初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座(二)特殊的正整數(shù)一、知識(shí)要點(diǎn)1、完全平方數(shù)及其性質(zhì)定義1如果一個(gè)數(shù)是一個(gè)整數(shù)的平方，則稱這個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)。如：1、4、9、等都是完全平方數(shù)，完全平方數(shù)有下列性質(zhì)：性質(zhì)1任何完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是0，1，4，5，6，9中的一個(gè)。性質(zhì)2奇完全平方數(shù)的十位數(shù)一定是偶數(shù)。性質(zhì)3偶完全平方數(shù)是4的倍數(shù)。性質(zhì)4完全平方數(shù)有奇數(shù)個(gè)不同的正約數(shù)。性質(zhì)5完全平方數(shù)與完全平方數(shù)的積仍是完全平方數(shù)，完全平方數(shù)與非完全平方數(shù)的積是非完全平方數(shù)。2、質(zhì)數(shù)與合數(shù)定義2一個(gè)大于1的整數(shù)a,如果只有1和a這兩個(gè)約數(shù)，那么a叫做質(zhì)數(shù)。定義3一個(gè)大于1的整數(shù)a,如果只有1和a這兩個(gè)約數(shù)外，還有其他正約數(shù)，那么a叫做合數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。3、質(zhì)數(shù)與合數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(1)質(zhì)數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)(2)2是唯一的既是質(zhì)數(shù)，又是偶數(shù)的整數(shù)，即是唯一的偶質(zhì)數(shù)。大于2的質(zhì)數(shù)必為奇數(shù)。(3)若質(zhì)數(shù)pab，則必有pa或pb。(4)若正整數(shù)a、b的積是質(zhì)數(shù)p，則必有a=p或b=p.(5)唯一分解定理：任何整數(shù)n(n1)可以唯一地分解為：kakaapppn2121,其中p1p211)，一定可以表示成兩個(gè)合數(shù)之和。評(píng)注：本題是通過(guò)對(duì)整數(shù)的合理分類來(lái)幫助解題，這是解決整數(shù)問(wèn)題的一種常用方法。但要注意對(duì)整數(shù)的分類要不重復(fù)不遺漏。例9證明：n(n+1)+1(n是自然數(shù))不能是某個(gè)整數(shù)的平方。分析：注意到n(n+1)+1=n2+n+1，n是自然數(shù)，n2n2+n+1(n+1)2，這為我們證題提供了出發(fā)點(diǎn)。證明：n(n+1)+1=n2+n+1，n是自然數(shù)，n2n2+n+1(n+1)2，而n、n+1是兩個(gè)相鄰的自然數(shù)，n(n+1)+1(n是自然數(shù))不能是某個(gè)整數(shù)的平方。評(píng)注：本題應(yīng)用了在兩個(gè)相鄰正整數(shù)的平方數(shù)之間不可能還存在一個(gè)完全平方數(shù)這個(gè)結(jié)論。例10如果一個(gè)自然數(shù)是質(zhì)數(shù)，且它的數(shù)字位置經(jīng)過(guò)任意交換后仍然是質(zhì)數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)為絕對(duì)質(zhì)數(shù)。證明：絕對(duì)質(zhì)數(shù)不能有多于三個(gè)不同的數(shù)字。分析：絕對(duì)質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字不會(huì)有偶數(shù)，也不會(huì)有5，因?yàn)橛信紨?shù)和5它就一定不是絕對(duì)質(zhì)數(shù)，則絕對(duì)質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字只可能是1，3，7，9。接下來(lái)用反證法來(lái)證明這個(gè)問(wèn)題。證明：因?yàn)榻^對(duì)質(zhì)數(shù)的數(shù)字位置經(jīng)過(guò)任意交換后仍然是質(zhì)數(shù)，所以絕對(duì)質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字不會(huì)有偶數(shù)，也不會(huì)有5，即絕對(duì)質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字只可能是1，3，7，9。假設(shè)有一個(gè)絕對(duì)質(zhì)數(shù)M中出現(xiàn)的數(shù)字超過(guò)了3個(gè)，也即這個(gè)絕對(duì)質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字包含了1，3，7，9，則13791379M211Maaan，M2=M+9137，M3=M+7913，M4=M+3791，M5=M+1397，M6=M+3197，M7=M+7139都是質(zhì)數(shù)。可驗(yàn)證，這七個(gè)數(shù)中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的差都不能被7整除，說(shuō)明M1、M2、M3、M4、M5、M6、M7被7除所得余數(shù)互不相同。因而必有一個(gè)是0，即能被7整除，這與此數(shù)是質(zhì)數(shù)矛盾。所以假設(shè)不成立，所以絕對(duì)質(zhì)數(shù)不能有多于三個(gè)不同的數(shù)字。評(píng)注：本題是用反證法來(lái)證明，對(duì)于題目中出現(xiàn)“不”的字眼，常常用反證法來(lái)證明。三、鞏固練習(xí)選擇題1、在整數(shù)0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，設(shè)質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)為x，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為y，完全平方數(shù)的個(gè)數(shù)為z，合數(shù)的個(gè)數(shù)為u，則x+y+z+u的值是()A、17B、15C、13D、112、設(shè)n為大于1的自然數(shù)，則下列四個(gè)式子的代數(shù)值一定不是完全平方數(shù)的是（）A、3n2-3n+3B、5n2-5n-5C、9n2-9n+9D、11n2-11n-113、有3個(gè)數(shù)，一個(gè)是最小的奇質(zhì)數(shù)，一個(gè)是小于50的的最大質(zhì)數(shù)，一個(gè)是大于60的最小質(zhì)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)的和是()A、101B、110C、111D、1134、兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是49，則這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)和是()A、4994B、9449C、4586D、86455、a、b為正整數(shù)，且56a+392b為完全平方數(shù)，則a+b的最小值等于()A、6B、7C、8D、96、3個(gè)質(zhì)數(shù)p、q、r滿足等式p+q=r，且pqn2，且792221nn，則n1=，n2=解答題13、證明：不存在這樣的三位數(shù)abc，使cabbcaabc成為完全平方數(shù)。14、試求四位數(shù)xxyy，使它是一個(gè)完全平方數(shù)。15、a、b、c、d都是質(zhì)數(shù)，且10cd20，c-a是大于2的質(zhì)數(shù)，d2-c2=a3b(a+b)，求a、b、c、d的值16、設(shè)a、b、c、d是四個(gè)整數(shù)，且2222241dcbacdabm是非零整數(shù)，求證：m是合數(shù)。17、求一個(gè)三位數(shù)，使它等于n2，并且各位數(shù)字之積為n-1.18、設(shè)n1、n2是任意