小學奧數(shù)工程問題專項訓練教案一、教學目標1.知識與技能：使學生理解工程問題的基本概念，掌握工程問題中工作總量、工作效率和工作時間三者之間的數(shù)量關(guān)系；學會運用“單位1”的思想解決實際問題；能夠熟練處理合作、分工、以及含休息等較復(fù)雜的工程問題。2.過程與方法：通過實例引入，引導(dǎo)學生經(jīng)歷觀察、分析、抽象、概括的過程，培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力和邏輯思維能力。通過一題多解、變式練習，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)其思維的靈活性和深刻性。3.情感態(tài)度與價值觀：感受數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，體驗解決問題后的成就感，培養(yǎng)學生認真審題、仔細計算、規(guī)范書寫的良好學習習慣。二、教學重點與難點*教學重點：理解并掌握工程問題的基本數(shù)量關(guān)系（工作總量=工作效率×工作時間），以及“將工作總量看作單位1”的解題策略。*教學難點：1.理解“工作效率”的含義及表示方法。2.處理合作過程中效率的疊加與拆分。3.解決工作過程中涉及中途休息、交替工作、效率變化等復(fù)雜情況的工程問題。4.從復(fù)雜的文字描述中準確提取信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型。三、教學準備PPT課件、白板或黑板、粉筆、練習本。四、教學過程（一）情境導(dǎo)入，初步感知(約5分鐘)*教師提問：同學們，我們的教室如果臟了，需要打掃。假如老師一個人打掃，需要12分鐘才能完成；如果讓咱們班的衛(wèi)生委員單獨打掃，需要10分鐘就能完成。大家想一想，如果老師和衛(wèi)生委員一起打掃，大概需要多少分鐘能完成呢？（引導(dǎo)學生猜測，不必追求準確答案）*引出課題：同學們給出的時間都比10分鐘少，這是為什么呢？因為兩個人一起做，速度更快了。像這樣研究工作總量、工作效率和工作時間之間關(guān)系的問題，就是我們今天要深入學習的——工程問題。（板書課題：工程問題專項訓練）（二）新知探究，概念建構(gòu)(約15分鐘)1.理解基本概念：*工作總量：指一項工程的全部工作量。在數(shù)學題中，當題目沒有給出具體的工作總量時，我們通常把它看作單位“1”。（例如：上述打掃教室的工作總量可看作“1”）*工作效率：指單位時間內(nèi)完成的工作量。通常用“工作總量÷工作時間”來表示。*教師舉例：如果老師單獨打掃教室需要12分鐘，那么老師每分鐘的工作效率就是1÷12=1/12(讀作十二分之一，表示每分鐘完成全部工作的十二分之一)。*學生嘗試：衛(wèi)生委員單獨打掃需要10分鐘，他的工作效率是多少？（引導(dǎo)學生得出：1÷10=1/10）*工作時間：完成一項工作所需要的時間。2.核心數(shù)量關(guān)系：*工作總量=工作效率×工作時間*工作效率=工作總量÷工作時間*工作時間=工作總量÷工作效率*（板書以上三個關(guān)系式）3.解決導(dǎo)入問題：*教師引導(dǎo)：現(xiàn)在我們回頭看看剛開始的問題。老師的工作效率是1/12，衛(wèi)生委員的工作效率是1/10，那么兩人合作，每分鐘能完成多少工作量呢？*學生思考：合作效率應(yīng)該是兩人效率之和，即1/12+1/10。*共同計算：1/12+1/10=(5+6)/60=11/60。*求合作時間：工作總量是“1”，合作效率是11/60，那么合作時間就是1÷(11/60)=60/11≈5.45分鐘。所以大約需要5到6分鐘完成。*小結(jié)：這就是工程問題的基本模型：合作工作時間=工作總量“1”÷合作工作效率之和。（三）例題精講，方法提煉(約20分鐘)例題1(基礎(chǔ)合作型)：一項工程，甲單獨做需要15天完成，乙單獨做需要10天完成。如果甲、乙兩隊合作，幾天可以完成這項工程？*師生共同分析：*工作總量看作單位“1”。*甲的工作效率：1÷15=1/15*乙的工作效率：1÷10=1/10*甲、乙合作效率：1/15+1/10=(2+3)/30=5/30=1/6*合作時間：1÷(1/6)=6(天)*規(guī)范解答：(板書解題步驟)解：把這項工程的工作總量看作單位“1”。甲的工作效率：1/15乙的工作效率：1/10甲乙合作效率：1/15+1/10=1/6合作時間：1÷1/6=6(天)答：甲、乙兩隊合作6天可以完成這項工程。*方法小結(jié)：對于基本合作問題，關(guān)鍵是先分別求出各自的工作效率，再求出合作效率和，最后用工作總量“1”除以合作效率和得到合作時間。例題2(含休息或分階段型)：一項工程，甲單獨做需要20天完成，乙單獨做需要30天完成。甲、乙合作了幾天后，乙因事請假，甲繼續(xù)做，從開工到完成任務(wù)共用了16天。乙請假了多少天？*教師引導(dǎo)學生思考：*這個問題和上一個有什么不同？（甲一直在做，乙中途離開了，總時間已知）*我們可以從哪個量入手？（甲工作了16天，這是確定的）*學生嘗試分析：*甲的效率：1/20，工作16天，完成的工作量是1/20×16=16/20=4/5。*那么剩下的工作量就是1-4/5=1/5，這部分是誰完成的？（乙）*乙的效率是1/30，那么乙工作的天數(shù)就是(1/5)÷(1/30)=6(天)。*總工期是16天，乙工作了6天，所以乙請假了16-6=10(天)。*規(guī)范解答：(請一名學生口述，教師板書或PPT展示)解：甲的工作效率：1/20甲16天完成的工作量：1/20×16=4/5乙完成的工作量：1-4/5=1/5乙的工作效率：1/30乙工作的天數(shù)：1/5÷1/30=6(天)乙請假天數(shù)：16-6=10(天)答：乙請假了10天。*方法小結(jié)：對于有一方或雙方不是全程參與的情況，可以先計算出一方全程參與的工作量，再求出另一方需要完成的工作量，進而求出其工作時間，最后解決問題。也可以用方程思想，設(shè)合作了x天，根據(jù)總工作量為1列方程。例題3(效率變化或比較型)：一項工程，甲、乙合作6天可以完成。如果甲先單獨做2天，乙再單獨做3天，可以完成這項工程的2/5。問甲、乙單獨做各需要多少天完成？*教師引導(dǎo)：*這個問題告訴了我們合作的效率和（1/6），還告訴了一種特定工作方式下的工作量。*“甲先做2天，乙再做3天”，能不能轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式？（可以看作甲乙合作2天，乙再單獨做1天）*師生共同分析：*甲乙合作效率和：1/6。*甲乙合作2天完成的工作量：1/6×2=1/3。*那么乙單獨做1天完成的工作量：2/5-1/3=(6/15-5/15)=1/15。所以乙的效率是1/15，乙單獨做需要15天。*甲的效率：合作效率和-乙的效率=1/6-1/15=(5/30-2/30)=3/30=1/10。所以甲單獨做需要10天。*規(guī)范解答：(過程略，強調(diào)轉(zhuǎn)化思想的運用)*方法小結(jié)：對于這種給出部分工作情況的問題，關(guān)鍵在于將非常規(guī)的工作方式（如甲2天乙3天）轉(zhuǎn)化為常規(guī)的合作與單獨工作的組合（如合作2天，乙再單獨1天），從而利用已知的合作效率求解。（四）鞏固練習，深化理解(約15分鐘)*基礎(chǔ)練習：1.一項工作，甲單獨做8小時完成，乙單獨做10小時完成。甲乙合作，幾小時可以完成？2.一條公路，甲工程隊單獨修需要12天，乙工程隊單獨修需要18天。兩隊合修，幾天能修完這條路的一半？*提高練習：3.一項工程，甲、乙合作需要12天完成。如果甲先做3天，然后乙加入一起做，又用了10天完成。甲單獨做需要多少天？4.一池水，單開甲管6小時可以注滿，單開乙管8小時可以排空。如果兩管同時打開，多少小時可以把空池注滿？（此為水管問題，是工程問題的變種，進水管效率為正，出水管效率為負）*學生獨立完成，教師巡視指導(dǎo)，對共性問題進行集中講解。（五）課堂總結(jié)，知識升華(約5分鐘)*教師引導(dǎo)學生回顧：*今天我們學習了工程問題，大家有哪些收獲？*解決工程問題，最關(guān)鍵的是什么？（設(shè)工作總量為單位“1”，找準工作效率，分析工作過程）*我們學習了哪些類型的工程問題？（基本合作、中途休息、效率轉(zhuǎn)化等）*教師總結(jié)：工程問題的核心是“量率對應(yīng)”，即將具體的工作時間與抽象的工作效率（占總量的幾分之幾）聯(lián)系起來。解題時，要仔細審題，明確工作過程，靈活運用數(shù)量關(guān)系。遇到復(fù)雜問題，可以嘗試畫線段圖或列表幫助分析，也可以運用方程思想。五、課后作業(yè)與拓展(約5分鐘布置)*基礎(chǔ)作業(yè)：完成教材對應(yīng)練習中關(guān)于工程問題的基礎(chǔ)題型3-5道。*提高作業(yè)：1.一項工程，甲單獨做需15天，乙單獨做需12天。如果甲先做幾天，剩下的由乙單獨做，從開工到完成共用了13天，甲先做了多少天？2.一項工程，甲、乙、丙三人合作需要6天完成。如果甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天完成。問甲、丙合作需要多少天完成？*拓展思考：一項工作，甲單獨做要10天，乙單獨做要15天。如果按照甲做1天，乙做1天，甲做1天，乙做1天……這樣交替進行，完成這項工作共需要多少天？（提示：可以先算一個周期2天完成的工作量）六、板書設(shè)計(示例)工程問題專項訓練1.基本概念：*工作總量：單位“1”*工作效率：單位時間完成的工作量(1/時間)*工作時間：完成工作的總時長2.核心關(guān)系：*工作總量=工作效率×工作時間*工作效率=工作總量÷工作時間*工作時間=工作總量÷工作效率3.解題關(guān)鍵：*設(shè)總量為“1”*求各主體效率*分析工作過程（合作、單獨、休息等）4.例題解析：(簡要板書例題1、2的關(guān)鍵步驟和答案)*例1：合作效率和→1÷和*例2：甲總量→剩余量→乙時間→請假時間七、教學反思(教師課后填寫)*