1、第6章 統(tǒng)計量及其分布,數(shù)理統(tǒng)計是具有廣泛應(yīng)用的一個數(shù)學(xué)分支，,與概率論一樣，數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計,規(guī)律的。它以概率論的理論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗或,觀察得到的數(shù)據(jù)，對研究對象的客觀規(guī)律性作出,種種合理的估計和判斷，從而為決策和行動提供,依據(jù)和建議。,數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容非常豐富，從第6章開始 ，,將逐步介紹參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析及,回歸分析的部分內(nèi)容。,第6章將介紹總體、隨機(jī)樣本及統(tǒng)計量等數(shù),理統(tǒng)計的基本概念，并著重介紹幾個常用的統(tǒng),計量及抽樣分布。,6.1 總體與樣本,6.1.1 基本概念,在生產(chǎn)實踐中，我們經(jīng)常會遇到統(tǒng)計推斷問,數(shù)理統(tǒng)計中，我們把所研究的對象的全體稱為總體（或母體）；而

2、把組成總體的每個對象稱,稱為個體。在實際問題中，我們關(guān)心的是總體的某個數(shù)量指標(biāo)，它由所有個體的指標(biāo)值而組成，,分布函數(shù)，并不再區(qū)分總體與 ，而籠統(tǒng)的稱之,個隨機(jī)變量 。今后 的分布函數(shù)就稱為總體的,某個隨機(jī)變量的一次觀測值，則總體就對應(yīng)了一,其中的數(shù)值可以相同。若視每個個體的指標(biāo)值為,性： 一方面， 由于樣本是從總體中隨機(jī)抽取,本容量。我們首先指出，樣本具有所謂的二重,稱為總體的一個樣本，n稱為樣,隨機(jī)變量，用大寫字母 表示；另,為了了解總體的分布，我們從總體中隨機(jī)地抽取 個個體，記其指標(biāo)值為 則,一方面，樣本在抽取以后經(jīng)觀測就有確定的觀,的，抽取前無法預(yù)知它們的數(shù)值，因此樣本是,測值，因此，

3、樣本又是一組數(shù)值，此時用小寫字,母 表示是恰當(dāng)?shù)?。從總體中抽取樣本,（1）隨機(jī)性： 即對于每次抽樣，總體中每個個體都有同等的機(jī)會被抽取，這便意味著每一個樣本 與總體 有相同的分布。,就需要對抽樣方法提出一些要求：,可靠的推斷，就希望樣本能很好的帶邊總體。這,可以有不同的取法，為了能由樣本對總體作出較,（2）獨立性 即每次抽取的結(jié)果既不影響其他各次抽取的結(jié)果，也不受其他各次抽取結(jié)果的影響。,一般地，有下面的定義：,是來自總體 的一個容量,互獨立，且具有相同的概率分布 ，則稱,定義1 若 個隨機(jī)變量 相,為n的簡單隨機(jī)樣本，簡稱為樣本。,樣本 的所有可能取值的全體為樣本空間。,隨機(jī)變量，記 為 的

4、一次觀察,值,則稱 為樣本的一次觀察值。,由定義可知，若 來自總體,的一個樣本，則 的分布函數(shù)為,容量為 的樣本 是一個n維,其中 是分布 的密度函數(shù)。,若 的分布密度為 ，則 的密度函數(shù)為,例1 設(shè)有一批產(chǎn)品共 個，需要進(jìn)行抽樣檢,驗以了解其不合格率 ，現(xiàn)從中抽取 個逐一檢查它們是否是不合格的。如果把合格品記為0，不合格品記為1，則總體 服從兩點分布，,是否是不合格品，如果第一次抽到不合格品，則,而若第一次抽到的是合格品，則第二次抽到不合格品的概率為,顯然，如此得到的樣本不是簡單隨機(jī)樣本，但是當(dāng) 很大時，上述兩種情況的概率都近似等,6.1.2 經(jīng)驗分布函數(shù),其他,反過來，如何由樣本來推斷總體

5、的分布呢？,為此，我們引入經(jīng)驗分布函數(shù)。,本，將其對應(yīng)的觀測值 按由小到,大的順序排列為 令,定義2 設(shè) 是取自總體 的樣,稱 為 的經(jīng)驗分布函數(shù)。,解 將觀測數(shù)據(jù)由小到大排列為,22.5=2.5=2.52.73=33.5.,由定義知所求分布函數(shù)為,抽取一容量為20的樣本及一容量為400 的樣,本，其經(jīng)驗分布函數(shù) 及 的圖形分,由經(jīng)驗分布函數(shù)的構(gòu)造，可見 具有下,面性質(zhì)：單調(diào)不降;處處右連續(xù)；,例如，在某種燈泡的壽命總體 中，隨機(jī),別為圖6-1、圖6-2的階梯形。 圖中曲線為總,體分布函數(shù) 的圖形。,對于樣本的不同觀察值 ，我,數(shù)值， 是一個隨機(jī)變量。對于這個隨機(jī)變,定理1 （格利汶科定理）

6、經(jīng)驗分布函數(shù),以概率1關(guān)于x一致收斂于 ，即,們將得到不同的 。因此，對于 的每一個,論上嚴(yán)格地證明了以下結(jié)論。,量，格利汶科（W.Glivenko） 于1933年從理,這就是我們用樣本推斷總體的理論依據(jù)。,實際上將近似地等于總體的分布函數(shù) 。,6.1.3 統(tǒng)計量,定理表明，當(dāng) 很大時，經(jīng)驗分布函數(shù),的要求而構(gòu)造樣本的各種不同函數(shù)。為此引入如下統(tǒng)計量的概念。,本函數(shù) 是一個統(tǒng)計量。,定義3 設(shè) 是從總體中隨機(jī)抽,函數(shù)，如果 中不包含任何未知參數(shù)，則稱樣,取的一個樣本， 為 元連續(xù),下面介紹幾個常用的統(tǒng)計量。,稱統(tǒng)計量,為樣本方差。稱 的正平方根 為樣本標(biāo)準(zhǔn)差；稱統(tǒng)計量,為樣本 階原點矩；稱統(tǒng)計量,為樣本 階中心矩；,由上式可知,對于樣本的觀察值 上述統(tǒng)計 量的觀察值分別記為,取值 時， 取值,記 是這樣的隨機(jī)變量，當(dāng),定義4 設(shè) 是取自總體,這樣得到的 個新的隨機(jī)變量,稱為總體 的一組順序統(tǒng)計量， 稱為第,按由小到大的順序排列為,的樣本，將其對應(yīng)的觀測值,由定義知，,且,中最大的那一個。,位順