1 3 3函數(shù)的最大值與最小值 一 復(fù)習(xí)引入 如果在x0附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么 f x0 是極小值 2 導(dǎo)數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件 而不是充分條件 極值只能在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零且在其附近左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號時取到 3 在某些問題中 往往關(guān)心的是函數(shù)在一個定義區(qū)間上 哪個值最大 哪個值最小 而不是極值 1 當(dāng)函數(shù)f x 在x0處連續(xù)時 判別f x0 是極大 小 值的方法是 二 新課 函數(shù)的最值 觀察右邊一個定義在區(qū)間 a b 上的函數(shù)y f x 的圖象 發(fā)現(xiàn)圖中 是極小值 是極大值 在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是 最小值是 f x1 f x3 f x2 f b f x3 問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下 怎樣才能判斷出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 求函數(shù)最值 2 將y f x 的各極值與f a f b 端點處 比較 其中最大的一個為最大值 最小的一個最小值 求f x 在閉區(qū)間 a b 上的最值的步驟 1 求f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)極值 極大值或極小值 所有極值連同端點函數(shù)值進(jìn)行比較 最大的為最大值 最小的為最小值 典型例題 1 求出所有導(dǎo)數(shù)為0的點 2 計算 3 比較確定最值 動手試試 求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值 04浙江文21 本題滿分12分 已知a為實數(shù) 求導(dǎo)數(shù) 若 求在 2 2 上的最大值和最小值 若在 2 和 2 上都是遞增的 求a的取值范圍 例2 典型例題 小結(jié) 求在 a b 上連續(xù) a b 上可導(dǎo)的函數(shù)f x 在 a b 上的最值的步驟 1 求f x 在 a b 內(nèi)的極值 2 將f x 的各極值與f a f b 比較 其中最大的一個是最大值 最小的一個是最小值 思考 反思 本題屬于逆向探究題型 其基本方法最終落腳到比較極值與端點函數(shù)值大小上 從而解決問題 往往伴隨有分類討論 2 求最大 最小 值應(yīng)用題的一般方法 1 分析實際問題中各量之間的關(guān)系 把實際問題化為數(shù)學(xué)問題 建立函數(shù)關(guān)系式 這是關(guān)鍵一步 2 確定函數(shù)定義域 并求出極值點 3 比較各極值與定義域端點函數(shù)的大小 結(jié)合實際 確定最值或最值點 1 實際應(yīng)用問題的表現(xiàn)形式 常常不是以純數(shù)學(xué)模式反映出來 首先 通過審題 認(rèn)識問題的背景 抽象出問題的實質(zhì) 其次 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 再解 應(yīng)用 解 設(shè)箱底邊長為x 則箱高h(yuǎn) 60 x 2 箱子容積v x x2h 60 x2 x3 2 0 x 60 令 解得x 0 舍去 x 40 且v 40 16000 由題意可知 當(dāng)x過小 接近0 或過大 接近60 時 箱子的容積很小 因此 16000是最大值 答 當(dāng)x 40cm時 箱子容積最大 最大容積是16000cm3 解 設(shè)b x 0 0 x 2 則a x 4x x2 從而 ab 4x x2 bc 2 2 x 故矩形abcd的面積為 s x ab bc 2x3 12x2 16x 0 x 2 令 得 所以當(dāng)時 因此當(dāng)點b為時 矩形的最大面積是 拓展提高 我們知道 如果在閉區(qū)間 a b 上函數(shù)y f x 的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線 那么它必定有最大值和最小值 那么把閉區(qū)間 a b 換成開區(qū)間 a b 是否一定有最值呢 函數(shù)f x 有一個極值