題，逐步認(rèn)識“解析幾何”問題的解題思維策略，積累“方程”、“坐標(biāo)”、“圖形”的解題經(jīng)驗(yàn)。線性規(guī)劃是直線方程在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，常通過二元一次不等式表示的平面區(qū)域來確定實(shí)際問題的解，應(yīng)用極為廣泛。加強(qiáng)思想方法訓(xùn)練，培養(yǎng)綜合能力。平面解析幾何的核心是坐標(biāo)法，它需要運(yùn)用變化的觀點(diǎn)，運(yùn)用代數(shù)的方法研究幾何問題，因此在處理解析幾何問題時，從知識到思想方法上都需要與函數(shù)、方程、不等式、三角及平面幾何內(nèi)容相聯(lián)系。能夠判斷直線與圓、點(diǎn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系，解決直線與圓的有關(guān)問題的基本方法是將直線和圓的方程組成的方程組通過消元，化成一元二次方程，然后靈活使用判別式或違達(dá)定理解題；同時要善于利用直線和圓的幾何知識解題。直線與圓的位置關(guān)系是直線的一種重要應(yīng)用，在高考中每年都有重點(diǎn)的考查，因此在復(fù)習(xí)時一定注意知識間的橫向聯(lián)系，以達(dá)到融匯貫通?！局R網(wǎng)絡(luò)】直線和圓求曲線的方程曲線的交點(diǎn)曲線與方程圓圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程圓的參數(shù)方程直線與圓的位置關(guān)系直線點(diǎn)與直線位置關(guān)系點(diǎn)到直線的距離傾斜角五種形式直線方程二元一次不等式表示平面區(qū)域線性規(guī)劃斜 率直線與直線位置關(guān)系相 交平 行重 合交 點(diǎn)夾 角平行線間的距離專題七：直線與圓余杭實(shí)驗(yàn)中學(xué) 任惜芬【經(jīng)典題例】例1：不等式 表示的平面區(qū)域是在直線（ ）的點(diǎn)的集合。（A）左上方 （B）右上方 （C）左下方 （D）右下方思路分析 作出直線，又因?yàn)?，所以原點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)側(cè)表示直線的左下方，故選取C。簡要評述 用特殊值法解選擇題是常用的方法。例2：若直線與曲線恰有一個公共點(diǎn)，則的取值范圍是 ( )（A） （B） （C） （D）或(-1,1思路分析 數(shù)形結(jié)合的思想，表示一組斜率為1的平行直線，表示y軸的右半圓。如圖可知，選（D）簡要評述 數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用，此題可以進(jìn)一步拓展，等。例3：如果實(shí)數(shù)x、y滿足，那么的最大值是 。思路分析 解法一：設(shè)直線l：，則表示直線的斜率，直線與圓OMCyx相切時，斜率為最大或最小，所以只要求圓心到直線距離為半徑即可。解法二：設(shè)圓的參數(shù)方程：則 據(jù)三角知識求解。解法三：設(shè)=t ，則 只要解方程組，利用可得解。解法四：如圖，聯(lián)結(jié)圓心C與切點(diǎn)M，則由OMCM，又RtOMC中，OC=2，CM= 所以，OM=1，得 簡要評述 小題小做，選方法四最為簡單，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用。例4：已知兩點(diǎn)，求直線的斜率與傾斜角。思路分析 注意斜率存在的條件。當(dāng)時，不存在。=，當(dāng)時，；當(dāng)時,，當(dāng)時,簡要評述 此題涉及到分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，分類討論在歷年的高考中，特別是綜合性題目中常常出現(xiàn)，是重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想方法之一。例5：過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交、的正半軸于、，若四邊形的面積被直線平分，求直線方程。思路分析 命題有兩種設(shè)方程的方案：設(shè)、的點(diǎn)斜式方程，然后求出；設(shè)的截距式方程，經(jīng)過估算，應(yīng)選第方案更好。設(shè)方程為（a0,b0）、。 a0 0b5 方程的一般式為到的距離的面積而的面積，直線平分四邊形的面積， ， 可得 故所求方程為和。簡要評述 若命題中的直線與兩坐標(biāo)軸均有交點(diǎn)，應(yīng)首先考慮選用截距式方程是否有利。例6：已知，定點(diǎn)A(1,0)，B、C是圓上兩個動點(diǎn)，保持A、B、C在圓上逆時針排列，且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求ABC重心G的軌跡方程。思路分析 設(shè)，則；設(shè)G（x，y）則 2+2 得 即 簡要評述 適當(dāng)運(yùn)用圓的參數(shù)方程，設(shè)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，有利于尋求函數(shù)關(guān)系。PAxyCBM例7：過點(diǎn)P（-8，0），引圓C： 的割線，求被此圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。思路分析 方法一， CMPM，弦AB的中點(diǎn)M的軌跡是以P（-8，0）、C（1，-5）中點(diǎn)為圓心，|PC|長為直徑的圓。 （圓C的內(nèi)部）方法二，設(shè)M（x，y）為中點(diǎn)，過點(diǎn)P（-8，0）的直線，又設(shè)A（，y1），B（x2，y2），由方程組 可以得到據(jù)韋達(dá)定理可以得解。 方法三， 化簡得 （圓C的內(nèi)部） 簡要評述 方法一是據(jù)圓的定義得解的較為簡單；方法二容易想到，但計(jì)算量太大；方法三是利用平面兩向量垂直的性質(zhì)與平面兩向量的數(shù)量積，使解題過程簡單化。xBB1yO(A)例8：已知?dú)庀笈_A處向西300km處，有個臺風(fēng)中心，已知臺風(fēng)以每小時40km的速度向東北方向移動，距臺風(fēng)中心250km以內(nèi)的地方都處在臺風(fēng)圈內(nèi)，問：從現(xiàn)在起，大約多長時間后，氣象臺A處進(jìn)入臺風(fēng)圈？氣象臺A處在臺風(fēng)圈內(nèi)的時間大約多長？思路分析 如圖建立直角坐標(biāo)系，B為臺風(fēng)中心，處在臺風(fēng)圈內(nèi)的界線為以B為圓心，半徑為250的圈內(nèi)，若t小時后，臺風(fēng)中心到達(dá)B1點(diǎn)，則B1(-300+40tCOS450,40tsin450)，則以B1為圓心，250為半徑的圓的方程為那么臺風(fēng)圈內(nèi)的點(diǎn)就應(yīng)滿足 。若氣象臺A處進(jìn)入臺風(fēng)圈，那么A點(diǎn)的坐標(biāo)就應(yīng)滿足上述關(guān)系式，把A點(diǎn)的坐標(biāo)(0，0)代入上面不等式，得，解得，即為；所以氣象臺A處約在2小時后進(jìn)入臺風(fēng)圈，處在臺風(fēng)圈內(nèi)的時間大約6小時37分。簡要評述 學(xué)生怕做應(yīng)用題，幫助學(xué)生分析題意尤其重要。關(guān)鍵是尋求有效信息，建立函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)算到位?！緹嵘頉_刺】一、選擇題：1 ABC中，三個頂點(diǎn)坐標(biāo)A（2，4）、B（-1，2）、C（1，0），點(diǎn)P（x，y）在內(nèi)部及其邊界運(yùn)動，則z=x-y的最大值及最小值是 （ ） （A）3，1 （B）-1，-3 （C）1，-3 （D）3，-12已知點(diǎn)A（3，1）和B（-4，6）在直線的兩側(cè)，則a的取值范圍（ ） （A）-7a24 （B）-24a7 （C）a7或a24 （D）a=7或a=243如果直線的斜率分別是方程的兩根，則的夾角是 （ ） （A）/3 （B）/4 （C）/6 （D）/84 平行直線與的距離是 （ ） （A）2/13 （B）1/13 （C）1/26 （D）5/265等腰三角形ABC，若一腰的兩個端點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（4，2）、B（-2，0），A為頂點(diǎn)，則點(diǎn)C的軌跡方程是 （ ） （A）（B） （C）（D）6圓到直線的距離等于的點(diǎn)有 （ ） （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個7曲線曲線方程式是 （ ）（A）（B）（C）（D） 8已知A（3，1），B（-1，2）若ACB的平分線方程為，則AC所在的直線方程為 （ ）（A） （B） （C） （D）9一條光線從點(diǎn)M（5，3）射出，與軸正向成角，遇軸后反射，若tan=3，則反射光線所在直線方程為 （ ） （A） （B） （C） （D）10將直線沿軸正方向平移兩個單位，再沿軸負(fù)方向平移3個單位，又回到了原來的位置，則的斜率為 （ ） （A） （B） （C） （D）二、填空題：11不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)是 。12直線恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)的坐標(biāo)是 。 13若實(shí)數(shù)，滿足關(guān)系：，則+的最大值是 。14若圓，（）關(guān)于-=0對稱，則系數(shù)D、E、F滿足關(guān)系 。三、解答題：15直線：相交于第四象限，求m的取值范圍。 16設(shè)實(shí)數(shù)a，考慮方程組（1）若此方程組有實(shí)數(shù)解，求a的范圍；（2）此方程組有幾組不同的實(shí)數(shù)解？17有一種大型的商品，A、B兩地均有出售且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運(yùn)回來每公里的運(yùn)費(fèi)A地是B地兩倍。若A、B兩地相距10公里，顧客選擇A地或B地購買這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價格的總費(fèi)用較低，那么，不同地點(diǎn)的居民應(yīng)如何選擇購買此商品的地點(diǎn)？18已知點(diǎn)A（-1，-4），試在y軸和直線y=x上各取一點(diǎn)B、C，使ABC的周長最小。19已知圓x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0。（1）求證：不論m取何值，圓心在同一直線上；（2）與平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；（3）求證：不論m取何值，任何一條平行于且與圓相交的直線被圓截得的弦長相等。20已知ABC的三邊長分別為3、4、5，點(diǎn)P是它的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求分別以PA、PB、PC為直徑的三個圓面積之和的最大值和最小值。【熱身沖刺】參考答案110.CAACB CCCDB，11（1，1），12（-2，3），135，14D=E，15m-1/216因?yàn)?20表示過原點(diǎn)的兩條互相垂直的直線：y=x，y=-x，（x-a）2+y2=1表示圓心為C（a，0），半徑為1的動圓，本題討論方程組有實(shí)數(shù)解的問題即討論圓與直線有公共點(diǎn)的問題。（1）-a；（2）當(dāng)-a-1或-1a1或1a時有四組實(shí)數(shù)解，當(dāng)a=1時，有三組實(shí)數(shù)解，當(dāng)a=時，有兩組實(shí)數(shù)解，當(dāng)a-或a時無實(shí)數(shù)解。17以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)A（-5，0），則B（5，0），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)P（x，y），設(shè)從A運(yùn)貨物到P的運(yùn)費(fèi)為2a元/km，則從B運(yùn)到P的費(fèi)用是a元/km，若P地居民選擇在A地購買此商品，則即P點(diǎn)在圓C的內(nèi)部.換言之,圓C內(nèi)部的居民應(yīng)在A地購買,同理可推得圓C外部的應(yīng)在B地購物，圓C上的居民可隨意選擇A、B兩地之一購物。AA1xyOCA2B18嘗試使用對稱法，如圖作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A1，再作A點(diǎn)關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)A2，在y軸和y=x上公別取點(diǎn)B、 C，則|BA|=|BA1|，|AC|=|A2C|，于是ABC的周長|AB|+|BC|+|CA|=|A1B|+|BC|+|CA2|，從而將問題轉(zhuǎn)化為在y軸，y=x上各取一點(diǎn)，使折線A1BCA2的長度最小。B（0，-17/5）和C（-17/8，-17/8）19（1）配方得圓心，將心坐標(biāo)消去m可得直線a：x-3y-3=0 （2）設(shè)與直線a平行的直線c：x-3y+b=0（b-3），則圓心到直線a的距離為，圓的半徑r=5，當(dāng)dr時，