小學(xué)數(shù)學(xué)差倍問題專項(xiàng)練習(xí)講解差倍問題是小學(xué)數(shù)學(xué)中高年級(jí)階段一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，它不僅考察學(xué)生對(duì)倍數(shù)概念的理解，更考驗(yàn)其分析數(shù)量關(guān)系、解決實(shí)際問題的能力。這類題目看似變化多樣，但只要掌握了核心的解題思路和方法，就能迎刃而解。本文將從差倍問題的基本概念入手，通過典型例題的詳細(xì)解析，幫助同學(xué)們建立清晰的解題框架，提升解題技能。一、差倍問題的概念解析所謂“差倍問題”，指的是已知兩個(gè)數(shù)的差以及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。其核心特征有兩點(diǎn)：1.存在兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量：我們通常把較小的那個(gè)數(shù)稱為“小數(shù)”或“一倍數(shù)”，較大的那個(gè)數(shù)稱為“大數(shù)”或“幾倍數(shù)”。2.已知條件：明確告知這兩個(gè)數(shù)的差，以及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（倍數(shù)關(guān)系）。例如：“紅花比黃花多20朵，紅花的朵數(shù)是黃花的3倍，紅花和黃花各有多少朵？”這就是一道典型的差倍問題。其中，“紅花比黃花多20朵”是兩數(shù)的差，“紅花的朵數(shù)是黃花的3倍”是倍數(shù)關(guān)系。二、解題關(guān)鍵與數(shù)量關(guān)系解決差倍問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出與“差”相對(duì)應(yīng)的“倍數(shù)差”，從而求出“一倍數(shù)”（即較小數(shù)）。我們可以通過畫線段圖來直觀理解數(shù)量關(guān)系。通常，我們把較小數(shù)（一倍數(shù)）用一條較短的線段表示，那么較大數(shù)（幾倍數(shù)）就用幾條與較小數(shù)等長(zhǎng)的線段表示。這樣，兩數(shù)的倍數(shù)關(guān)系就清晰地體現(xiàn)在線段的長(zhǎng)度對(duì)比上，而兩數(shù)的差則對(duì)應(yīng)著較大數(shù)比較小數(shù)多出的那部分線段的長(zhǎng)度?；緮?shù)量關(guān)系式：1.較小數(shù)（一倍數(shù)）=兩數(shù)差÷(倍數(shù)-1)*這里的“倍數(shù)-1”表示的是較大數(shù)比較小數(shù)多出的倍數(shù)，也就是“倍數(shù)差”。因?yàn)檩^大數(shù)是較小數(shù)的“倍數(shù)”倍，所以它比較小數(shù)多了“倍數(shù)-1”倍，而這“倍數(shù)-1”倍對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量就是兩數(shù)的“差”。2.較大數(shù)（幾倍數(shù)）=較小數(shù)×倍數(shù)或較大數(shù)=較小數(shù)+兩數(shù)差三、典型例題詳解例題一：基礎(chǔ)型差倍問題題目：學(xué)校圖書館里，科技書的本數(shù)比故事書少60本，故事書的本數(shù)是科技書的4倍?？萍紩凸适聲饔卸嗌俦?？分析與解答：1.明確數(shù)量關(guān)系：題目中，“科技書的本數(shù)比故事書少60本”，反過來就是“故事書的本數(shù)比科技書多60本”，所以兩數(shù)差是60本。“故事書的本數(shù)是科技書的4倍”，所以倍數(shù)關(guān)系是4倍。這里，科技書的數(shù)量較少，是較小數(shù)（一倍數(shù)）；故事書的數(shù)量較多，是較大數(shù)（4倍數(shù)）。2.畫線段圖輔助理解：*畫一條線段表示科技書的本數(shù)（1份）。*畫四條同樣長(zhǎng)的線段表示故事書的本數(shù)（4份）。*從圖上可以清楚地看到，故事書比科技書多出了（4-1）=3份，這3份對(duì)應(yīng)的數(shù)量就是60本。3.列式計(jì)算：*較小數(shù)（科技書本數(shù)）：因?yàn)?份是60本，所以1份（科技書）就是60÷(4-1)=60÷3=20（本）。*較大數(shù)（故事書本數(shù)）：*方法一：根據(jù)倍數(shù)關(guān)系，故事書是科技書的4倍，所以20×4=80（本）。*方法二：根據(jù)兩數(shù)差，故事書比科技書多60本，所以20+60=80（本）。4.檢驗(yàn)：故事書80本，科技書20本。80是20的4倍，且80-20=60本，符合題意。5.答：科技書有20本，故事書有80本。例題二：稍復(fù)雜型差倍問題（差未直接給出）題目：甲筐蘋果有50個(gè)，乙筐蘋果有30個(gè)。從甲筐中拿出多少個(gè)蘋果放入乙筐后，甲筐蘋果的個(gè)數(shù)是乙筐的2倍？分析與解答：1.明確數(shù)量關(guān)系：這道題沒有直接給出“差”，但我們要注意到，“從甲筐中拿出多少個(gè)蘋果放入乙筐”，這個(gè)操作并不會(huì)改變兩筐蘋果的總個(gè)數(shù)。所以，兩筐蘋果的總個(gè)數(shù)是50+30=80（個(gè)）。*當(dāng)“甲筐蘋果的個(gè)數(shù)是乙筐的2倍”時(shí)，我們把此時(shí)乙筐蘋果的個(gè)數(shù)看作較小數(shù)（一倍數(shù)），甲筐蘋果的個(gè)數(shù)就是較大數(shù)（2倍數(shù)）。那么，兩筐蘋果的總個(gè)數(shù)就相當(dāng)于乙筐此時(shí)個(gè)數(shù)的（2+1）=3倍。（這其實(shí)是一個(gè)和倍問題的思路，先求出變化后的兩數(shù)，再求移動(dòng)的數(shù)量。但為了貼合差倍主題，我們也可以從差的角度思考，不過稍顯曲折，此處用和倍思路更直接，因?yàn)榭偤筒蛔兪顷P(guān)鍵。）*不過，我們也可以從“差”的角度驗(yàn)證一下。原來甲筐比乙筐多50-30=20個(gè)。從甲筐拿蘋果給乙筐后，甲筐少了，乙筐多了，但兩者的差會(huì)減少。假設(shè)拿了x個(gè)，甲筐變?yōu)?0-x，乙筐變?yōu)?0+x，新的差是(50-x)-(30+x)=20-2x。新的倍數(shù)關(guān)系是(50-x)=2*(30+x)。解方程可得x=(2*30-50)/3=(60-50)/3=10/3，不是整數(shù)，說明此路不通，證明總和不變的和倍思路是正確的。2.確定變化后乙筐的個(gè)數(shù)（較小數(shù)）：*變化后，甲是乙的2倍，總個(gè)數(shù)是80個(gè)，對(duì)應(yīng)(2+1)倍。*所以，變化后乙筐的個(gè)數(shù)為：80÷(2+1)=80÷3≈26.67（個(gè)）。咦，這不對(duì)，蘋果個(gè)數(shù)不能是小數(shù)。說明剛才的分析中，我嘗試用差倍強(qiáng)行代入是錯(cuò)誤的，這道題本質(zhì)上是和倍問題。那么，我們就按和倍問題的正確解法來。*正確解法（和倍）：*變化后乙筐蘋果數(shù)（1倍數(shù)）：(50+30)÷(2+1)=80÷3，顯然不對(duì)，說明我題目可能舉得不好，或者計(jì)算錯(cuò)了。哦，不對(duì)，50+30是80，80除以3確實(shí)不是整數(shù)，這說明我選的數(shù)字不合適，導(dǎo)致結(jié)果不是整數(shù)。那我換個(gè)數(shù)字，假設(shè)甲筐60個(gè)，乙筐30個(gè)。那么總數(shù)90個(gè)。變化后甲是乙的2倍，乙筐就是90/(2+1)=30個(gè)，甲筐60個(gè)。那就是從甲筐拿0個(gè)？也不行?；蛘呒卓?0個(gè)，乙筐30個(gè)，總數(shù)100個(gè)。100/(3)也不是整數(shù)。看來，要湊一個(gè)總數(shù)能被3整除的。甲筐80個(gè)，乙筐40個(gè)，總數(shù)120個(gè)。變化后乙筐120/(2+1)=40個(gè)，甲筐80個(gè)。還是沒變。嗯，看來這個(gè)“從甲拿給乙，使甲是乙的2倍”的題目，需要特定數(shù)字。那我調(diào)整一下題目數(shù)字：甲筐蘋果有70個(gè)，乙筐蘋果有10個(gè)。從甲筐中拿出多少個(gè)蘋果放入乙筐后，甲筐蘋果的個(gè)數(shù)是乙筐的3倍？*這樣總數(shù)是80個(gè)。變化后，甲是乙的3倍，總和是4倍。乙筐：80/(3+1)=20個(gè)。甲筐：60個(gè)。原來乙筐10個(gè)，現(xiàn)在20個(gè)，所以從甲筐拿了20-10=10個(gè)。這樣就對(duì)了。看來，舉例也是個(gè)技術(shù)活，要確保結(jié)果是整數(shù)。*回到原題，既然我最初的題目數(shù)字有問題，那就以這個(gè)調(diào)整后的題目為例進(jìn)行解答，或者，我們換一個(gè)差倍問題的典型變式。例題二（修正版）：差倍問題變式（“幾倍多幾”或“幾倍少幾”）題目：果園里桃樹的棵數(shù)比梨樹多30棵，桃樹的棵數(shù)是梨樹的3倍還多2棵。桃樹和梨樹各有多少棵？分析與解答：1.明確數(shù)量關(guān)系：兩數(shù)差是30棵。倍數(shù)關(guān)系是：桃樹棵數(shù)=梨樹棵數(shù)×3+2棵。這里，梨樹棵數(shù)是較小數(shù)（一倍數(shù)），桃樹棵數(shù)是較大數(shù)。2.畫線段圖輔助理解：*畫一條線段表示梨樹的棵數(shù)（1份）。*桃樹的棵數(shù)是梨樹的3倍還多2棵，所以畫三條同樣長(zhǎng)的線段，再加上一小段表示多出來的2棵。*已知桃樹比梨樹多30棵。從圖上看，桃樹比梨樹多了（3-1）=2份還多2棵。這“2份還多2棵”對(duì)應(yīng)的就是30棵。3.轉(zhuǎn)化為基本差倍問題：如果桃樹的棵數(shù)正好是梨樹的3倍，那么桃樹就應(yīng)該比梨樹多30-2=28棵。此時(shí)，倍數(shù)差還是（3-1）=2份。4.列式計(jì)算：*較小數(shù)（梨樹棵數(shù)）：28÷(3-1)=28÷2=14（棵）。*較大數(shù)（桃樹棵數(shù)）：*根據(jù)“桃樹的棵數(shù)是梨樹的3倍還多2棵”：14×3+2=42+2=44（棵）。*驗(yàn)證差：44-14=30（棵），符合題意。5.檢驗(yàn)：桃樹44棵，梨樹14棵。44-14=30棵，且44=14×3+2，符合題意。6.答：梨樹有14棵，桃樹有44棵。四、方法總結(jié)與溫馨提示1.仔細(xì)審題，找準(zhǔn)“差”與“倍數(shù)”：這是解決差倍問題的前提。要明確誰是較小數(shù)（一倍數(shù)），誰是較大數(shù)（幾倍數(shù)），以及它們之間的準(zhǔn)確差值和倍數(shù)關(guān)系。2.善用線段圖：線段圖是解決差倍問題的“利器”，它能將抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化，幫助我們快速找到“差”所對(duì)應(yīng)的“倍數(shù)差”。畫圖時(shí)，通常先畫較小數(shù)（1份）。3.牢記基本公式：較小數(shù)=差÷(倍數(shù)-1)。這個(gè)公式是差倍問題的核心。對(duì)于“幾倍多幾”或“幾倍少幾”的情況，要先通過“多退少補(bǔ)”的方式，將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的“幾倍”關(guān)系，再運(yùn)用公式。4.多角度驗(yàn)證：求出結(jié)果后，要養(yǎng)成檢驗(yàn)的好習(xí)慣?？梢酝ㄟ^“較大數(shù)÷較小數(shù)=倍數(shù)”和“較大數(shù)-較小數(shù)=差”這兩個(gè)關(guān)系式來驗(yàn)證答案是否正確。5.靈活變通：有些題目可能不會(huì)直接給出“差”或“倍數(shù)”，需要我們通過分析題目中的其他條件間接求出，或者題目中的“差”會(huì)隨著某些操作（如移多補(bǔ)少）而發(fā)生變化，這時(shí)要仔細(xì)分析，抓住不變量或找出變化后的關(guān)系。五、鞏固練習(xí)1.公園里，月季花的盆數(shù)是牡丹花的5倍，月季花比牡丹花多80盆。月季花和牡丹花各有多少盆？2.甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)各存一批面粉，甲倉(cāng)庫(kù)所存面粉