2025年寧夏回族自治區(qū)（統(tǒng)招專升本）高數二考試試題及答案一、選擇題（每題5分，共25分）

1.若函數f(x)=(x^22x+1)^2，求f'(x)的值。

A.2x1

B.4x2

C.2x^24x+2

D.4x^36x^2+2x2

答案：B

解析：f(x)=(x1)^4，利用鏈式法則，f'(x)=4(x1)^3(x1)'=4(x1)^31=4x4+4=4x2。

2.設函數y=e^x+sinx，求y在x=0處的二階導數。

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

解析：y'=e^x+cosx，y''=e^xsinx。當x=0時，y''=e^0sin0=10=1。但是題目要求二階導數，所以y''=e^0sin0+cos0=10+1=2。此處答案有誤，正確答案應為B。

3.已知函數f(x)=x^33x^2+4x1，求f(x)的極值。

A.極大值：4，極小值：4

B.極大值：4，極小值：0

C.極大值：4，極小值：0

D.極大值：0，極小值：4

答案：A

解析：f'(x)=3x^26x+4，f''(x)=6x6。令f'(x)=0，得x=1或x=2/3。f''(1)=0，f''(2/3)=2<0。所以x=2/3時為極大值點，f(2/3)=4/274/9+8/31=4。x=1時為極小值點，f(1)=13+41=1。此處答案有誤，正確答案應為B。

4.設函數f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)在x=0處的切線方程。

A.y=x+1

B.y=x1

C.y=2x+1

D.y=2x1

答案：A

解析：f'(x)=3x^26x+2。f'(0)=2，f(0)=1。所以切線方程為y1=2(x0)，即y=2x+1。

5.設函數y=ln(1+e^x)，求y的導數。

A.e^x/(1+e^x)

B.e^x/(1e^x)

C.1/(1+e^x)

D.1/(1e^x)

答案：A

解析：利用復合函數求導法則，y'=(1+e^x)^(1)e^x=e^x/(1+e^x)。

二、填空題（每題5分，共25分）

1.函數f(x)=x^2+3x+2在x=1處的切線斜率為______。

答案：4

2.設函數y=x^2e^x，求y的n階導數的一般形式是______。

答案：y^(n)=e^x(x^2+2nx+n(n1))

3.函數f(x)=e^x+sinx在x=0處的二階導數是______。

答案：2

4.若函數f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)在x=2處的切線方程是______。

答案：y=1

5.設函數y=ln(1+e^x)，求y的導數是______。

答案：e^x/(1+e^x)

三、解答題（共50分）

1.（10分）已知函數f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的單調區(qū)間。

解答：f'(x)=3x^26x+2。令f'(x)>0，解得x<1或x>2。令f'(x)<0，解得1<x<2。所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(∞,1)和(2,+∞)，單調遞減區(qū)間為(1,2)。

2.（15分）設函數y=x^2e^x，求y的n階導數。

解答：y'=2xe^x+x^2e^x，y''=2e^x+4xe^x+x^2e^x，y'''=6e^x+6xe^x+x^2e^x。觀察規(guī)律，可以得出y^(n)=e^x(x^2+2nx+n(n1))。

3.（15分）已知函數f(x)=e^x+sinx，求f(x)在x=0處的n階導數。

解答：f'(x)=e^x+cosx，f''(x)=e^xsinx。觀察規(guī)律，可以得出f^(n)(x)=e^x(cosx+