九年級(jí)數(shù)學(xué)特殊平行四邊形專題練習(xí)特殊平行四邊形——矩形、菱形與正方形，作為平行四邊形家族中性質(zhì)獨(dú)特、應(yīng)用廣泛的成員，是平面幾何的重要組成部分。它們不僅繼承了平行四邊形的所有性質(zhì)，更擁有各自鮮明的“個(gè)性”，這些特性使得它們?cè)趲缀巫C明與計(jì)算中扮演著舉足輕重的角色。本專題將帶你系統(tǒng)梳理矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)與判定，并通過精選例題與練習(xí)題，幫助你深化理解、提升運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。一、知識(shí)梳理與要點(diǎn)回顧在深入練習(xí)之前，讓我們先回顧一下這三種特殊平行四邊形的核心知識(shí)點(diǎn)，這是解決一切相關(guān)問題的基礎(chǔ)。（一）矩形1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。*要點(diǎn)：首先是平行四邊形，其次有一個(gè)直角。2.性質(zhì)：*具有平行四邊形的所有性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，對(duì)角線互相平分）。*特有性質(zhì)：*四個(gè)角都是直角。*對(duì)角線相等。*既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形（有兩條對(duì)稱軸）。3.判定：*定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。*對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。*有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。*（引申）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形。（二）菱形1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。*要點(diǎn)：首先是平行四邊形，其次有一組鄰邊相等。2.性質(zhì)：*具有平行四邊形的所有性質(zhì)。*特有性質(zhì)：*四條邊都相等。*對(duì)角線互相垂直，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。*既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形（有兩條對(duì)稱軸，為對(duì)角線所在直線）。3.判定：*定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。*對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。*四條邊都相等的四邊形是菱形。*（引申）對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形。（三）正方形1.定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。*要點(diǎn)：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形。2.性質(zhì)：*兼具矩形和菱形的所有性質(zhì)。*具體來說：*邊：四條邊都相等，對(duì)邊平行。*角：四個(gè)角都是直角。*對(duì)角線：對(duì)角線相等且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。*對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形（有四條對(duì)稱軸）。3.判定：*定義法：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。*有一組鄰邊相等的矩形是正方形。*有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。*對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形。*（引申）對(duì)角線相等、互相垂直且平分的四邊形是正方形。核心思想：特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定是緊密相連的。性質(zhì)是從“已知圖形”到“圖形特征”的推理，而判定則是從“圖形特征”到“判定圖形”的推理。很多時(shí)候，判定定理是性質(zhì)定理的逆定理。在解決問題時(shí)，要善于將平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用。二、例題精析例題1（矩形性質(zhì)的應(yīng)用）已知：如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠AOB=60°，AB=4。求矩形對(duì)角線的長及BC的長。分析：矩形的對(duì)角線相等且互相平分，所以AO=BO=CO=DO。已知∠AOB=60°，因此△AOB是等邊三角形，從而可以求出AO的長度，進(jìn)而得到對(duì)角線AC的長度。在Rt△ABC中，已知AB和AC，利用勾股定理可求出BC。解答：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形對(duì)角線相等），AO=OC=(1/2)AC，BO=OD=(1/2)BD（矩形對(duì)角線互相平分）?！郃O=BO。又∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形。∴AO=AB=4?！郃C=2AO=8，即矩形對(duì)角線的長為8。在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，AC=8，根據(jù)勾股定理，BC2=AC2-AB2=82-42=64-16=48?！郆C=√48=4√3。例題2（菱形判定的應(yīng)用）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，連接AF、CE。求證：四邊形AFCE是菱形。分析：要證四邊形AFCE是菱形，已知其為平行四邊形（或可證其為平行四邊形）后，可證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直。本題中，EF是AC的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=CE，AF=CF。若能證明AE=CF，則可得到AE=CE=AF=CF，從而得證?；蛘?，也可先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再利用EF⊥AC來判定。解答：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC（平行四邊形對(duì)邊平行）?！唷螼AE=∠OCF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）?！逧F是AC的垂直平分線，∴AO=CO，EF⊥AC。在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCF，AO=CO，∠AOE=∠COF（對(duì)頂角相等），∴△AOE≌△COF（ASA）?！郃E=CF。又∵AE∥CF（已證AD∥BC），∴四邊形AFCE是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。又∵EF⊥AC（垂直平分線定義），∴平行四邊形AFCE是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）。例題3（正方形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分線，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F。求證：四邊形CFDE是正方形。分析：要證四邊形CFDE是正方形，可以先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或者先證它是菱形，再證它有一個(gè)角是直角。本題中，DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90°，可先證其為矩形。再由CD是角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證DE=DF，從而得出鄰邊相等，進(jìn)而判定為正方形。解答：∵DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F，∴∠DFC=∠DEC=90°。又∵∠ACB=90°，∴四邊形CFDE是矩形（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）。∵CD是∠ACB的平分線，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）?！咚倪呅蜟FDE是矩形，且DE=DF，∴四邊形CFDE是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）。三、專題練習(xí)（一）基礎(chǔ)鞏固1.選擇題：（1）下列性質(zhì)中，矩形具有而平行四邊形不一定具有的是（）A.對(duì)邊平行且相等B.對(duì)角相等C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角線相等（2）菱形的兩條對(duì)角線長分別為6和8，則菱形的邊長為（）A.5B.6C.7D.8（3）下列條件中，不能判定四邊形是正方形的是（）A.對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形B.對(duì)角線互相垂直的矩形C.對(duì)角線相等的菱形D.四邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形2.填空題：（1）矩形ABCD中，對(duì)角線AC=10，則BO=______。（2）菱形的一個(gè)內(nèi)角為60°，較短的對(duì)角線長為5，則菱形的周長為______。（3）正方形ABCD的對(duì)角線長為a，則它的邊長為______，面積為______。3.解答題：已知：如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，連接BE、CE。求證：BE=CE。（二）能力提升4.已知：如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AB的中點(diǎn)，且OE=a。求菱形ABCD的周長。5.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE=DF。求證：AE=AF；AE⊥AF。6.如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG∥DB交CB的延長線于點(diǎn)G。若DE=BF，求證：四邊形AGBD是矩形。（三）拓展探究7.如圖，正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，E是AC上一點(diǎn)，連接EB、ED。（1）求證：△BEC≌△DEC；（2）若∠BED=120°，求∠EBD的度數(shù)。8.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N。（1）求證：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形。四、參考答案與提示（一）基礎(chǔ)鞏固1.（1）D（2）A（3）D2.（1）5（2）20（3）(√2/2)a；(a2)/23.提示：利用矩形性質(zhì)得∠A=∠D=90°，AB=CD，又E是AD中點(diǎn)，AE=DE，可證△ABE≌△DCE（SAS），從而BE=CE。（二）能力提升4.提示：菱形對(duì)角線互相平分，O是AC中點(diǎn)。E是AB中點(diǎn)，OE是△ABC的中位線，OE=(1/2)BC，所以BC=2a，菱形周長為8a。5.提示：（1）證△ABE≌△ADF（SAS），得AE=AF；（2）由全等得∠BAE=∠DAF，因?yàn)椤螪AF+∠FAB=90°，所以∠BAE+∠FAB=90°即∠EAF=90°，AE⊥AF。6.提示：先證四邊形BEDF是平行四邊形（DF平行且等于BE），由DE=BF得BEDF是矩形，所以∠DEB=90°。再證四邊形AGBD是平行四邊形（AG∥BD，AD∥BG），因?yàn)椤螪EB=90°且DE∥BG（由AD∥BC及E是AB中點(diǎn)可推），所以∠DBC=90°，即∠ABD=90°，故平行四邊形AGBD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）。（三）拓展探究7.（1）提示：正方形對(duì)角線平分一組對(duì)角，∠BCE=∠DCE=45°，BC=CD，CE=CE，證△BEC≌△DEC（SAS）。（2）提示：由（1）得∠BEC=∠DEC，因?yàn)椤螧ED=120°，所以∠BEC=60°。在△BEC中，∠EBC=180°-∠BCE-∠BEC=180°-45°-60°=75°。正方形對(duì)角線平分∠ABC，∠ABD=45°，所以∠EBD=∠EBC-∠ABD=75°-45°=30°。8.（1）提示：AB=BC，BD平分∠ABC，BD=BD，證△ABD≌△CBD（SAS），得∠ADB=∠CDB。（2）提示：由∠ADC=90°，PM⊥AD，PN⊥CD，得四邊形MPND是矩形。由（