第二章一元二次方程

1認(rèn)識一元二次方程第1課時(shí)認(rèn)識一元二次方程

一元一次方程二元一次方程分式方程2.

(1)相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積為72，設(shè)較小的數(shù)為x，則列方程為

?

?.(2)矩形的長比寬多3，面積為40，設(shè)長為x，則列方程為

?

?.3.

一元二次方程的定義：只含有

?個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)

是

的

方程叫做一元二次方程，一元二次方程都可以化成

ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式.4.

一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，

a≠0)，其中ax2，bx，c分別稱為

，

和

?

，a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).x(x＋

1)＝72

x(x－3)＝40

一

2

整式

二次項(xiàng)

一次項(xiàng)

常數(shù)項(xiàng)

①

【變式1】(1)下列方程是一元二次方程的是(

B

)A.

x2＋y＝0B.

x2－2x＋5＝0C.

x2－x(x＋1)＝5D.

＋x＝2(2)(多維原創(chuàng))若方程(m－4)xn＋3x－1＝0是一元二次方程，則(

D

)A.

m＝4，n＝2B.

m≠4，n≠2C.

m＝4，n≠2D.

m≠4，n＝2BD知識點(diǎn)2

一元二次方程的一般形式【例2】把方程(x－3)2＝2x(x＋1)化為一元二次方程的一般形式，并寫出

它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).解：方程(x－3)2＝2x(x＋1)化成一般形式為－x2－8x＋9＝0.二次項(xiàng)系數(shù)為－1，一次項(xiàng)系數(shù)為－8，常數(shù)項(xiàng)為9.解：方程(x－3)2＝2x(x＋1)化成一般形式為－x2－8x＋9＝0.二次項(xiàng)系數(shù)為－1，一次項(xiàng)系數(shù)為－8，常數(shù)項(xiàng)為9.【變式2】(北師教材九上P32習(xí)題T2)把下列方程化成一元二次方程的一般

形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).方程一般形式二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)3x2＝5x－13x2－5x＋1＝03－51(x＋2)(x－1)＝6x2＋x－8＝011－84－7x2＝0－7x2＋4＝0－7043x2－5x＋1＝03－51x2＋x－8＝011－8－7x2＋4＝0－704知識點(diǎn)3

根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程【例3】某教室矩形地面的長為8

m，寬為5

m，現(xiàn)準(zhǔn)備在地面正中間鋪設(shè)

一塊面積為18

m2的地毯，四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同，設(shè)這

個(gè)寬度為x

m，則可列方程為

?，化為一般形式

為

?.(8－2x)(5－2x)＝18

2x2－13x＋11＝0

【變式3】(北師教材九上P32習(xí)題T1(1)改編)有一面積為54

m2的長方形，

將它的一邊剪短5

m，另一邊剪短2

m，恰好變成一個(gè)正方形，設(shè)這個(gè)正

方形的邊長為x

m，則可列方程為

?，化為一般形式

為

?.課堂總結(jié)：1.

一元二次方程要滿足三個(gè)條件：(1)一元(一個(gè)未知數(shù))；(2)二次(最高次

數(shù)為2)；(3)整式方程.2.

一元二次方程的一般形式要滿足兩個(gè)條件：(1)等號左邊為降冪排列；

(2)等號右邊為0.(x＋5)·(x＋2)＝54

x2＋7x－44＝0

1.

下列不是一元二次方程的一般形式的是(

D

)A.

x2－3x＝0B.

x2＋3＝0C.

5x2＝0D.

x2＋3x＝52.

一元二次方程4x2－2x＝1的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是

(

B

)A.4，－2，1B.4，－2，－1C.4，2，1D.4，2，－1DB3.

兩個(gè)相鄰奇數(shù)的積為195，若設(shè)較大的奇數(shù)為x，則可列方程為(

D

)A.

x(x＋2)＝195B.(2x＋1)(2x－1)＝195C.

x(x＋1)＝195D.

x(x－2)＝1954.

一元二次方程5＋x(x－3)＝0化為一般形式為

?，其中

一次項(xiàng)為

?.5.

如果關(guān)于x的方程(m＋1)x2－3x＋2＝0是一元二次方程，那么m滿足

的條件為

?.6.

(易錯(cuò)點(diǎn))若關(guān)于x的方程(a－3)x｜a｜－1＋x－1＝0是一元二次方程，則

a＝(

B

)A.3B.

－3C.3或－3D.2Dx2－3x＋5＝0

－3x

m≠－1

B7.

若關(guān)于x的一元二次方程2x2＋ax－1＝x(x－3)化成一般形式后不含一

次項(xiàng)，則a＝

?.8.

(抽象能力)(北師教材九上P33T3改編)從前有一天，一個(gè)笨漢拿著竹竿

進(jìn)門，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺.他的鄰

居教他沿著門的兩個(gè)對角斜著拿竿，這個(gè)笨漢一試，不多不少剛好進(jìn)去

了.你知道竹竿有多長嗎？若設(shè)竹竿長為x尺，請根據(jù)這一問題列出一元

二次方程，并將其化為一般形式.－3

解：根據(jù)題意，得(x－4)2＋(x－2)2＝x2.將其化為一般形式為x2－12x＋20＝0.解：根據(jù)題意，得(x－4)2＋(x－2)2＝x2.將其化為一般形式為x2－12x＋20＝0.第2課時(shí)一元二次方程的解及其估算1.

能使方程左右兩邊

的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解(根).(1)方程x2－3x＝4的根是(

C

)A.0，3B.1，－4C.

－1，4D.

－2，3相等

C2.

用兩頭夾擠法可以估算一元二次方程的解.(2)觀察表格，探索x2＝5的正數(shù)解的大致范圍.x1234x214916則該方程的正數(shù)解的范圍為

?.2＜x＜3

知識點(diǎn)1

一元二次方程的解【例1】下列哪些數(shù)是方程x2＋x－12＝0的根(

D

)A.3，4B.

－3，－4C.

－3，4D.3，－4D【變式1】下列各數(shù)：－2，－1，0，1，2，其中是方程x(x－1)＝2的根的

是(

C

)A.

－2B.2C.

－1，2D.1，2【例2】(1)已知關(guān)于x的方程x2＋mx－3＝0的一個(gè)根為1，則m＝

?.(2)(多維原創(chuàng))若a是關(guān)于x的一元二次方程x2－2x－7＝0的一個(gè)解，則

3a2－6a＝

?.C2

21

【變式2】(1)關(guān)于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一個(gè)根是

0，則a的值為(

A

)A.

－1B.1C.1或－1D.0.5(2)若x＝－1是關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋25＝0的解，則－a＋b＋

2

000的值是

?.A2

025

知識點(diǎn)2

一元二次方程解的估算【例3】下表是某同學(xué)求代數(shù)式x2－x的值的情況.(1)根據(jù)表格可知方程x2－x＝2的解是(

D

)A.

x＝－1B.

x＝0C.

x＝2D.

x1＝－1，x2＝2(2)根據(jù)表格可知方程x2－x＝4的正數(shù)解的范圍為(

C

)x－2－10123…x2－x620026…A.0＜x＜1B.1＜x＜2C.2＜x＜3D.3＜x＜4DC【變式3】一塊矩形鐵片的面積是1

m2，長比寬多3

m，求鐵片的長.小明的解題過程如下：設(shè)鐵片的長為x

m，列方程為x(x－3)＝1，整理，

得x2－3x－1＝0.小明列方程后，想知道鐵片的長是多少，下面是他的探索過程.第一步：x1234x2－3x－1－3－3－13－13x3.13.23.33.4x2－3x－1－0.69－0.36－0.010.36(1)請你幫小明填表，完成他未完成的部分.(2)通過以上探索，估計(jì)出矩形鐵片長的整數(shù)部分為

?，十分位

為

?.0.363

3

第二步：課堂總結(jié)：1.

已知方程的解，通常要把解代入方程從而解出參數(shù)的值，或利用整體

求一個(gè)式子的值.2.

估算一元二次方程的解有兩種方法：(1)兩頭夾擠法；(2)二分法(教材

P34－P35有介紹).1.

若x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，則2a＋4b＝

(

A

)A.

－2B.

－3C.4D.

－6

A(答案不唯一)x2＝2

－2

x00.511.11.21.3x2＋px＋q－