江蘇省南京市秦淮區(qū)2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬一、選擇題：本題共8小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列方程中，是一元二次方程的是(

)A.x-2=0 B.2x-1=12.已知⊙O的半徑為3cm，圓心O到直線l的距離為2cm，則l與⊙OA.0 B.1 C.2 D.33.已知方程2x2+5x-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根m，n，則下列方程中，兩個(gè)根分別是-A.2x2+5x-2=0 B.24.已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的平均數(shù)是x1-，方差是s12，另一組數(shù)據(jù)2，3，4，5，6的平均數(shù)是x2-A.x1-=x2-，s12=s22 B.x5.如圖，在⊙O中，AB，BC是弦，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，連接OA，OC，若OC/?/AB，∠CBD-∠OAD=6°，A.62° B.118° C.122° D.124°6.如圖，AB是半圓O的直徑，弦EF/?/AB，點(diǎn)C在OA上(不與點(diǎn)O，A重合)，點(diǎn)D在AE上，連接CD，DE，CF，且∠ACD=∠BCF，若AB=a，CD=bA.a2-b2+c2 B.7.如圖，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，若該四邊形的周長(zhǎng)是24，面積是36，則⊙O的半徑是(

)

A.1.5 B.3 C.4 D.68.如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，連接AD，EH，AE，DH，AE與DH交于點(diǎn)O.下列結(jié)論：①BC2+EH2=AE2A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④二、填空題：本題共10小題，共24分。9.一組數(shù)據(jù)3，5，8，-1的極差是______．10.某校九年級(jí)甲班40名學(xué)生中，5人13歲，30人14歲，5人15歲．則這個(gè)班級(jí)學(xué)生的平均年齡是______．11.超市決定招聘一名廣告策劃人員，某應(yīng)聘者三項(xiàng)素質(zhì)測(cè)試的成績(jī)?nèi)绫恚簻y(cè)試項(xiàng)目創(chuàng)新能力綜合知識(shí)語(yǔ)言表達(dá)測(cè)試成績(jī)/分727090創(chuàng)新能力、綜合知識(shí)和語(yǔ)言表達(dá)三項(xiàng)成績(jī)按5：3：2的比例計(jì)入總成績(jī)，則該應(yīng)聘者的總成績(jī)是______分．12.如圖，A，B，C是⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，若AB為100°，AC/?/OB，則∠A的度數(shù)為_(kāi)_____13.如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，隨機(jī)向該圓形區(qū)域投擲飛鏢1次，假設(shè)飛鏢投中圓形區(qū)域中的每一點(diǎn)是等可能的(若投中邊界或沒(méi)有投中，則重投1次)，則飛鏢恰好投中在正方形區(qū)域內(nèi)的概率是______．14.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在優(yōu)弧CAB上，連接EC，EB，若∠ADC=115°，則∠BEC的度數(shù)為15.如圖，矩形ABCDAB>BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形EFCG，P是線段DF上一點(diǎn)，若?APE為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是

16.如圖，以正方形ABCD的頂點(diǎn)C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)BmD?，再以邊CD為直徑畫(huà)CnD?，則BmD?的長(zhǎng)

CnD?的長(zhǎng)．(填“>”“<”或“=”)17.如圖，在AB為直徑的半圓中，DE=BC，∠CAB=30°，則弦DE，AC與半圓圍成的陰影部分的面積與半圓面積的比值等于18.如圖，⊙O的半徑為5，OP=1，若將⊙O沿某條弦所在的直線翻折，翻折后的弧恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則這條弦的長(zhǎng)度a的范圍是

．

三、解答題：本題共10小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。19.(本小題10分)

解方程：

(1)x2-3x+2=020.(本小題6分)

如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A(0,4)，B(-4,4)，C(-6,2)，該圓弧所在圓的圓心為P．

(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____，⊙P的半徑為_(kāi)_____．

(2)若扇形PAC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的底面圓的半徑為21.(本小題8分)

已知y1=x2-4，y2=2-x，求當(dāng)22.(本小題8分)

如圖是南京市2023年2024年8月上旬日最高氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖.閱讀統(tǒng)計(jì)圖并回答以下問(wèn)題．

(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息，填寫(xiě)下表：

南京市2023年、2024年8月上甸日最高氣溫的統(tǒng)計(jì)表年份平均數(shù)/℃中位數(shù)/℃眾數(shù)/℃方差/202333.634______1.44202439.1______391.09(2)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表中的信息，從兩個(gè)不同的角度比較南京市2023年、2024年8月上旬的日最高氣溫．23.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程2x2-(3k-1)x+k2-2=0(k為常數(shù))．

(1)求證：無(wú)論k24.(本小題8分)

如圖，AB是⊙O的直徑，C為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD與⊙O相切于點(diǎn)E，連接OD，與⊙O交于點(diǎn)F，連接AE，且∠A=∠D．

(1)求證：點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)；

(2)若∠A=∠C25.(本小題8分)

某商店銷售一批數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)用具，零售價(jià)每件240元．如果一次購(gòu)買超過(guò)10件，那么每多購(gòu)1件，購(gòu)買的所有實(shí)驗(yàn)用具的單價(jià)均降低6元，但單價(jià)不能低于150元．小明和幾位同學(xué)購(gòu)買這種實(shí)驗(yàn)用具支付了3600元，他們共買了多少件？26.(本小題8分)某同學(xué)在證明命題“在同一個(gè)圓中，兩條平行的弦所夾的弧相等”時(shí)，畫(huà)出了下圖，并寫(xiě)出了如下證明過(guò)程：已知：如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB//CD.求證AC?=BD?.證明：如圖，連接OA，OB，OC，OD，過(guò)點(diǎn)O作EF/?/AB，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn).?∵AB//CD，∴(1)數(shù)學(xué)老師認(rèn)為該證法有問(wèn)題，請(qǐng)指出問(wèn)題；(2)完善該命題的證明．27.(本小題8分)類比是探索發(fā)現(xiàn)的重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論的重要方法．學(xué)習(xí)再現(xiàn)：設(shè)一元二次方程x2+px+q那么x2比較系數(shù)得x1+x2(1)類比推廣：設(shè)x3+px2+qx+r=0(2)問(wèn)題解決：若x3-5x2-12x-3=0的三個(gè)根分別為(3)拓展提升：已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+28.(本小題8分)尺規(guī)作圖已知線段AB和⊙O，將線段AB沿某條直線翻折后，A、B兩點(diǎn)恰好落在⊙O上，請(qǐng)按照下列要求分別作出翻折后的線段A'B'.(①

(1)如圖1，AB的長(zhǎng)度等于⊙O(2)如圖2，AB的長(zhǎng)度小于⊙O的直徑．1.【答案】D

【解析】解：A、未知數(shù)的次數(shù)是1，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、不是整式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、符合一元二次方程的定義，是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D．

一元二次方程必須滿足三個(gè)條件：(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(2)二次項(xiàng)系數(shù)不為0；(3)是整式方程；由此判斷即可．

本題考查了一元二次方程的定義，只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+2.【答案】C

【解析】解：∵⊙O的半徑為3cm，圓心O到直線l的距離為2cm，且2cm<3cm，

∴圓心O到直線l的距離小于⊙O的半徑，

∴直線l與⊙O相交，

∴直線l與⊙O有兩個(gè)交點(diǎn)，

故選：C．

由2cm<3cm，可知圓心O到直線l的距離小于⊙O的半徑，所以直線l與⊙O相交，則直線l與3.【答案】D

【解析】解：∵方程2x2+5x-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根m，n，

∴m+n=-52，mn=-1，

∴-m-n=52，(-m)(-n)=mn=-1，4.【答案】B

【解析】解：∵x1-=1+2+3+4+55=3，

x2-=2+3+4+5+65=4，

s12=15.【答案】D

【解析】解：如圖，在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)P，連接PA，PC，

∵四邊形ABCP內(nèi)接于⊙O，

∴∠CPA=∠CBD，

∴∠AOC=2∠CPA=2∠CBD，

∴∠CBD=12∠AOC，

∵OC/?/AB，

∴∠AOC+∠OAD=180°，

∵∠CBD-∠6.【答案】D

【解析】解：補(bǔ)全⊙O下部半圓如圖所示，連接AD，BD，

∵弦EF/?/AB，

∴AE=BF．

延長(zhǎng)DC交⊙O于點(diǎn)G，

∴∠ACD=∠BCG，

又∵∠ACD=∠BCF，

∴∠BCG=∠BCF．

由圓的對(duì)稱性可知，BF=BG，CF=CG=c，

∴AE=BG，

∴∠AOE=∠BOG，

∵點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)共線，

∴點(diǎn)E、O、G三點(diǎn)必共線，

即EG為直徑，EG=AB=a，

7.【答案】B

【解析】此題主要考查了三角形面積以及切線的性質(zhì)，正確將四邊形分割成三角形是解題關(guān)鍵．利用切線的性質(zhì)進(jìn)而利用三角形面積求法得出⊙O【詳解】解：⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，設(shè)切點(diǎn)分別為：F，G，M，E連接FO，OA，OG，OC，OM，OB，OE，OD，⊙O的半徑為r

∴FO=OG=∴四邊形ABCD的面積====36，解得：r=3故⊙O的半徑為3故選：B．8.【答案】C

【解析】設(shè)正八邊形的中心為點(diǎn)O'，連接O'H、O'G、O'F、O'E、O'D、HF、EG，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥DH于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AD于點(diǎn)N，設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為a，AD=b，根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得∠AHG=∠HGF=∠EFG=∠FED=∠EDC=∠DCB=∠CBA=∠BAH=135°，∠HO'G=∠GO'F=∠FO'E=∠EO'D=45°，點(diǎn)D【詳解】解：設(shè)正八邊形的中心為點(diǎn)O'，連接O'H、O'G、O'F、O'E、O'D、HF、EG，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥DH∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，∴AB每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是：8-2×180°∴∠AHG∠HO∴∠HO∴點(diǎn)D、O'、H共線，且點(diǎn)O'是在?FGH和?GH∴?FGH∴FH在?EGH和?GE∴?EGH∴∠GHE在四邊形EFGH中，∠GHE按同樣的方法得∠BAD∴∠AHE在Rt?AEH中，∴BC2∵∠AHE∴四邊形ADEH是矩形，∴AO=EO，DO∴點(diǎn)O是AE、DH的中點(diǎn)，∴點(diǎn)O'與點(diǎn)O∴∠AOH∴∠AOD=180在Rt?ADH中，∴OA∵S∴AK∵AK∴∠OAK∴AK∴AO∴解得：ba=∵∠AOH=45∴∠OHA∴∠ADH∴∠ADH∴a∴b∴b∴ADAH=∵S∴S∵∠ABC∴BC∵BC∴四邊形ABCD是等腰梯形，∵BN∴∠ABN∴AN∴AB∴BN∴4S∵b∴a∴a∴4S∴S八邊形ABCDEFGH∴正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．故選：C．9.【答案】9

【解析】解：數(shù)據(jù)3，5，8，-1的極差是8-(-1)=9．

故答案為：9．

根據(jù)極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差計(jì)算即可．

本題考查了極差，解題的關(guān)鍵是掌握極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差，即極差=最大值-10.【答案】14

【解析】解：根據(jù)題意得：

13×5+14×30+15×540=14(歲)，

答：這個(gè)班級(jí)學(xué)生的平均年齡是14歲；

故答案為：14．

根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法是求出該班所有人數(shù)的總歲數(shù)，然后除以總學(xué)生數(shù)即可．

此題考查了加權(quán)平均數(shù)，本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是求13，14，11.【答案】75

【解析】解：該應(yīng)聘者的總成績(jī)是：72×510+70×310+90×210=75(分)．

故答案為：75．

根據(jù)該應(yīng)聘者的總成績(jī)=創(chuàng)新能力×所占的比值+12.【答案】40

【解析】解：如圖，連接OA．

設(shè)∠A=x°，則∠BOC=2∠A=2x°，

∵AC/?/OB，

∴∠C=∠BOC=2x°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠C=2x°，

∴∠AOC=180°-∠C-∠OAC=180°-2x°-2x°=180°-4x°，

∵AB為100°，

∴∠AOB=∠13.【答案】2π【解析】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則圓的半徑為2a，

所以正方形的面積為4a2，圓的面積為2πa2，

所以飛鏢恰好投中在正方形區(qū)域內(nèi)的概率是：4a22πa2=2π．

14.【答案】25

【解析】解：連接AC，

∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠ADC=115°，

∴∠ABC=180°-115°=65°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB=90°-∠ABC=90°-65°=25°，

∴∠BEC=∠CAB=25°．

15.【答案】3

【解析】本題主要考查判斷直角三角形的個(gè)數(shù)，分∠APE=90【詳解】解：以AE為直徑畫(huà)圓，與DF有兩個(gè)交點(diǎn)，可得兩個(gè)直角三角形；以點(diǎn)Ａ為直角頂點(diǎn)可作一個(gè)直角三角形，如圖，所以，若?APE為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是2+1=3故答案為：3．16.【答案】=

【解析】本題考查了正方形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握正方形的性質(zhì)及弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BC=CD，∠BCD=90【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD設(shè)BC=∴l(xiāng)∵CD∴l(xiāng)∴弧BmD的長(zhǎng)=弧CnD的長(zhǎng)，故答案為：=．17.【答案】13【解析】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，如圖，連接OD、OE、BC，分別用S扇形【詳解】如圖，連接OD、OE、BC，∵AB∴∠ACB∵∠CAB∴∠ABC∵OB∴?OBC∴∠BOC∴∠AOC∵DE∴∠DOE設(shè)圓的半徑為r，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AB于點(diǎn)∴S扇形DOE=S∴CF∴S∴S陰影=∴S故答案為：1318.【答案】8≤a【解析】本題考查了垂徑定理，勾股定理．由垂徑定理知，當(dāng)弦AB垂直平分CP時(shí)，弦AB最短，當(dāng)弦AB垂直平分DE時(shí)，弦AB最長(zhǎng)，利用垂徑定理和勾股定理計(jì)算即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作⊙O的直徑CE，由垂徑定理知，當(dāng)弦AB垂直平分CP時(shí)，弦AB最短，當(dāng)弦AB垂直平分DE時(shí)，弦AB如圖，連接OA，∵⊙O的半徑為5，OP∴CD∴OD在Rt?OAD中，∴a如圖，連接OA，∵⊙O的半徑為5，OP∴ED∴OD在Rt?OAD中，∴a∴這條弦的長(zhǎng)度a的范圍是8≤a故答案為：8≤a19.【答案】解：(1)x2-3x+2=0，

(x-1)(x-2)=0，

∴x-1=0或x-2=0，

∴x1=1，x2=2【解析】(1)用因式分解法求解即可；

(2)用因式分解法求解即可．

本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握各種解法是解題的關(guān)鍵．20.【答案】(-2,0)

25

【解析】解：(1)如圖，依據(jù)網(wǎng)格，作AB，BC的中垂線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0)，

PA=OA2+OP2=25，

即⊙P的半徑為25，

故答案為：(-2,0)，25；

(2)如圖，易證△AOP≌△PDC(SAS)，

∴∠OAP=∠DPC，

∴∠OAP+∠OPA=90°，

∴∠DPC+∠OPA=90°，

∴∠21.【答案】解：∵y1與y2互為相反數(shù)，y1=x2-4，y2=2-x，

∴x2-4+2-x=0，

整理得，x2-【解析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)得出x2-4+2-x=022.【答案】32或34或35，39；

見(jiàn)解析．

【解析】解：(1)2023年8月上旬日最高氣溫出現(xiàn)次數(shù)最多的是32，34，35，故眾數(shù)為32或34或35；

2024年8月上旬日最高氣溫從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是39和39，故中位數(shù)為39+392=39；

故答案為：32或34或35，39；

(2)從平均數(shù)來(lái)看，2024年8月上旬日最高氣溫的平均值更高，

從方差來(lái)看，2024年8月上旬日最高氣溫方差小，溫度變化較穩(wěn)定．(答案不唯一)．

(1)分別根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義解答即可；

(2)根據(jù)平均數(shù)、方差等統(tǒng)計(jì)量解答即可．23.【答案】(1)證明：Δ=[-(3k-1)]2-4×2×(k2-2)

=9k2-6k+1-8k2+16

=k2-6k+17

=k2-6k+9+8

=(k-3)2+8．

∵(k-3)2≥0，

∴(k-3)2【解析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式Δ=b2-4ac，可得出Δ=(k-3)2+8，由偶次方的非負(fù)性，可得出(k-3)2≥0，進(jìn)而可得出(k-3)2+8>0，即Δ>0，由此即可證出無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出24.【答案】見(jiàn)解析；

93【解析】(1)證明：連接OE，

∵CD與⊙O相切于點(diǎn)E，

∴∠OED=90°，

∴∠D+∠DOE=90°，

∵OE=OA，

∴∠A=∠AEO，

∴∠D=∠AEO，

∴AEO+∴DOE=90°，

∴AE⊥OD，

∴AF=EF，

∴F是AE的中點(diǎn)；

(2)解：∵∠A=∠C，∠A=∠D，

∴∠C=∠D，

∴OC=OD，

∵OE⊥CD，

∴∠COE=∠DOE，

由(1)知，AF=EF，

∴∠AOF=∠DOE，25.【答案】解：設(shè)小明和幾位同學(xué)共買了x件，∵240×10=2400(元)，2400<3600，∴x∵240-150÷6=25，當(dāng)x≥25時(shí)，單價(jià)為150∴x根據(jù)題意得：[240-6(x整理得：x2解得：x1=20，當(dāng)x=20時(shí)，240-6(當(dāng)x=30時(shí)，240-6(答：他們共買了20件．

【解析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)小明和幾位同學(xué)共買了x件，根據(jù)小明和幾位同學(xué)購(gòu)買這種實(shí)驗(yàn)用具支付了3600元，列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．26.【答案】【小題1】解：這道題應(yīng)分兩種情況證明；【小題2】已知：如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB求證：AC?證明：分兩種情況：①如圖1，當(dāng)AB、CD在圓心O的同一側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)E，交⊙O∵OG∴AG∵AB∴OG∴CG∴CG∴AC②如圖2，當(dāng)AB、CD在圓心O的兩側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作HG⊥AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)G∴HG是⊙∴GAH∵HG∴AG∵AB∴HG∴CH∴GAH∴AC綜上所述，AC?

【解析】1.

本題考查圓