三角函數教案：兩角和與差公式一、教學目標1.知識與技能：*使學生理解并掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的推導過程。*能夠運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值與恒等式證明。*初步體會公式的正用、逆用以及角的變換在解題中的應用。2.過程與方法：*通過公式的推導，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和抽象概括能力。*通過引導學生觀察、分析、比較公式的結構特征，培養(yǎng)學生的數學思維能力。*通過例題與練習，提高學生運用數學知識解決問題的能力，體驗化歸與轉化的數學思想。3.情感態(tài)度與價值觀：*感受數學公式的簡潔美與和諧美，激發(fā)學生對數學的興趣。*在公式的探索與應用過程中，培養(yǎng)學生嚴謹的治學態(tài)度和勇于探索的精神。*通過小組討論等形式，培養(yǎng)學生的合作交流意識。二、教學重難點1.教學重點：*兩角和與差的余弦公式的推導。*兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的理解和記憶。*運用公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值。2.教學難點：*兩角和的余弦公式的推導思路的形成。*公式的靈活運用，特別是角的拆分與組合（如將非特殊角表示為特殊角的和或差）。*公式中符號的確定及對公式成立條件的理解（如正切公式）。三、教學方法講授法、引導發(fā)現法、討論法相結合。通過問題驅動，引導學生主動參與公式的探究過程，輔以必要的講解和練習，幫助學生深化理解。四、教學過程（一）復習引入，提出問題師：同學們，我們已經學習了任意角的三角函數定義，以及同角三角函數的基本關系和誘導公式。這些知識幫助我們解決了單角的三角函數問題。那么，如果我們遇到形如`sin(α+β)`、`cos(α-β)`這樣的式子，它們是否等于`sinα+sinβ`、`cosα-cosβ`呢？（稍作停頓，引導學生思考）生：（可能會有學生猜測，或表示不確定）師：我們不妨用特殊值來檢驗一下。比如，令`α=30°`，`β=60°`，那么`sin(30°+60°)=sin90°=1`，而`sin30°+sin60°=1/2+√3/2≈1.366`，顯然兩者不相等。這說明`sin(α+β)≠sinα+sinβ`。同理，`cos(α+β)`也不等于`cosα+cosβ`。那么，`sin(α±β)`、`cos(α±β)`、`tan(α±β)`究竟等于什么呢？這就是我們今天要共同探究的課題——兩角和與差的三角函數公式。（板書課題）（二）探究新知，推導公式1.兩角差的余弦公式`cos(α-β)`的推導師：我們先來探究`cos(α-β)`的表達式。如何用`α`和`β`的三角函數值來表示`cos(α-β)`呢？（引導學生回憶三角函數的定義，單位圓上點的坐標等知識。）師：我們可以利用單位圓和向量的數量積來推導。請大家在草稿紙上畫出單位圓，設角`α`和`β`的終邊與單位圓分別交于點`A`和點`B`。（師生共同畫圖分析）師：那么點`A`的坐標是什么？點`B`的坐標是什么？生：`A(cosα,sinα)`，`B(cosβ,sinβ)`。師：向量`OA`和向量`OB`的坐標分別就是點`A`和點`B`的坐標。向量`OA`與向量`OB`的夾角是多少呢？生：`|α-β|`或`2π-|α-β|`，但它們的余弦值相等。師：很好。根據向量數量積的定義，`OA·OB=|OA||OB|cosθ`，其中`θ`是它們的夾角，即`α-β`（或其終邊相同的角）。因為是單位圓，`|OA|=|OB|=1`，所以`OA·OB=cos(α-β)`。另一方面，向量數量積還可以用坐標表示：`OA·OB=cosαcosβ+sinαsinβ`。所以，我們得到`cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ`。（板書此公式，強調這是兩角差的余弦公式，簡記為`C(α-β)`）師：這個公式非常重要，它是我們推導其他和差角公式的基礎。請大家務必牢記它的結構：同名函數相乘，余弦乘余弦，正弦乘正弦，中間是加號。2.兩角和的余弦公式`cos(α+β)`的推導師：有了`cos(α-β)`的公式，我們如何得到`cos(α+β)`呢？生：可以將`α+β`看成`α-(-β)`。師：非常好！這是一種重要的數學思想——化歸。那么，`cos(α+β)=cos[α-(-β)]`，應用`C(α-β)`公式，可得：`cos(α+β)=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)`又因為`cos(-β)=cosβ`，`sin(-β)=-sinβ`，所以：`cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ`。（板書此公式，簡記為`C(α+β)`）師：請大家對比`C(α-β)`和`C(α+β)`，它們有什么異同點？（引導學生觀察，總結：`C(α+β)`公式右邊是`cosαcosβ`減去`sinαsinβ`，符號與`α+β`中的“+”相反。）3.兩角和與差的正弦公式`sin(α±β)`的推導師：接下來我們推導正弦的和差角公式。我們知道`sinx=cos(π/2-x)`，這是誘導公式。那么，`sin(α+β)`可以寫成什么？生：`sin(α+β)=cos[π/2-(α+β)]=cos[(π/2-α)-β]`。師：太棒了！這樣就可以應用我們剛剛學過的`C(α-β)`公式了。請大家動手試試看，把它展開。（學生動手推導，教師巡視指導）師生共同完成：`sin(α+β)=cos[(π/2-α)-β]=cos(π/2-α)cosβ+sin(π/2-α)sinβ`而`cos(π/2-α)=sinα`，`sin(π/2-α)=cosα`，所以：`sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ`。（板書此公式，簡記為`S(α+β)`）師：那`sin(α-β)`呢？大家能否類比`cos(α+β)`的推導方法，自己得出？生：（嘗試將`α-β`寫成`α+(-β)`，然后應用`S(α+β)`公式）師：對，可以令`β'=-β`，則`sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)`。因為`cos(-β)=cosβ`，`sin(-β)=-sinβ`，所以：`sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ`。（板書此公式，簡記為`S(α-β)`）師：同樣，請大家觀察`S(α+β)`和`S(α-β)`的結構，并與余弦公式對比，幫助記憶。4.兩角和與差的正切公式`tan(α±β)`的推導師：有了正弦和余弦的和差角公式，正切的和差角公式就可以通過`tanx=sinx/cosx`來推導了。即`tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)`。請大家將`sin(α+β)`和`cos(α+β)`的展開式代入，并思考如何將其化為只含`tanα`和`tanβ`的形式。（學生動手，教師引導）`tan(α+β)=[sinαcosβ+cosαsinβ]/[cosαcosβ-sinαsinβ]`師：分子分母同時除以`cosαcosβ`（此時需要`cosαcosβ≠0`），會得到什么？生：分子變?yōu)閌tanα+tanβ`，分母變?yōu)閌1-tanαtanβ`。師：非常好！所以：`tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)`。（板書此公式，簡記為`T(α+β)`）師：請大家思考，這個公式成立的條件是什么？生：`α`、`β`、`α+β`的終邊不能落在`y`軸上，即`α≠π/2+kπ`，`β≠π/2+kπ`，`α+β≠π/2+kπ`，`k∈Z`。師：完全正確。類似地，`tan(α-β)`可以用`tan[α+(-β)]`來推導，請大家課后自己完成，其結果是：`tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)`。（板書此公式，簡記為`T(α-β)`），成立條件類似。（三）公式辨析與記憶師：我們已經推導出了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。這些公式是三角函數的核心內容，必須準確記憶和理解。1.`C(α-β)`:`cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ`(余余正正，符號同)2.`C(α+β)`:`cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ`(余余正正，符號異)3.`S(α+β)`:`sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ`(正余余正，符號同)4.`S(α-β)`:`sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ`(正余余正，符號異)5.`T(α+β)`:`tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)`(分子同，分母異)6.`T(α-β)`:`tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)`(分子異，分母同)師：大家可以觀察公式的結構特點和符號規(guī)律來幫助記憶。比如“余余正正，符號同/異”是針對余弦公式而言，“正余余正，符號同/異”是針對正弦公式而言。對于正切公式，則是分子分母的符號與角的“和”、“差”相關。（四）例題講解，鞏固應用例1：利用和差角公式求值：(1)`cos15°`(2)`sin75°`(3)`tan105°`分析與解答：(1)`cos15°=cos(45°-30°)`，應用`C(α-β)`：`cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=√6/4+√2/4=(√6+√2)/4`(2)`sin75°=sin(45°+30°)`，應用`S(α+β)`：`sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4`（或`sin75°=cos15°`，結果相同）(3)`tan105°=tan(60°+45°)`，應用`T(α+β)`：`(tan60°+tan45°)/(1-tan60°tan45°)=(√3+1)/(1-√3*1)=(√3+1)/(1-√3)`（可進行分母有理化：分子分母同乘`(1+√3)`，得`[(√3+1)^2]/(1-3)=(4+2√3)/(-2)=-2-√3`）例2：已知`sinα=3/5`，`α∈(π/2,π)`，`cosβ=-5/13`，`β∈(π,3π/2)`，求`cos(α-β)`和`sin(α+β)`的值。分析與解答：師：要求`cos(α-β)`和`sin(α+β)`，需要知道哪些量？生：`cosα`，`sinβ`，`sinα`，`cosβ`。題目中已給出`sinα`和`cosβ`，所以需要先求`cosα`和`sinβ`。師：如何求？注意角所在的象限，以確定三角函數值的符號。因為`α∈(π/2,π)`，所以`cosα=-√(1-sin2α)=-√(1-9/25)=-4/5`。因為`β∈(π,3π/2)`，所以`sinβ=-√(1-cos2β)=-√(1-25/169)=-12/13`。則`cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-4/5)(-5/13)+(3/5)(-12/13)=20/65-36/65=-16/65`。`sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(3/5)(-5/13)+(-4/5)(-12/13)=-15/65+48/65=33/65`。師：通過這兩個例題，我們看到，在應用公式時，首先要準確選擇公式，其次要注意角的范圍以確定三角函數值的符號，對于非特殊角，可以嘗試將其表示為兩個特殊角的和或差。（五）課堂練習，深化理解1.利用和差角公式計算下列各式的值：*`sin105°`*`cos75°`*`tan(-15°)`(提示：`-15