第2講不等式的性質(zhì)及其解法學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))(2)證明不等式還常用綜合法、反證法和分析法.2.不等式的性質(zhì)(1)不等式的性質(zhì)①可加性：a>b?a＋c>b＋c；②可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；③傳遞性：a>b，b>c?a>c；④對(duì)稱(chēng)性：a>b?b<a.(2)不等式的推論①移項(xiàng)法則：a＋b>c?a>c－b；②同向不等式相加：a>b，c>d?a＋c>b＋d；③同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0?ac>bd；④可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n>1)；⑤可開(kāi)方性：a>b>0?eq\r(a)>eq\r(b).3.絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)??|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想；③通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.4.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??5.一般地，如果x1＜x2，則不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)·(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).6.分式不等式及其解法(1)eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0).(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.考點(diǎn)和典型例題不等式的性質(zhì)【典例1-1】（2022·安徽·蕪湖一中高三階段練習(xí)（文））已知，且，則以下不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，，故A，B正確；，即，故C正確；對(duì)兩邊同除得，故D錯(cuò)誤.故選：D.【典例1-2】（2022·安徽黃山·二模（文））設(shè)實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A：當(dāng)，時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)，，所以，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋?，又，所以（等?hào)成立的條件是），故D正確.故選：D.【典例1-3】（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知，，且，則下列不等關(guān)系成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，由，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，

，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，由，得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)成立；故B正確；對(duì)于C，若滿(mǎn)足，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵，∴，由B的結(jié)論得

，，，故D正確；故選：ABD.【典例1-4】（2022·廣東汕頭·二模）（多選）已知a，b，c滿(mǎn)足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（

）A．a(chǎn)c（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D．【答案】BCD【詳解】解：因?yàn)閍，b，c滿(mǎn)足c<a<b，且ac<0，所以，所以ac（a-c）<0，c（b-a）<0，，，故選：BCD【典例1-5】（2022·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）（多選）設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】因?yàn)?，，所以，的符?hào)不能確定，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，因?yàn)?，，所以，故B正確，因?yàn)?，所以，故C正確，因?yàn)?，所以，所以，所以，故D錯(cuò)誤，故選：BC不等式的解法【典例2-1】（2021·重慶市涪陵高級(jí)中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知(1)求集合A和B；(2)求A∪B，A∩B，【答案】(1)；(2)；【解析】(1)解：解不等式得，所以，解不等式得，所以；(2)解：，.【典例2-2】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知常數(shù)a∈R，解關(guān)于x的不等式.【詳解】∵，，即，令，解得，，①當(dāng)時(shí)，解集為或；②當(dāng)時(shí)，，解集為且；③當(dāng)時(shí)，，解集為或.綜上所述：當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為且；當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為或.【典例2-3】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，，求證：(1)；(2).【解析】(1)由題意，因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，所以，所以．(2)由，所以，，所以，所以，所以，所以．【典例2-4】（2022·安徽·蕪湖一中三模（文））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域；(2)已知，，且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，綜上函數(shù)的值域?yàn)?2)因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，要使不等式恒成立，只需，即恒成立，由（1）知當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，所以x的取值范圍為.【典例2-5】（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)（文））已知a，b，c為正數(shù).(1)求的最小值；(2)求證：.【解析】(1)因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.(2)因?yàn)椋?，，所以三式相加得，所以，?dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立不等式的綜合應(yīng)用【典例3-1】（2021·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若函數(shù)對(duì)任意有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，函數(shù)對(duì)任意有（1）當(dāng)時(shí)，成立；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，若滿(mǎn)足對(duì)任意有，則綜上：故選：A【典例3-2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧星∮袀€(gè)正整數(shù)，即不等式的解集中恰有個(gè)正整數(shù)，所以，所以不等式的解集為所以這三個(gè)正整數(shù)為，所以，即故選：D【典例3-3】（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)______.【答案】【解析】【詳解】當(dāng)m=0時(shí)不等式為,顯然對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立等價(jià)于m<0?=4m解得,所以m的取值范圍是,故答案為：.【典例3-4】（2021·福建省南平市高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________