1、4.6 二重積分及其簡單應(yīng)用,(二),【二重積分的計算】,二重積分及其簡單應(yīng)用,二、化二重積分為二次積分,解:,解方程組,解得交點,直線 與 的交點分別為,二重積分及其簡單應(yīng)用,如圖：,若按先對 再對 積分,則 可表示為：,二重積分及其簡單應(yīng)用,若按先對 再對 積分,則 可表示為：,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,解:,解方程組,解得交點,如圖所示,若按先對 再對 積分,則 可表示為：,二重積分及其簡單應(yīng)用,若按先對 再對 積分,則 可表示為：,二重積分及其簡單應(yīng)用,三、交換二重積分的次序,關(guān)鍵:,利用已知的二次積分的上、下限，,正確地畫出積分區(qū)域D，,再化為

2、所求,的二次積分.,積分區(qū)域D的關(guān)鍵：,內(nèi)層積分(先積分的)的上、下限,是由“線到線”；,外層積分(后積分的),的上、下限是由“點到點”.,二重積分及其簡單應(yīng)用,1、寫出D的表達式：,畫出 的圖形,D,二重積分及其簡單應(yīng)用,2、寫出D的表達式：,畫出 的圖形,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,解:,1、寫出D的表達式：,畫出 的圖形,二重積分及其簡單應(yīng)用,2、寫出D的表達式：,畫出 的圖形,二重積分及其簡單應(yīng)用,解:,積分區(qū)域為：,畫出 的圖形,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,解:,1、寫出D的表達式：,畫出 的圖形,二重積分及其簡單應(yīng)用,2、寫出D的表達式：,畫出 的圖

3、形,即,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,注:,1、有些二次積分為了積分方便, 還需,交換積分順序.,等不能用初等函數(shù)表示的,積分,均須更換積分次序.,2、凡遇,二重積分及其簡單應(yīng)用,解:,積分區(qū)域為：,畫出 的圖形,二重積分及其簡單應(yīng)用,解:,積分區(qū)域為：,畫出 的圖形,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,解:,1、積分區(qū)域為：,畫出 的圖形,二重積分及其簡單應(yīng)用,2、積分區(qū)域為：,畫出 的圖形,二重積分及其簡單應(yīng)用,四、利用極坐標計算二重積分,當積分區(qū)域為圓域、圓域的一,部分、環(huán)域等時，,在直角坐標系中,計算二重積分往往是比較困難,而,在極坐標系中計算則比較簡單.,簡單的

4、講,極坐標系下二重積分,的計算方法,就是對直角坐標下二,重積分計算方法的換元.,二重積分及其簡單應(yīng)用,極坐標系求二重積分的步驟：,3、計算,1、確定積分區(qū)域 的類型,2、確定變量 的積分上下限,在極坐標系中,二重積分及其簡單應(yīng)用,類型1,極點在積分區(qū)域的外部(如圖),積分區(qū)域可用不等式,表示為：,于是,二重積分及其簡單應(yīng)用,類型2,極點在積分區(qū)域的邊界上(如圖),積分區(qū)域可用不等式,表示為：,于是,二重積分及其簡單應(yīng)用,解：,畫出區(qū)域,如右圖.,積分區(qū)域可用不等式,表示為：,因此,二重積分及其簡單應(yīng)用,二重積分及其簡單應(yīng)用,類型3,極點在積分區(qū)域的內(nèi)部(如圖),積分區(qū)域可用不等式,表示為：,于是,二重積分及其