第十章 F分布及其應(yīng)用學(xué)習(xí)要點(diǎn)第一節(jié) F分布第二節(jié) F分布的應(yīng)用方差的同質(zhì)性檢驗(yàn)第三節(jié) F分布的應(yīng)用方差分析本章小結(jié)學(xué)習(xí)要點(diǎn)1理解方差分析的基本原理2熟練掌握方差分析的基本方法3熟練掌握不同實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析方法4熟練掌握方差分析的全過(guò)程5了解二因素方差分析的原理6初步掌握SPSS中的方差分析操作第一節(jié) F分布研究A、B、C三種不同學(xué)校學(xué)生的閱讀理解成績(jī)找到一種解決的辦法，有人可能會(huì)以為，只要多次使用檢驗(yàn)或檢驗(yàn)，比較成對(duì)比較學(xué)校（或條件）即可。但是我們不會(huì)這樣來(lái)處理。因?yàn)闄z驗(yàn)或檢驗(yàn)有其局限性。一、檢驗(yàn)和檢驗(yàn)的局限性當(dāng)研究中出現(xiàn)兩個(gè)以上的平均數(shù)時(shí)，用Z檢驗(yàn)和檢驗(yàn)會(huì)有以下一些不足。（一）比較的組合次數(shù)增多如上所述，若把三所學(xué)校成對(duì)比較，則需對(duì)A校與B校，B校與C校，C校與A校做檢驗(yàn)，這時(shí)我們所做的檢驗(yàn)是三次而不是一次。如果一次研究10個(gè)學(xué)校，其檢驗(yàn)數(shù)就會(huì)達(dá)到45個(gè)之多。事實(shí)上我們只需要一個(gè)可以讓我們同時(shí)處理兩種以上條件的單獨(dú)檢驗(yàn)。（二）降低可靠程度因?yàn)閷?duì)數(shù)據(jù)做得檢驗(yàn)或檢驗(yàn)越多，我們更容易犯型錯(cuò)誤。在一個(gè)檢驗(yàn)中，0.05，意味著有0.05的可能性犯型錯(cuò)誤，即有1-=0.95的概率不犯型錯(cuò)誤。如果我們做兩次檢驗(yàn)，每次都為0.05的顯著性水平，那么不犯型錯(cuò)誤的概率就變?yōu)?.950.950.90。此時(shí)犯型錯(cuò)誤的概率則為1-0.900.10，即至少犯一次型錯(cuò)誤的概率翻了一倍。若做10次檢驗(yàn)的話，至少犯一次型錯(cuò)誤的概率將上升到0.40（1-0.952），而10次檢驗(yàn)結(jié)論中都正確的概率只有60%。所以說(shuō)采用檢驗(yàn)或檢驗(yàn)隨著均數(shù)個(gè)數(shù)的增加，其組合次數(shù)增多，從而降低了統(tǒng)計(jì)推論可靠性的概率，增大了犯錯(cuò)誤的概率。若想要若干檢驗(yàn)的總顯著性水平仍為0.05的話，一種做法就是為每一獨(dú)立檢驗(yàn)設(shè)置更為保守的顯著性水平。譬如，若進(jìn)行5次檢驗(yàn)，為了使總的犯型錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)仍為0.05，則每一個(gè)獨(dú)立檢驗(yàn)的顯著性水平需設(shè)為p0.01（因?yàn)?-0.990.990.990.990.990.05）。另一種可替代的方法就是設(shè)計(jì)一種能使總顯著性水平始終0.05的單一檢驗(yàn)，即方差分析。3缺少綜合或整體信息兩個(gè)以上的平均數(shù)檢驗(yàn)中若仍采用檢驗(yàn)或檢驗(yàn)都只提供了兩個(gè)組所提供的信息，而忽略了其余的綜合信息。然而在許多情況下這些被忽視的信息可能對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生更大的影響力。同時(shí)在十次檢驗(yàn)之后所得到只是零散的信息，并非從總體來(lái)分析幾種不同條件的效果，也難以獲得幾種不同條件的直接答案。二、方差分析的含義與假設(shè)所謂方差分析（analysis of variance）就是對(duì)多個(gè)平均數(shù)進(jìn)行比較的一種統(tǒng)計(jì)方法，又稱變異數(shù)分析，即ANOVA。它與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)緊密相聯(lián)，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)不同，方差分析的方法也有所不同。以下三條假設(shè)在進(jìn)行方差分析時(shí)是非常關(guān)鍵的。否則易產(chǎn)生錯(cuò)誤的統(tǒng)計(jì)結(jié)論。（一）總體分布的正態(tài)性方差分析與檢驗(yàn)和檢驗(yàn)一樣，也要求樣本必須來(lái)自正態(tài)分布的總體。在心理與教育研究領(lǐng)域，大多數(shù)變量是可以假設(shè)其總體服從正態(tài)分布的。因此在一般進(jìn)行方差分析時(shí)并不要求檢驗(yàn)總體的正態(tài)性。但是當(dāng)我們有確實(shí)的證據(jù)證明總體分布不正態(tài)時(shí)，就需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一些處理，譬如采用某種方式進(jìn)行數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)分布呈正態(tài)分布后再作方法分析，或者可進(jìn)行非參數(shù)的方差分析。（二）各個(gè)實(shí)驗(yàn)組的方差齊性方差分析要求各總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差相同。如若總體方差不一致，那么方差分析得出差異顯著結(jié)論時(shí)就無(wú)法進(jìn)行很好的回因分析。譬如，某校在實(shí)驗(yàn)班和普通班進(jìn)行教學(xué)方法的實(shí)驗(yàn)，以新方法施教于實(shí)驗(yàn)班，以傳統(tǒng)方法施教于普通班。實(shí)驗(yàn)結(jié)束后發(fā)現(xiàn)兩班成績(jī)差異非常顯著，然而這種差異究竟是教法不同造成的，還是兩班學(xué)生原有學(xué)習(xí)水平不同引起的，我們無(wú)法回答這個(gè)問(wèn)題。因此，方差分析前需對(duì)各樣本的方差做一致性檢驗(yàn)，稱方差齊性檢驗(yàn)，只有滿足了方差齊性的條件才可做方差分析。（三）變異具有加可性變異具有可加性是方差分析中的又一重要假設(shè)。眾所周知，影響事物的因素是多種多樣的，方差分析是將事物的總變異分解為各個(gè)不同變異來(lái)源，分解后的各部分變異是相互獨(dú)立，相加后又構(gòu)成總變異。三、方差分析的過(guò)程方差分析的過(guò)程有廣義與狹義之分。廣義的方差分析包括了方差的齊性檢驗(yàn)，F(xiàn)檢驗(yàn)和多重比較（逐對(duì)平均數(shù)的比較）。狹義的方差分析僅指F檢驗(yàn)，其內(nèi)容有建立假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)值（變異的平方和、自由度、均方和F值）、統(tǒng)計(jì)決策和制作方差分析表。第二節(jié) F分布的應(yīng)用方差的同質(zhì)性檢驗(yàn)一、方差分析的基本原理假設(shè)從一個(gè)學(xué)習(xí)方法實(shí)驗(yàn)中抽取了9名被試的學(xué)習(xí)成績(jī)，如表10-1所示。隨后又抽取了9名被試的學(xué)習(xí)成績(jī)，如表10-2所示。你能從這些數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題嗎？ 表10-1 第1次抽取結(jié)果表10-2 第2次抽取結(jié)果方法學(xué)生實(shí)驗(yàn)成績(jī)方法學(xué)生實(shí)驗(yàn)成績(jī)A6576A1744B11910107B62865C5465C3655首先，從以上數(shù)據(jù)可看出，不僅組與組之間存在不同，而且同一組內(nèi)部也存在著不同。組與組之間的差異稱組間變異（variation between classes），反映在各組的平均數(shù)不同。同一組內(nèi)部被試（個(gè)體）之間的差異稱組內(nèi)變異（variation within class），反映在每一個(gè)人的分?jǐn)?shù)不同。其次，從組間變異看，表10-1的組間變異大于表10-2。如表10-1中A、B、C的組平均數(shù)與總平均數(shù)分別相差1、4、2分，表10-2中的三組平均數(shù)總平均差1分。再次，從看組內(nèi)變異看（各組原始分與組平均數(shù)比較），表10-1各組原始分與組平均基本差1分，10-2各組原始分與組平均數(shù)最大有4分之差。綜上所述，表10-1組間變異較大而組內(nèi)變異較小，表10-2組間變異較小而組內(nèi)變異較大?？梢?jiàn)，組間變異的大小與組內(nèi)變異的大小并非正比關(guān)系。這一現(xiàn)象表明，如果組間變異相對(duì)較大，而組內(nèi)變異相對(duì)較小，則各組平均數(shù)的變異越明顯，即若組間變異與組內(nèi)變異的比率越大，各組平均數(shù)的差異越大。因此，通過(guò)組間變異和組內(nèi)變異比率大小來(lái)推論幾個(gè)相應(yīng)平均數(shù)差異顯著性的思想就是方差分析的邏輯依據(jù)或基本原理。所以說(shuō)，方差分析是將實(shí)驗(yàn)中的總變異分解為組間變異和組內(nèi)變異，并通過(guò)組間變異和組內(nèi)變異比率的比較來(lái)確定影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果因素的數(shù)學(xué)方法，其實(shí)質(zhì)是以方差來(lái)表示變異的程度。在方差分析中，引起組間變異的主要原因是實(shí)驗(yàn)者所施加的實(shí)驗(yàn)條件和隨機(jī)誤差，這種隨機(jī)誤差是由于一些偶然因素引起的。引起組內(nèi)變異的主要原因則是被試間的個(gè)體差異和實(shí)驗(yàn)誤差等，也屬隨機(jī)因素的影響，因此也可看作是一種隨機(jī)誤差?？傋儺惖姆纸庖?jiàn)圖10-1?？傋儺惤M間變異 實(shí)驗(yàn)條件 隨機(jī)誤差組內(nèi)變異 個(gè)體差異隨機(jī)誤差 實(shí)驗(yàn)誤差圖10-1 總變異的分解圖如果組間與組內(nèi)變異均為隨機(jī)誤差時(shí)，二者的比率為1，即實(shí)驗(yàn)因素的影響較小，由此推論總變異不存在差異。當(dāng)二者的比率較大時(shí)，則實(shí)驗(yàn)因素產(chǎn)生影響的可能性增大。二、方差分析的基本過(guò)程（一）各變異的內(nèi)容與表達(dá)根據(jù)各變異的關(guān)系及方差分析可加性的特點(diǎn)，有總變異 = 組間變異 + 組內(nèi)變異變異（Variance，用V表示）即方差（S2），又稱均方差或均方（Mean Square，MS），其公式為其中，分子為離均差平方和，簡(jiǎn)稱平方和，記為SS；分母為自由度，記為，所以總變異及各變異原因記為總變異的數(shù)學(xué)意義是每一原始分?jǐn)?shù)（X）與總平均數(shù)（）的離差，記為組間變異的數(shù)學(xué)意義是每一組的平均數(shù)（）與總平均數(shù)的離差，記為組內(nèi)變異的數(shù)學(xué)意義是每一組內(nèi)部的原始分?jǐn)?shù)與其組平均數(shù)（）的離差，記為方差分析是一種參數(shù)檢驗(yàn)方法，因此在進(jìn)行均數(shù)差異的檢驗(yàn)時(shí)必須考慮作為參數(shù)檢驗(yàn)應(yīng)具備的條件，即應(yīng)考慮不同總體的變異水平個(gè)體差異是否一致。只有在待檢驗(yàn)的幾個(gè)總體的方差一致的前提下，才能根據(jù)差異檢驗(yàn)的結(jié)果作出適當(dāng)?shù)慕Y(jié)論，否則對(duì)差異原因就難以歸因，譬如究竟是實(shí)驗(yàn)條件不同產(chǎn)生的影響，還是個(gè)體之間本身的差異造成的影響。對(duì)于樣本所來(lái)自的各個(gè)總體的方差是否一致的問(wèn)題可以從兩方面著手。一是如果已積累了大量的經(jīng)驗(yàn)，則可預(yù)先做出方差一致的判斷，進(jìn)行差異檢驗(yàn)時(shí)可以假定幾個(gè)總體的方差相等。二是如果根據(jù)經(jīng)驗(yàn)不足以判斷方差是否一致，可以根據(jù)研究所搜集的資料樣本方差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，檢驗(yàn)方差相等的假設(shè)是否成立。因此方差齊性檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)各總體方差是否一致的統(tǒng)計(jì)方法。方差齊性檢驗(yàn)（test of homogeneity of variance）的虛無(wú)假設(shè)是假設(shè)各個(gè)總體的方差相等（即無(wú)顯著差異）或是各個(gè)樣本方差來(lái)自相同的總體，其表達(dá)方式記為Ho：研究假設(shè)雖然不能保證所有的方差存在顯著差異，但可以假設(shè)至少有兩總體的方差存在顯著差異，只要有兩種總體方差或樣本方差不一致，虛無(wú)假設(shè)各總體方差相等就不成立了。二、方差齊性檢驗(yàn)的方法 檢驗(yàn)多個(gè)總體方差一致性的方法很多，但是最常是哈特萊（Hartley）檢驗(yàn)法。哈特萊檢驗(yàn)法是檢驗(yàn)這一假設(shè)的較好方法，它借助于最大值來(lái)檢驗(yàn)。所謂最大值就是把一系列方差中的最大方差與最小方差進(jìn)行比較的方法，即在虛無(wú)假設(shè)時(shí)，最大值分布的臨界值已由哈特萊計(jì)算出來(lái)形成了最大值理論分布表，見(jiàn)附表6。查Fmax時(shí)，需根據(jù)方差數(shù)目k及方差的自由進(jìn)行。其中，對(duì)例10-1的數(shù)據(jù)進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)的過(guò)程與方法如下。1建立假設(shè)Ho：，即三個(gè)總體的個(gè)體差異無(wú)顯著差異Ha：至少有兩個(gè)總體的方差存在顯著差異。 2計(jì)算統(tǒng)計(jì)量1）求各樣本的方差（1）（2）（3）（4）學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)成績(jī)（）A56753430160B111091191060604C14151713171490136418021282）求F最大值3比較與決策當(dāng)組數(shù)，自由度時(shí)，。因?yàn)椋?.05，差異不顯著，接受虛無(wú)假設(shè)，拒絕研究假設(shè)，說(shuō)明三個(gè)總體的方差一致。第三節(jié) F分布的應(yīng)用方差分析一、單因素方差分析的意義方差分析是在實(shí)驗(yàn)研究中產(chǎn)生的，由于一次實(shí)驗(yàn)涉及的因素多少不一而分為單因素設(shè)計(jì)和多因素設(shè)計(jì)。所謂單因素設(shè)計(jì)（single factor design）就是從影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的眾多因素中選取一個(gè)作為自變量，其他因素都加以控制的設(shè)計(jì)類型。分析單因素設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的方法稱單因素方差分析，換言之，實(shí)驗(yàn)所考察的自變量只有一個(gè)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析。單因素設(shè)計(jì)是最簡(jiǎn)單、最基本的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)類型，其具體設(shè)計(jì)形式有完全隨機(jī)設(shè)計(jì)、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)和拉丁方設(shè)計(jì)，因此相應(yīng)的方差分析也就有完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析和拉丁方設(shè)計(jì)的方差分析。本章只介紹前兩種形式。二、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析（一）完全隨機(jī)設(shè)計(jì)如例10-1，研究者欲研究學(xué)生在不同學(xué)習(xí)方法下的學(xué)習(xí)效果，隨機(jī)抽取各方面條件基本一致的學(xué)生18名，并隨機(jī)地將他們分為三組分別用一種學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，對(duì)不同學(xué)習(xí)方法的效果進(jìn)行統(tǒng)一測(cè)驗(yàn)。這種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)即為完全隨機(jī)設(shè)計(jì)（completely randomized design）。完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)就是隨機(jī)地抽取研究對(duì)象并隨機(jī)將其分配至各種實(shí)驗(yàn)條件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)形式。換言之，就是每一隨機(jī)組分別接受一種實(shí)驗(yàn)處理的設(shè)計(jì)。在完全隨機(jī)設(shè)計(jì)中由于被試是隨機(jī)抽取的，并隨機(jī)分組，因此一般認(rèn)為所分的組是“等組”的。如果實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)組與組之間差異顯著，就可以認(rèn)為實(shí)驗(yàn)處理的效應(yīng)顯著，亦即各種學(xué)習(xí)方法的學(xué)習(xí)效果確有不同。正因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性，各組之間是相互獨(dú)立的，所以這類設(shè)計(jì)也稱為獨(dú)立組設(shè)計(jì)或被試間設(shè)計(jì)。（二）完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析1樣本容量相等的方差分析各個(gè)樣本容量相等時(shí)意味著對(duì)于每一種實(shí)驗(yàn)處理它們的被重復(fù)次數(shù)相同，如表10-3，每一種學(xué)習(xí)方法均重復(fù)了6次。其方差分析過(guò)程與上一節(jié)所介紹的方差分析基本方法完全一致。 2樣本容量不相等的方差分析在完全隨機(jī)的方差分析中，究者常常使各實(shí)驗(yàn)處理組的被試數(shù)目相等。這本不需要，但卻能使計(jì)算稍微容易些。像獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)一樣，F(xiàn)檢驗(yàn)也允許樣本容量不等。例10-2：在一項(xiàng)記憶實(shí)驗(yàn)中，研究者將實(shí)驗(yàn)對(duì)象分為三組分別用不同的記憶方式記憶英語(yǔ)單詞，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表10-5所示。試問(wèn)三種記憶方法有無(wú)顯著不同？表10-5 英文單詞不同復(fù)習(xí)方式的實(shí)驗(yàn)結(jié)果記憶方法英語(yǔ)單詞記憶量（）A426191622831777B62527252018231383232C5232528312613335751535485841建立假設(shè)Ho：Ho：至少有兩種記憶方式所代表的總體平均成績(jī)存在顯著差異。2計(jì)算統(tǒng)計(jì)量1）求平方和總平方和： 處理平方和： 誤差平方和： 2）求自由度總自由