空間向量與立體幾何單選題1．(2025·天津)若m為直線，為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)線面平行的定義可判斷A的正誤，根據(jù)空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷BCD的正誤.【詳解】對(duì)于A，若，則可平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩條平行線有一條垂直于一個(gè)平面，則另一個(gè)必定垂直這個(gè)平面，現(xiàn)，故，故C正確；對(duì)于D，，則與可平行或相交或，故D錯(cuò)誤；故選：C.多選題2．(2025·全國一卷)在正三棱柱中，D為BC中點(diǎn)，則（

）A． B．平面C．平面 D．【答案】BC【分析】法一：對(duì)于A，利用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算即可判斷；對(duì)于B，利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可判斷；對(duì)于C，利用線面平行的判定定理即可判斷；對(duì)于D，利用反證法即可判斷；法二：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】法一：對(duì)于A，在正三棱柱中，平面，又平面，則，則，因?yàn)槭钦切危瑸橹悬c(diǎn)，則，則又，所以，則不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樵谡庵?，平面，又平面，則，因?yàn)槭钦切?，為中點(diǎn)，則，又平面，所以平面，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)樵谡庵?，又平面平面，所以平面，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵谡庵?，，假設(shè)，則，這與矛盾，所以不成立，故D錯(cuò)誤；故選：BC.法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正三棱柱的底邊為，高為，則，對(duì)于A，，則，則不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于BC，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，則平面，平面，故BC正確；對(duì)于D，，則，顯然不成立，故D錯(cuò)誤；故選：BC.填空題3．(2025·上海)如圖，在正四棱柱中，，則該正四棱柱的體積為．【答案】【分析】求出側(cè)棱長和底面邊長后可求體積.【詳解】因?yàn)榍宜倪呅螢檎叫危?，而，故，故，故所求體積為，故答案為：.4．(2025·全國二卷)一個(gè)底面半徑為，高為的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)有兩個(gè)半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)圓柱與球的性質(zhì)以及球的體積公式可求出球的半徑；【詳解】圓柱的底面半徑為，設(shè)鐵球的半徑為r，且，由圓柱與球的性質(zhì)知，即，，故答案為：(2025·北京)某科技興趣小組通過3D打印機(jī)的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個(gè)平行多邊形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，若，則該多面體的體積為________．【答案】【解析】【分析】如圖，將一半的幾何體分割成直三棱柱和四棱錐后結(jié)合體積公式可求幾何體的體積.【詳解】先證明一個(gè)結(jié)論：如果平面平面，平面平面，平面，則.證明：設(shè)，，在平面取一點(diǎn)，，在平面內(nèi)過作直線，使得，作直線，使得，因?yàn)槠矫嫫矫?，，故，而，故，同理，而，?下面回歸問題.連接，因?yàn)榍?，故，同理，，而，故直角梯形與直角梯形全等，故，在直角梯形中，過作，垂足為，則四邊形為矩形，且為以為直角的等腰直角三角形，故，平面平面，平面平面，,平面，故平面，取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，則，同理可證平面，而平面，故平面平面，同理平面平面，而平面平面，故平面，故，故四邊形為平行四邊形，故.在平面中過作，交于，連接.則四邊形為平行四邊形，且，故，故四邊形為平行四邊形，而平面，故平面，故平面平面，而，故，故幾何體為直棱柱，而，故,因?yàn)椋势矫?，而平面，故平面平面，在平面中過作，垂足，同理可證平面，而，故，故，由對(duì)稱性可得幾何體的體積為，故答案為：.解答題6．(2025·全國二卷)如圖，在四邊形中，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，，，將四邊形沿翻折至四邊形，使得面與面EFCB所成的二面角為．(1)證明:平面；(2)求面與面所成的二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先應(yīng)用線面平行判定定理得出平面及平面，再應(yīng)用面面平行判定定理得出平面平面，進(jìn)而得出線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知條件將點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，然后將平面及平面的法向量求出來，利用兩個(gè)法向量的數(shù)量積公式可將兩平面的夾角余弦值求出來，進(jìn)而可求得其正弦值.【詳解】（1）設(shè)，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以是平行四邊形，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．?）因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，以為原點(diǎn)，以及垂直于平面的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，平面與平面所成二面角為60°，所以.則，，，，，.所以.設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，則.設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，所以.所以.所以平面與平面夾角的正弦值為.7．(2025·全國一卷)如圖所示的四棱錐中，平面，．(1)證明：平面平面；(2)，，，，在同一個(gè)球面上，設(shè)該球面的球心為．（i）證明：在平面上；（ⅱ）求直線與直線所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）通過證明，，得出平面，即可證明面面垂直；（2）（i）法一：建立空間直角坐標(biāo)系并表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)在同一球面上，在平面中，得出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)在空間中的坐標(biāo)，計(jì)算出，即可證明結(jié)論；法二：作出的邊和的垂直平分線，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距離相等，得出外心即為，，，所在球的球心，即可證明結(jié)論；（ii）法一：寫出直線和的方向向量，即可求出余弦值.法二：求出的長，過點(diǎn)作的平行線，交的延長線為，連接，，利用勾股定理求出的長，進(jìn)而得出的長，在中由余弦定理求出，即可求出直線與直線所成角的余弦值.【詳解】（1）由題意證明如下，在四棱錐中，⊥平面，，平面，平面，∴，，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）（i）由題意及（1）證明如下，法一：在四棱錐中，，，，∥，，，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，∴，若，，，在同一個(gè)球面上，則，在平面中，，∴線段中點(diǎn)坐標(biāo)，直線的斜率：，直線的垂直平分線斜率：，∴直線的方程：，即，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴在立體幾何中，，∵，解得：，∴點(diǎn)在平面上.法二：∵，，，在同一個(gè)球面上，∴球心到四個(gè)點(diǎn)的距離相等在中，到三角形三點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是該三角形的外心，作出和的垂直平分線，如下圖所示，由幾何知識(shí)得，，，，∴，∴點(diǎn)是的外心，在Rt中，，，由勾股定理得，∴，∴點(diǎn)即為點(diǎn)，，，所在球的球心，此時(shí)點(diǎn)在線段上，平面，∴點(diǎn)在平面上.（ii）由題意，（1）（2）（ii）及圖得，，設(shè)直線與直線所成角為，∴.法2：由幾何知識(shí)得，，，∥，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，過點(diǎn)作的平行線，交的延長線為，連接，，則，直線與直線所成角即為中或其補(bǔ)角.∵平面，平面，，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，在Rt中，，由勾股定理得，，在中，由余弦定理得，，即：解得：∴直線與直線所成角的余弦值為：.8.(2025·北京)四棱錐中，與為等腰直角三角形，，E為BC的中點(diǎn)．（1）F為的中點(diǎn)，G為PE的中點(diǎn)，證明：面PAB；（2）若面ABCD，，求AB與面PCD所成角的正弦值．【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN，只需證明即可；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線AB的方向向量與面PCD的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN，與為等腰直角三角形不妨設(shè)，E、F分別為BC、PD的中點(diǎn)，，，，，∴四邊形FGMN為平行四邊形，，面PAB，面PAB，面PAB；【小問2詳解】面ABCD，以A為原點(diǎn)，AC、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則設(shè)面PCD的一個(gè)法向量為取設(shè)AB與面PCD成的角為則即AB與平面PCD成角的正弦值為.9．(2025·上海)如圖，P是圓錐的頂點(diǎn)，O是底面圓心，AB是底面直徑，且．(1)若直線PA與圓錐底面的所成角為，求圓錐的側(cè)面積；(2)已知Q是母線PA的中點(diǎn)，點(diǎn)C、D在底面圓周上，且弧AC的長為，．設(shè)點(diǎn)M在線段OC上，證明：直線平面PBD．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由線面角先算出母線長，然后根據(jù)側(cè)面積公式求解.（2）證明平面平面，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得.【詳解】（1）由題知，，即軸截面是等邊三角形，故，底面周長為，則側(cè)面積為：;（2）由題知，則根據(jù)中位線性質(zhì)，，又平面，平面，則平面由于，底面圓半徑是，則，又，則，又，則為等邊三角形，則，于是且，則四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面.又平面，根據(jù)面面平行的判定，于是平面平面，又，則平面，則平面

10．(2025·天津)正方體的棱長為4，分別為中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）法一、利用正方形的性質(zhì)先證明，再結(jié)合正方體的性質(zhì)得出平面，利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理證明即可；法二、建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線面垂直即可；（2）利用空間向量計(jì)算面面夾角即可；（3）利用空間向量計(jì)算點(diǎn)面距離，再利用錐體的體積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）法一、在正方形中，由條件易知，所以，則，故，即，在正方體中，