在概率論中常常會(huì)遇到一些較復(fù)雜的事件 這就提出如下問題 復(fù)雜事件A的概率如何求 例有三個(gè)箱子 分別編號(hào)為1 2 3 1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球 2號(hào)箱裝有2紅3白球 3號(hào)箱裝有3紅球 某人從三箱中任取一箱 從中任意摸出一球 求取得紅球的概率 解 記A 取得紅球 且AB1 AB2 AB3兩兩互斥 P A P AB1 P AB2 P AB3 運(yùn)用加法公式得 1 2 3 Bi 球取自i號(hào)箱 i 1 2 3 對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得 代入數(shù)據(jù)計(jì)算得 P A 8 15 P A P AB1 P AB2 P AB3 定義 設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間 B1 Bn為E的一組事件 若 1 B1 Bn互不相容 i 1 n 2 則稱B1 Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分 或者稱為完備事件組 定理 上式稱為全概率公式 設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間 A為E的事件 B1 Bn為S的一個(gè)劃分 且P Bi 0 i 1 n 則 某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因 或途徑 或前提條件 i 1 2 n 如果A是由原因Bi所引起 則A發(fā)生的概率是 每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生 故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和 即全概率公式 P BiA P Bi P A Bi 由此可以形象地把全概率公式看成為 由原因推結(jié)果 每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的 作用 即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的 作用 大小有關(guān) 全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系 諸Bi是原因A是結(jié)果 實(shí)際中還有下面一類問題 是 已知結(jié)果求原因 這一類問題在實(shí)際中更為常見 它所求的是條件概率 即已知結(jié)果發(fā)生的條件下 求某原因發(fā)生可能性的大小 例8某人從任一箱中任意摸出一球 發(fā)現(xiàn)是紅球 求該球是取自1號(hào)箱的概率 先分析后求解 記Bi 球取自i號(hào)箱 i 1 2 3 A 取得紅球 求P B1 A 運(yùn)用全概率公式計(jì)算P A 將這里得到的公式一般化 就得到 二 貝葉斯公式 定理 設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間 A為E的事件 B1 Bn為S的一個(gè)劃分 且P Bi 0 i 1 n P A 0 則有 貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用 它可以幫助人們確定某結(jié)果 事件A 發(fā)生的最可能原因 我們說 在事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率一般地不等于A的無條件概率 但是 會(huì)不會(huì)出現(xiàn)P A P A B 的情形呢 顯然P A B P A 這就是說 已知事件B發(fā)生 并不影響事件A發(fā)生的概率 這時(shí)稱事件A B獨(dú)立 A 第二次擲出6點(diǎn) B 第一次擲出6點(diǎn) 先看一個(gè)例子 將一顆均勻骰子連擲兩次 設(shè) 不難證明 當(dāng)P B 0時(shí) 有 隨機(jī)事件的獨(dú)立性 兩個(gè)事件獨(dú)立性 多個(gè)事件獨(dú)立性 1 兩個(gè)事件的獨(dú)立性 對(duì)任意的兩個(gè)事件A B 若滿足P AB P A P B 則稱事件A與B是相互獨(dú)立的 注意 必然事件與任何事件獨(dú)立 不可能事件與任何事件獨(dú)立 例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張 記A 抽到K B 抽到的牌是黑色的 可見 P AB P A P B 由于P A 4 52 1 13 說明事件A B獨(dú)立 問事件A B是否獨(dú)立 解 P AB 2 52 1 26 P B 26 52 1 2 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張 記A 抽到K B 抽到的牌是黑色的 則由于P A 1 13 P A B 2 26 1 13P A P A B 說明事件A B獨(dú)立 在實(shí)際應(yīng)用中 往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立 一批產(chǎn)品共n件 從中抽取2件 設(shè)Ai 第i件是合格品 i 1 2 若抽取是有放回的 則A1與A2獨(dú)立 又如 若抽取是無放回的 則A1與A2不獨(dú)立 請(qǐng)問 如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎 即 若A B互不相容 且P A 0 P B 0 則A與B不獨(dú)立 反之 若A與B獨(dú)立 且P A 0 P B 0 則A B不是互不相容的 性質(zhì)1 若事件A與B相互獨(dú)立 則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立 證明如下 P A 1 P B P A P P A P AB P A P A AB A B獨(dú)立 故A與獨(dú)立 概率的性質(zhì) P A P A P B 證明 只證A與獨(dú)立 2 多個(gè)事件的獨(dú)立性 對(duì)任意三個(gè)事件A B C 若 則稱事件A B C相互獨(dú)立 簡稱A B C獨(dú)立 對(duì)任意n個(gè)事件A1 An 若 則稱事件A1 An相互獨(dú)立 簡稱A1 An獨(dú)立 請(qǐng)注意多個(gè)事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系 兩兩獨(dú)立 相互獨(dú)立 對(duì)n n 2 個(gè)事件 反例隨機(jī)投擲編號(hào)為1與2的兩個(gè)骰子事件A表示1號(hào)骰子出現(xiàn)奇數(shù)B表示2號(hào)骰子出現(xiàn)奇數(shù)C表示兩骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù) 則 但 性質(zhì)2 性質(zhì)3 若A1 An相互獨(dú)立 則 若A1 An相互獨(dú)立 則 其中任意k 個(gè)事件也是相互獨(dú)立的 證明如下 設(shè)事件相互獨(dú)立 則 也相互獨(dú)立 也就是說 n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于1減去各自對(duì)立事件概率的乘積 例下面是一個(gè)串并聯(lián)電路示意圖 A B C D E F G H都是電路中的元件 它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率 求電路正常工作的概率 解 將電路正常工作記為W 由于各元件獨(dú)立工作 有 其中 P W 0 782 代入得 有這樣一類實(shí)驗(yàn)E 其特點(diǎn)是只有兩個(gè)可能的結(jié)果 例如 對(duì)目標(biāo)射擊一次 只有 擊中目標(biāo) 與 沒有擊中目標(biāo) 兩種結(jié)果 有的實(shí)驗(yàn)盡管其實(shí)驗(yàn)結(jié)果不止兩個(gè) 但如果試驗(yàn)中只關(guān)心某一事件A是否發(fā)生 則試驗(yàn)也可以看做是這一類試驗(yàn) 一般把只有兩個(gè)可能結(jié)果的實(shí)驗(yàn)稱為是伯努利 Bernoulli 實(shí)驗(yàn) n重伯努利試驗(yàn)概型 n重伯努利試驗(yàn)中 事件A出現(xiàn)k次的概率記為 且 解每取一個(gè)球看作是做了一次試驗(yàn) 記取得白球?yàn)槭录嗀 有放回地取4個(gè)球看作做了4重Bernoulli試驗(yàn) 記第i次取得白球?yàn)槭录嗀i 感興趣的問題為 4次試驗(yàn)中A發(fā)生2次的概率 例4袋中有3個(gè)白球 2個(gè)紅球 有放回地取球4次 每次一只 求其中恰有2次取到白球的概率 設(shè)E為伯努利試驗(yàn) 且P A p 0 p 1 對(duì)于n重伯努利概型En 事件A恰好發(fā)生k 0 k n 次的概率為 Yes Itisconsiderablyimportant 相