銳角三角函數(shù)教學(xué)導(dǎo)學(xué)案示范課題：銳角三角函數(shù)（第一課時(shí)）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：*理解銳角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。*能夠在直角三角形中，根據(jù)已知的兩邊長(zhǎng)度，求出指定銳角的正弦、余弦、正切值。*初步感受銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律。2.過(guò)程與方法：*通過(guò)觀察、操作、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)概念的過(guò)程。*在探究直角三角形中邊角關(guān)系的過(guò)程中，發(fā)展幾何直觀和初步的演繹推理能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：*感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值。*在探究活動(dòng)中體驗(yàn)成功的喜悅，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心。二、學(xué)習(xí)準(zhǔn)備1.知識(shí)回顧：*直角三角形的性質(zhì)（兩銳角互余、勾股定理）。*相似三角形的判定與性質(zhì)（重點(diǎn)是對(duì)應(yīng)邊成比例）。2.材料準(zhǔn)備：*直尺、量角器、計(jì)算器（備用）、草稿紙。三、學(xué)習(xí)過(guò)程（一）情境引入與問(wèn)題提出問(wèn)題1：同學(xué)們，我們都知道比薩斜塔是世界著名的建筑奇觀。如果我們想知道從塔底某點(diǎn)看塔頂?shù)难鼋谴笮?，或者想根?jù)仰角和某段距離計(jì)算塔的高度，這些問(wèn)題與直角三角形中的什么元素有關(guān)呢？（引導(dǎo)學(xué)生思考：角與邊的關(guān)系）問(wèn)題2：在Rt△ABC中，∠C=90°，如果我們固定一個(gè)銳角，比如∠A，那么∠A的對(duì)邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值、對(duì)邊與鄰邊的比值，這些比值會(huì)隨著三角形的大小變化而變化嗎？（可結(jié)合相似三角形的知識(shí)引導(dǎo)學(xué)生初步猜想）（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題和舊知回顧，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引出本節(jié)課的研究主題——直角三角形中銳角與邊的比值關(guān)系。）（二）新知探究與概念形成活動(dòng)一：動(dòng)手操作，感知規(guī)律1.請(qǐng)同學(xué)們?cè)诓莞寮埳袭嬕粋€(gè)直角三角形ABC，使∠C=90°，∠A=30°。測(cè)量出∠A的對(duì)邊BC、鄰邊AC以及斜邊AB的長(zhǎng)度（精確到0.1cm）。2.計(jì)算比值：BC/AB，AC/AB，BC/AC。3.再畫一個(gè)與上述三角形不全等的Rt△A'B'C'，同樣使∠C'=90°，∠A'=30°。重復(fù)步驟1和2。4.小組交流：比較兩個(gè)三角形中對(duì)應(yīng)比值的大小，你發(fā)現(xiàn)了什么？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：在含有30°角的直角三角形中，無(wú)論三角形大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值、對(duì)邊與鄰邊的比值都是固定不變的。）活動(dòng)二：類比遷移，形成概念我們將上述發(fā)現(xiàn)推廣到任意銳角。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A為一銳角。1.正弦（sine）：∠A的對(duì)邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦，記作sinA。即：sinA=∠A的對(duì)邊/斜邊=BC/AB2.余弦（cosine）：∠A的鄰邊與斜邊的比值叫做∠A的余弦，記作cosA。即：cosA=∠A的鄰邊/斜邊=AC/AB3.正切（tangent）：∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值叫做∠A的正切，記作tanA。即：tanA=∠A的對(duì)邊/∠A的鄰邊=BC/AC強(qiáng)調(diào)：*sinA、cosA、tanA是一個(gè)整體符號(hào)，表示一個(gè)比值，讀作“角A的正弦”、“角A的余弦”、“角A的正切”，不能分開理解。*這些比值只與銳角A的大小有關(guān)，與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)。*在書寫時(shí)，角的符號(hào)“∠”在使用函數(shù)符號(hào)時(shí)通常省略，如sinA，而非sin∠A。思考：對(duì)于Rt△ABC中的另一個(gè)銳角∠B，它的正弦、余弦、正切如何表示？（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生親自動(dòng)手操作、計(jì)算、比較，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而自然地引出銳角三角函數(shù)的定義。通過(guò)對(duì)∠B的三角函數(shù)的思考，加深對(duì)定義的理解和應(yīng)用。）（三）概念辨析與鞏固練習(xí)例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，AB=5。求：sinA、cosA、tanA的值。分析：明確∠A的對(duì)邊、鄰邊和斜邊分別是哪些邊，然后根據(jù)定義計(jì)算。解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的對(duì)邊BC=3，鄰邊AC=4，斜邊AB=5。sinA=BC/AB=3/5cosA=AC/AB=4/5tanA=BC/AC=3/4練習(xí)1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6。求：sinA、cosA、tanB的值。（學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo)，強(qiáng)調(diào)解題格式和依據(jù)。）思考與討論：1.sinA、cosA、tanA的值與三角形的邊長(zhǎng)變化有關(guān)系嗎？為什么？2.sinA、cosA的值會(huì)大于1嗎？tanA呢？為什么？（引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：sinA和cosA的值都在0到1之間，因?yàn)橹苯沁呅∮谛边?；tanA的值可以是任意正數(shù)。）例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，cosA=5/13，求sinA和tanA的值。分析：已知cosA=鄰邊/斜邊=AC/AB=5/13，AC=5，可以先求出斜邊AB的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出sinA和tanA。解：（過(guò)程略，引導(dǎo)學(xué)生自行完成）練習(xí)2：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanA=4/3，求AC和AB的長(zhǎng)。（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題和不同層次的練習(xí)，幫助學(xué)生鞏固對(duì)銳角三角函數(shù)定義的理解和應(yīng)用，提升學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。思考與討論環(huán)節(jié)旨在加深對(duì)三角函數(shù)本質(zhì)的理解。）（四）知識(shí)應(yīng)用與拓展延伸問(wèn)題解決：小明想測(cè)量學(xué)校旗桿的高度。他站在離旗桿底部若干米的地方，用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂端的仰角為α（銳角）。已知測(cè)角儀的高度為h，小明到旗桿底部的水平距離為d。你能利用今天所學(xué)的知識(shí)，幫助小明表示出旗桿的高度H嗎？（只列出表達(dá)式，不計(jì)算具體數(shù)值）（引導(dǎo)學(xué)生畫出示意圖，構(gòu)造直角三角形，明確仰角α的對(duì)邊、鄰邊，從而得出H=h+d·tanα）（設(shè)計(jì)意圖：將所學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力。）四、課堂小結(jié)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？1.我學(xué)習(xí)了哪些新的數(shù)學(xué)概念？（正弦、余弦、正切）2.如何在直角三角形中求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值？3.你認(rèn)為學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)有什么用？4.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，你遇到了哪些困難？是如何解決的？（引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法、情感等方面進(jìn)行總結(jié)。）五、當(dāng)堂檢測(cè)1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，BC=1，則AB=______，sinA=______，cosA=______。2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則tanA=______，cosB=______。3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3/5，則cosA的值為（）A.3/5B.4/5C.3/4D.4/3（檢測(cè)題難度適中，覆蓋本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容，及時(shí)反饋學(xué)習(xí)效果。）六、課后作業(yè)1.教材習(xí)題（具體頁(yè)碼和題號(hào)）。2.思考：當(dāng)銳角A的度數(shù)逐漸增大時(shí)，它的sinA、cosA、tanA的值分別有什么變化趨勢(shì)？（可通過(guò)畫圖、計(jì)算幾個(gè)特殊角的值進(jìn)行觀察）3.拓展閱讀：查閱資料，了解三角函數(shù)在航海、測(cè)量等領(lǐng)域的應(yīng)用。七、學(xué)習(xí)反思*本節(jié)課我最感興趣的部分是：____________________*我認(rèn)為自己掌握最好的知識(shí)點(diǎn)是：____________________*