云南省專升本2025年數(shù)學與應用數(shù)學考試概率論重點測試試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)事件A與B互斥，且P(A)>0,P(B)>0，則下列結(jié)論中正確的是（）。（A）A與B獨立（B）A與B互為對立事件（C）A與B不可能獨立（D）P(A|B)=P(A)2.已知隨機變量X的分布律為P(X=k)=C*(1/2)^k，k=1,2,3,4，則常數(shù)C等于（）。（A）15/16（B）1/15（C）16/15（D）1/83.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)={aexp(-x),x>0;0,x≤0}，則常數(shù)a等于（）。（A）1（B）e（C）1/e（D）-14.設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且X~N(μ1,σ1^2)，Y~N(μ2,σ2^2)，則隨機變量Z=X+Y的分布是（）。（A）N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)（B）N(μ1+μ2,σ1σ2)（C）N(μ1,σ1^2+σ2^2)（D）N(μ1μ2,σ1^2σ2^2)5.設(shè)隨機變量X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=0，則下列結(jié)論中不一定正確的是（）。（A）X與Y獨立（B）E(XY)=E(X)E(Y)（C）X與Y不相關(guān)（D）D(X+Y)=D(X)+D(Y)二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。6.從標號為1,2,3,4,5的五個球中任取三個，則取到的三個球中包含標號為1的球的概率為_________。7.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x≤0;(1-x)e^x+1,x>0}，則P(X≤1)=_________。8.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)={1/2,-1<x<1;0,其他}，則Y=X^2的密度函數(shù)f_Y(y)=_________。9.設(shè)隨機變量X與Y的期望分別為E(X)=2,E(Y)=3，方差分別為D(X)=1,D(Y)=4，且Cov(X,Y)=1，則E(3X-2Y+5)=_________。10.設(shè)隨機變量X~N(0,1)，Y=X^2，則X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)=_________。三、計算題：本大題共4小題，共50分。11.（本小題滿分12分）袋中有5個紅球和3個白球，現(xiàn)從中不放回地依次取出3個球。求：（1）取出的3個球中恰好包含2個紅球的概率；（2）在已知取出的3個球中至少有1個紅球的條件下，恰好包含2個紅球的概率。12.（本小題滿分12分）設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)={kx,0<x<2;0,其他}。（1）求常數(shù)k的值；（2）計算P(0.5<X<1.5)。13.（本小題滿分13分）設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律如下表所示（表中P(X=m,Y=n)表示X取值m，Y取值n的概率）：Y\X01200.10.2c10.3a0.1（1）求a,c的值；（2）求隨機變量X的邊緣分布律；（3）判斷X與Y是否獨立。14.（本小題滿分13分）設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且X~N(1,4)，Y~N(0,9)。（1）求隨機變量Z=2X-3Y+5的期望E(Z)和方差D(Z)；（2）若E[g(X,Y)]=E(X^2)+2E(Y^2)，求E(X^2)和E(Y^2)的值。---試卷答案一、單項選擇題：1.C2.A3.C4.A5.A二、填空題：6.2/57.1-1/e8.{1/(2√y),0<y<1;0,其他}9.110.0三、計算題：11.（1）解：設(shè)A=“取出的3個球中恰好包含2個紅球”。方法一：利用古典概型。樣本空間Ω中基本事件總數(shù)為C(8,3)。事件A包含的基本事件數(shù)為C(5,2)C(3,1)。故P(A)=C(5,2)C(3,1)/C(8,3)=(10*3)/56=30/56=15/28。方法二：利用組合。從8個球中先選出2個紅球，再選出1個白球，概率為P(選2紅1白)=C(5,2)C(3,1)/C(8,3)=15/28。（2）解：設(shè)B=“取出的3個球中至少有1個紅球”，C=“取出的3個球中恰好包含2個紅球”。則C?B，P(C|B)=P(C∩B)/P(B)=P(C)/P(B)。P(B)=1-P(取到全是白球)=1-C(3,3)/C(8,3)=1-1/56=55/56。P(C)已求出為15/28。故P(C|B)=(15/28)/(55/56)=(15/28)*(56/55)=15*2/(28*55)=30/1540=15/770=3/154=15/280=3/56。12.（1）解：由密度函數(shù)性質(zhì)∫_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1，得∫_0^2kxdx=1。計算∫_0^2kxdx=k*[x^2/2]_0^2=k*(4/2-0)=2k。故2k=1，解得k=1/2。經(jīng)檢驗k=1/2符合要求。（2）解：P(0.5<X<1.5)=∫_{0.5}^{1.5}f(x)dx=∫_{0.5}^{1.5}(1/2)xdx=(1/2)*[x^2/2]_{0.5}^{1.5}=(1/4)*[(1.5)^2-(0.5)^2]=(1/4)*[2.25-0.25]=(1/4)*2=0.5。13.（1）解：由聯(lián)合分布律性質(zhì)：所有p(x,y)之和為1，即0.1+0.2+c+0.3+a+0.1=1，得c+a=0.4。邊緣分布律性質(zhì)：X邊緣分布p_X(0)=0.1+0.3=0.4；p_X(1)=0.2+a；p_X(2)=c+0.1。p_X(0)+p_X(1)+p_X(2)=0.4+(0.2+a)+(c+0.1)=1，即a+c+0.7=1，得a+c=0.3。聯(lián)立c+a=0.4和a+c=0.3，發(fā)現(xiàn)矛盾。說明表中數(shù)據(jù)有誤或題設(shè)不完整。若按常見題設(shè)意圖，可能需修正表格或題設(shè)。若假設(shè)c+a=0.4成立，則無唯一解。（注：此題數(shù)據(jù)可能存在問題，按標準題應有唯一解）（2）解：（假設(shè)問題(1)有解，例如a=0.1,c=0.3）X的邊緣分布律為：p_X(0)=0.4；p_X(1)=0.2+0.1=0.3；p_X(2)=0.3+0.1=0.4。Y的邊緣分布律為：p_Y(0)=0.1+0.2+0.3=0.6；p_Y(1)=0.2+0.3+0.1=0.6。判斷獨立性需驗證p_X(x)p_Y(y)=p_X,Y(x,y)是否對所有x,y成立。例如，取x=1,y=1：p_X(1)=0.3,p_Y(1)=0.6,p_X(1)p_Y(1)=0.3*0.6=0.18。p_X,Y(1,1)=0.1。顯然p_X(1)p_Y(1)≠p_X,Y(1,1)。故X與Y不獨立。（3）（基于上述獨立性判斷結(jié)果）X與Y不獨立。14.（1）解：E(Z)=E(2X-3Y+5)=2E(X)-3E(Y)+5=2*1-3*0+5=2+5=7。D(Z)=D(2X-3Y+5)=4D(X)+9D(Y)+0(因X,Y獨立，線性組合的方差性質(zhì))=4*4+9*9=16+81=9