函數(shù)與導數(shù)單選題1.(2025·北京)為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點（）A.橫坐標變成原來的倍，縱坐標不變B.橫坐標變成原來的2倍，縱坐標不變C.縱坐標變成原來的倍，橫坐標不變D.縱坐標變成原來的3倍，橫坐標不變【答案】A【解析】【分析】由，根據(jù)平移法則即可解出．【詳解】因為，所以將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變成原來的倍，縱坐標不變，即可得到函數(shù)的圖象，故選：A2．(2025·天津)已知函數(shù)的圖象如下，則的解析式可能為（

） B． C． D．【答案】D【分析】先由函數(shù)奇偶性排除AB，再由時函數(shù)值正負情況可得解.【詳解】由圖可知函數(shù)為偶函數(shù)，而函數(shù)和函數(shù)為奇函數(shù)，故排除選項AB；又當時，此時，由圖可知當時，，故C不符合，D符合.故選：D3．(2025·天津)函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理計算即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞減，顯然，所以根據(jù)零點存在性定理可知的零點位于.故選：B4．(2025·全國一卷)若點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，則a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心的結(jié)論求解.【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，的對稱中心橫坐標滿足，即的對稱中心是，即，又，則時最小，最小值是，即.故選：C5．(2025·全國一卷)設(shè)是定義在上且周期為2的偶函數(shù)，當時，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)周期性和奇偶性把待求自變量轉(zhuǎn)化為的范圍中求解.【詳解】由題知對一切成立，于是.故選：A6.(2025·北京)已知函數(shù)的定義域為D，則“函數(shù)的值域為”是“對任意，存在，使得”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)值域的概念結(jié)合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.【詳解】若函數(shù)的值域為，則對任意，一定存在，使得，取，則，充分性成立；取，，則對任意，一定存在，使得，取，則，但此時函數(shù)的值域為，必要性不成立；所以“函數(shù)的值域為”是“對任意，存在，使得”的充分不必要條件.故選：A.7.(2025·北京)設(shè)函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點，則的最小值為（）A8 B.6 C.4 D.3【答案】C【分析】由輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的最小正周期與零點即可求解.【詳解】函數(shù)，設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，由可得，所以，即；又函數(shù)在上存在零點，且當時，，所以，即；綜上，的最小值為4.故選：C.8．(2025·天津)，在上單調(diào)遞增，且為它的一條對稱軸，是它的一個對稱中心，當時，的最小值為（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】利用正弦函數(shù)的對稱性得出，根據(jù)單調(diào)性得出，從而確定，結(jié)合對稱軸與對稱中心再求出，得出函數(shù)解析式，利用整體思想及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】設(shè)的最小正周期為，根據(jù)題意有，，由正弦函數(shù)的對稱性可知，即，又在上單調(diào)遞增，則，∴，則，∵，∴時，，∴，當時，，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知.故選：A9.(2025·北京)在一定條件下，某人工智能大語言模型訓練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要時間（單位：小時），其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓練時間增加20小時；當訓練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓練時間增加（單位：小時）（）A.2 B.4 C.20 D.40【答案】B【分析】由題給條件列出不同訓練數(shù)據(jù)量時所需的時間，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)當N取個單位、個單位、個單位時所需時間分別為,由題意，，，，因為，所以，所以，所以當訓練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓練時間增加4小時.故選：B.10．(2025·上海)設(shè)．下列各項中，能推出的一項是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分類討論與1的關(guān)系即可判定選項.【詳解】∵，∴，當時，定義域上嚴格單調(diào)遞減，此時若，則一定有成立，故D正確，C錯誤；當時，定義域上嚴格單調(diào)遞增，要滿足，需，即A、B錯誤.故選：D11．(2025·上海)已知數(shù)列、、的通項公式分別為，、，.若對任意的，、、的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．1個 D．無數(shù)個【答案】B【分析】由可知范圍，再由三角形三邊關(guān)系可得的不等關(guān)系，結(jié)合函數(shù)零點解不等式可得.【詳解】由題意，不妨設(shè)，三點均在第一象限內(nèi)，由可知，，故點恒在線段上，則有.即對任意的，恒成立，令，構(gòu)造函數(shù)，則，由單調(diào)遞增，又，存在，使，即當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；故至多個零點，又由，可知存在個零點，不妨設(shè)，且.①若，即時，此時或.則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得；②若，即時，此時.則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得或；綜上可知，正整數(shù)的個數(shù)有個.故選：B.12．(2025·全國一卷)若實數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】法一：設(shè)，對討論賦值求出，即可得出大小關(guān)系，利用排除法求出；法二：根據(jù)數(shù)形結(jié)合解出.【詳解】法一：設(shè)，所以令，則，此時，A有可能；令，則，此時，C有可能；令，則，此時，D有可能；故選：B．法二：設(shè)，所以，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，易知各方程只有唯一的根，作出函數(shù)的圖象，以上方程的根分別是函數(shù)的圖象與直線的交點縱坐標，如圖所示：易知，隨著的變化可能出現(xiàn)：，，，，故選：B．二、多選題13．(2025·全國二卷)已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則（

）A． B．當時，C．當且僅當 D．是的極大值點【答案】ABD【分析】對A，根據(jù)奇函數(shù)特點即可判斷；對B，利用代入求解即可；對C，舉反例即可；對D，直接求導，根據(jù)極大值點判定方法即可判斷.【詳解】對A，因為定義在上奇函數(shù)，則，故A正確；對B，當時，，則，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，當時，，則，令，解得或（舍去），當時，，此時單調(diào)遞增，當時，，此時單調(diào)遞減，則是極大值點，故D正確；故選：ABD.三、填空題14．(2025·上海)函數(shù)在上的值域為．【答案】【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，故函數(shù)在上的值域為.故答案為：.15．(2025·全國一卷)若直線是曲線的切線，則.【答案】【分析】法一：利用導數(shù)的幾何性質(zhì)與導數(shù)的四則運算求得切點，進而代入曲線方程即可得解；法二：利用導數(shù)的幾何性質(zhì)與導數(shù)的四則運算得到關(guān)于切點與的方程組，解之即可得解.【詳解】法一：對于，其導數(shù)為，因為直線是曲線的切線，直線的斜率為2，令，即，解得，將代入切線方程，可得，所以切點坐標為，因為切點在曲線上，所以，即，解得.故答案為：.法二：對于，其導數(shù)為，假設(shè)與的切點為，則，解得.故答案為：.16．(2025·全國二卷)若是函數(shù)的極值點，則【答案】【分析】由題意得即可求解，再代入即可求解.【詳解】由題意有，所以，因為是函數(shù)極值點，所以，得，當時，，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點，符合題意；所以.故答案為：.17.(2025·北京)關(guān)于定義域為R的函數(shù)，以下說法正確的有________．①存在在R上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立；②存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立；③使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個；④使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個．【答案】②③【解析】【分析】利用反證法可判斷①④的正誤，構(gòu)造函數(shù)并驗證后可判斷②③的正誤.【詳解】對于①，若存在上的增函數(shù)，滿足，則即，故時，，故，故即，矛盾，故①錯誤；對于②，取，該函數(shù)為上的減函數(shù)且，故該函數(shù)符合，故②正確；對于③，取，此時，由可得有無窮多個，故③正確；對于④，若存在，使得，令，則，但，矛盾，故滿足的函數(shù)不存在，故④錯誤.故答案為：②③18．(2025·天津)若，對，均有恒成立，則的最小值為【答案】【分析】先設(shè)，根據(jù)不等式的形式，為了消可以取，得到，驗證時，是否可以取到，進而判斷該最小值是否可取即可得到答案.【詳解】設(shè)，原題轉(zhuǎn)化為求的最小值，原不等式可化為對任意的，，不妨代入，得，得，當時，原不等式可化為，即，觀察可知，當時，對一定成立，當且僅當取等號，此時，，說明時，均可取到，滿足題意，故的最小值為.故答案為：解答題19．(2025·全國二卷)已知函數(shù)．(1)求;(2)設(shè)函數(shù)，求的值域和單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）直接由題意得，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）由三角恒等變換得，由此可得值域，進一步由整體代入法可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）由題意，所以；（2）由（1）可知，所以，所以函數(shù)的值域為，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.20．(2025·全國一卷)設(shè)函數(shù)．(1)求在的最大值；(2)給定，設(shè)a為實數(shù)，證明：存在，使得；(3)若存在使得對任意x，都有，求b的最小值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用導數(shù)結(jié)合三角變換得導數(shù)零點，討論導數(shù)的符號后得單調(diào)性，從而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.（2）利用反證法可證三角不等式有解；（3）先考慮時的范圍，對于時，可利用（2）中的結(jié)論結(jié)合特值法求得，從而可得的最小值；或者先根據(jù)函數(shù)解析特征得，再結(jié)合特值法可得，結(jié)合（1）的結(jié)果可得的最小值.【詳解】（1）法1：，因為，故，故，當時，即，當時，即，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在上的最大值為.法2：我們有.所以：.這得到，同時又有，故在上的最大值為，在上的最大值也是.（2）法1：由余弦函數(shù)的性質(zhì)得的解為，，若任意與交集為空，則且，此時無解，矛盾，故無解；故存在，使得，法2：由余弦函數(shù)的性質(zhì)知的解為，若每個與交集都為空，則對每個，必有或之一成立.此即或，但長度為的閉區(qū)間上必有一整數(shù)，該整數(shù)不滿足條件，矛盾.故存在，使得成立.（3）法1：記，因為，故為周期函數(shù)且周期為,故只需討論的情況.當時，，當時，，此時，令，則，而，，故，當，在（2）中取，則存在，使得，取，則，取即，故，故，綜上，可取，使得等號成立.綜上，.法2：設(shè).①一方面，若存在，使得對任意恒成立，則對這樣的，同樣有.所以對任意恒成立，這直接得到.設(shè)，則根據(jù)恒成立，有所以均不超過，再結(jié)合，就得到均不超過.假設(shè)，則，故.但這是不可能的，因為三個角和單位圓的交點將單位圓三等分，這三個點不可能都在直線左側(cè).所以假設(shè)不成立，這意味著.②另一方面，若，則由（1）中已經(jīng)證明，知存在，使得.從而滿足題目要求.綜合上述兩個方面，可知的最小值是.21．(2025·全國二卷)已知函數(shù)，其中．(1)證明：在區(qū)間存在唯一的極值點和唯一的零點；(2)設(shè)分別為在區(qū)間的極值點和零點.（i）設(shè)函數(shù)·證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（ii）比較與的大小，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見解析；(2)（i）證明見解析；（ii），證明見解析.【分析】（1）先由題意求得，接著構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值情況，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，進而得證函數(shù)在區(qū)間上存在唯一極值點；再結(jié)合和時的正負情況即可得證在區(qū)間上存在唯一零點；（2）（i）由（1）和結(jié)合（1）中所得導函數(shù)計算得到，再結(jié)合得即可得證；（ii）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減得到，再結(jié)合，和函數(shù)的單調(diào)性以以及函數(shù)值的情況即可得證.【詳解】（1）由題得，因為，所以，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，令，所以當時，，則；當時，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上存在唯一極值點，對函數(shù)有在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，又因為，時，所以時，所以存在唯一使得，即在上存在唯一零點.（2）（i）由（1）知，則，，則，因為，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（ii），證明如下：由（i）知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以即，又，由（1）可知在上單調(diào)遞減，，且對任意，所以.22.(2025·北京)函數(shù)的定義域為，為處的切線．（1）的最大值；（2）證明：當時，除點A外，曲線均在上方；（3）若時，直線過A且與垂直，，分別于x軸的交點為與，求的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值；（2）求出直線的方程，再構(gòu)造函數(shù)，只需證明其最小值（或者下確界）大于零即可；（3）求出直線的方程，即可由題意得到的表示，從而用字母表示出，從而求出范圍.【小問1詳解】設(shè)，，由可得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以的最大值為.【小問2詳解】因為，所以直線的方程為，即，設(shè)，，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，而，所以，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且，而當時，，所以總有，單調(diào)遞增故，從而命題得證；【小問3詳解】由可設(shè)，又，所以，即，因為直線的方程為，易知，所以直線的方程為,，.所以,由（1）知,當時，，所以,所以.23．(2025·上海)已知．(1)若，求不等式的解集；(2)若函數(shù)滿足在上存在極大值，求m的取值范圍；【答案】(1)(2)且.【分析】（1）先求出，從而原不等式即為，構(gòu)建新函數(shù)，由該函數(shù)為增函數(shù)可求不等式的解；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，就分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為，故，故，故，故即為，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而即為，故，故原不等式的解為.（2）在有極大值即為有極大值點.，若，則時，，時，，故為的極小值點，無極大值點，故舍；若即，則時，，時，，故為的極大值點，符合題設(shè)要求；若，則時，，無極值點，舍；若即，則時，，時，，故為的極大值點，符合題設(shè)要求；綜上，且.24．(2025·上海)已知函數(shù)的定義域為．對于正實數(shù)a，定義集合．(1)若，判斷是否是中的元素，請說明理由；(2)若，求a的取值范圍；(3)若是偶函數(shù)，當時，，且對任意，均有．寫出，解析式，并證明：對任意實數(shù)c，函數(shù)在上至多有9個零點．【答案】(1)不是；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）直接代入計算和即可；（2）法一：轉(zhuǎn)化為在實數(shù)使得，分析得，再計算得，最后根據(jù)的范圍即可得到答案；法二：畫出函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為直線與該函數(shù)有兩個交點，將用表示，最后利用二次函數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；（3）利用函數(shù)奇偶性和集合新定義即可求出時解析式，再分析出，最后對的范圍進行分類討論即可.【詳解】（1）（1），，則不是中的元素.（2）法一：因為，則存在實數(shù)使得，且，當時，，其在上嚴格單調(diào)遞增，當時，，其在上也嚴格單調(diào)遞增，則，則，令，解得，則，則.法二：作出該函數(shù)圖象，則由題意知直線與該函數(shù)有兩個交點，由圖知，假設(shè)交點分別為，，聯(lián)立方程組得（3）對任意，因為其是偶函數(shù)，則，而，所以，所以，因為，則，所以，所以，所以當時，，，則，，則，而，，則，則，所以當時，，而為偶函數(shù)，畫出函數(shù)圖象如下：其中，但其對應的值