2025學年人教版九年級數(shù)學大單元教學分層優(yōu)化練2025-2026學年九年級數(shù)學上學期期中模擬卷（解析版）（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：人教版九年級上冊21—23章。6．難度系數(shù)：0.7。第Ⅰ卷選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一元二次方程化為一般形式為（??）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握平方差公式以及移項法則是解題的關鍵．先利用平方差公式展開方程左邊，再通過移項將方程化為一元二次方程的一般形式．【詳解】解：，，，故選：A．2．中國航天取得了舉世矚目的成就，為人類和平貢獻了中國智慧和中國力量，下列是有關中國航天的圖標，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．根據(jù)中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【詳解】解：選項A、B、C中的圖案都不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，選項D中的圖案能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，故選：D．3．將二次函數(shù)化為的形式，下列結果正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了將二次函數(shù)化為頂點式．配方后轉化即可．【詳解】，故選：D．4．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．且【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的定義，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么判別式大于0，即，再由一元二次方程的定義可得二次項系數(shù)不為0，即，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴且，故選：D．5．如圖所示，在中，，在同一平面內，將繞點逆時針旋轉到的位置，使，則度數(shù)為（

）A．70° B．40° C．50° D．80°【答案】B【分析】本題考查了旋轉的基本性質，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線的夾角為旋轉角、平行線的性質．旋轉中心為點，與，與分別是對應點，根據(jù)旋轉的性質可知，旋轉角，，再利用平行線的性質得，把問題轉化到等腰中，根據(jù)內角和定理求，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵是由旋轉得到的，∴，∴，，∴，在中，，∵，∴，即，∵，∴．故選：B．6．已知：二次函數(shù)的圖像如圖所示，經過點和，正確的是（）A． B．C．（m為任意實數(shù)） D．【答案】A【分析】本題考查圖像與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，能根據(jù)圖像特點得出各系數(shù)的正負及其相互關系是解題關鍵．由題意得出，結合判斷A選項；根據(jù)對稱軸判斷B選項；根據(jù)當時，有判斷C選項；根據(jù)即可判斷D選項．【詳解】解：∵二次函數(shù)經過點和．∴，∴，即，又∵，∴，因此選項A正確；∵對稱軸，∴，因此選項B不正確；當時，，當時，有，則（m為任意實數(shù)）錯誤，因此選項C不正確；∵，即，則，因此選項D不正確；故選：A．7．畢業(yè)將至，九（1）班全體學生互贈祝?？?，共贈祝?？?560張，問：九（1）班共有多少名學生？設九（1）班共有名學生，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，根據(jù)每個同學都要送其他名同學一張祝福卡，因此總贈送祝福卡數(shù)是張，再根據(jù)共贈祝福卡1560張列方程即可．【詳解】解：設九（1）班共有x名學生，由題意得：，故選：B．8．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一元二次方程的其中一個解的范圍是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了圖象法求一元二次方程的近似根，先估計出對稱軸右側圖象與x軸交點的橫坐標，再利用對稱軸，可以估算出左側交點橫坐標．【詳解】解：依題意得二次函數(shù)的拋物線開口向下，圖象的對稱軸為，而對稱軸右側圖象與x軸交點在0與1之間，即又∵對稱軸為，則拋物線與軸的另一個交點在與之間，即一元二次方程的其中一個解的范圍是，故選：B．9．已知點關于原點的對稱點在第二象限，則a的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查坐標與中心對稱，根據(jù)點所在的象限求參數(shù)的范圍，求不等式組的解集，根據(jù)關于原點對稱的點的橫縱坐標均互為相反數(shù)，以及第二象限的點的符號特征，列出不等式組進行求解即可．【詳解】解：∵點關于原點的對稱點為，且在第二象限，∴，解得：；故選B．10．中，，，則的最小值等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理，含角的直角三角形的性質，二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是靈活運用這些知識．過點作，交的延長線于點，根據(jù)題意可得，設，則，，由可得，進而得到，在中，根據(jù)勾股定理和二次函數(shù)的性質即可求解．【詳解】解：如圖，過點作，交的延長線于點，

，，在中，設，則，，又，，，在中，，即，當時，最小，此時，的最小值為，故選：C．第Ⅱ卷二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11．若是一元二次方程的根，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判斷求解即可．【詳解】解：∵是一元二次方程方程的根，∴，，，∴，故答案為：．12．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為．若拋物線(h，k為常數(shù))與線段交于C，D兩點，且，則k的值為．【答案】5【分析】本題考查二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答．根據(jù)題意，可以得到，設點C的坐標為，則點D的坐標為，得到h的值，然后將點C的坐標代入拋物線的解析式，即可得到k的值，本題得以解決．【詳解】解：∵點A的坐標為，點B的坐標為，∴．∵拋物線(h，k為常數(shù))與線段交于C，D兩點，且，，∴設點C的坐標為，則點D的坐標為，，∴拋物線為，把點代入，得，解得：．故答案為：5．13．如圖，在正方形方格中，陰影部分是5張小正方形紙片所形成的圖案，只移動其中一張紙片到其它空白方格，使得到的新圖案變成中心對稱圖形的移法有種．【答案】2【分析】本題考查了中心對稱圖形的概念：確定中心對稱圖形的關鍵是尋找對稱中心；根據(jù)中心對稱圖形的定義，在平面內，如果把一個圖形繞某點旋轉能夠與自身完全重合，再確定移動其中一個正方形即可．【詳解】解：如圖，∴新圖案變成中心對稱圖形的移法有種；故答案為：14．已知關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，滿足，則的值為．【答案】1【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系．對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數(shù)根，則，又因為滿足，所以代入并解方程，即可求出的值．【詳解】解：是方程的兩個實數(shù)根，．，，解得．檢驗：當時，方程為，，方程有兩個實數(shù)根，符合題意故答案為：1．15．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點．若點是二次函數(shù)在第四象限內圖象上的一點，作軸交于點，則的長的最大值是．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)最值，由求出，，再得出直線解析式為，設，則，則，最后利用二次函數(shù)的性質即可求解，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：由，令得，∴，令得或，∴，設直線直線解析式為，，解得：，∴直線解析式為，設，則，∴，∵，∴當時，取最大值，故答案為：．三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。16．（10分）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解一元二次方程，選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關鍵．（1）先移項，可得，可以通過配方法求出即可；（2）先整體移項，然后分解因式，即方程左邊可得出兩個一元一次方程相乘，求出方程的解即可．【詳解】（1）解：（2）解：或17．（8分）在平面直角坐標系xOy中，點在拋物線上．(1)如果，那么拋物線的對稱軸為直線；(2)如果點A、B在直線上，求拋物線的表達式和頂點坐標．【答案】(1)(2)，頂點【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合問題，掌握待定系數(shù)法是解題關鍵．（1）由題意知是拋物線上關于對稱軸對稱的兩點，據(jù)此即可求解；（2）由題意可得點的坐標，將其代入即可求出拋物線的解析式．【詳解】（1）解：若，則是拋物線上關于對稱軸對稱的兩點故拋物線的對稱軸為直線：，故答案為：（2）解：∵點在上，∴，.∴將代入得：∴

解得∴.

故頂點坐標為18．（8分）如圖，繞點按逆時針方向旋轉90°得到，且點的對應點恰好落在的延長線上，連接，交于點．(1)求的度數(shù)；(2)是延長線上一點，當時，判斷和的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】本題主要考查了旋轉的性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質和判定，（1）根據(jù)旋轉的性質及三角形內角和定理可得答案；（2）根據(jù)旋轉的性質可知，再結合已知條件說明，然后根據(jù)等角對等邊得出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉可得，∴．（2）解：．證明：由旋轉的性質可知，，，在中，，，，，即，．19．（8分）某商場將進貨價為30元的玩具以40元售出，1月份銷售400個，2月份和3月份這種玩具銷售量持續(xù)增加，在售價不變的基礎上，3月份的銷售量達到576個，設2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率不變．(1)求2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率；(2)從4月份起，在3月份銷售量的基礎上，商場決定降價促銷．經調查發(fā)現(xiàn)，售價在35元至40元范圍內，這種玩具的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個．若商場要想使4月份銷售這種玩具獲利4800元，則這種玩具應降價多少元？【答案】(1)2，3兩個月的銷售量月平均增長率為(2)這種玩具應降價2元【分析】本題考查了一元二次方程的應用，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）理解題意，設2，3兩個月的銷售量月平均增長率為x，根據(jù)設2，3兩個月的銷售量月平均增長率為x，進行列方程，再解方程，即可作答．（2）設這種玩具每個降價y元時，商場四月份銷售這種玩具獲利4800元，結合在35元至40元范圍內，這種玩具的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個，進行列方程，再解方程，即可作答．【詳解】（1）解：設2，3兩個月的銷售量月平均增長率為x，依題意，得：，解得：，(不符合題意，舍去)，答：2，3兩個月的銷售量月平均增長率為．（2）解：∵這種玩具的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個∴每降價1元，其銷售量增加12個設這種玩具每個降價y元時，商場四月份銷售這種玩具獲利4800元，依題意，得：，整理，得：，解得，(不符合題意，舍去)，答：這種玩具應降價2元．20．（8分）已知二次函數(shù)的解析式為：；(1)此拋物線的頂點坐標為；與x軸的兩個交點坐標為_________和_________(2)在上邊的坐標系中，畫出該拋物線；(3)根據(jù)圖像回答：①若函數(shù)上有點，若，則m的取值范圍是；②當時，求函數(shù)y的取值范圍．【答案】(1)；，(2)拋物線圖象見解析(3)①；②【分析】本題考查二次函數(shù)頂點式的圖象和性質；（1）頂點坐標為，再由可求出與x軸的兩個交點的橫坐標；（2）拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標為，由（1）知x軸的兩個交點，即可畫出拋物線圖象；（3）拋物線上的點，，即點P在x軸下方，觀察圖象即可知m的范圍；當時，由圖象可知y的取值范圍.【詳解】（1）解：頂點坐標為，令，即解得，∴拋物線與x軸的兩個交點坐標為，.故答案為：；，.（2）解：該拋物線如下圖所示：（3）解：∵拋物線上的點，，即點P在x軸下方∴從圖象上得出，∵當時，對稱軸是直線在的范圍之內，∴當時，當時，y的最小值為，為這段圖象的最低點∴當時，當，y的值為5，為這段圖象的最高點，但圖象不包括這個點∴∴當時，y的取值范圍為.故答案為：；.21．（8分）閱讀與思考：閱讀下面內容并完成任務．小明同學在解一元二次方程時，兩邊同時除以，得到，于是得到原方程根為；小華同學的解法是：將移到等號左邊，得到，提公因式，得即或，進而得到原方程的兩個根．(1)任務一：請對小明、小華同學的解法是否正確作出判斷；(2)任務二：若有不正確，請說明其理由；(3)任務三：直接寫出方程的根．【答案】(1)小明同學的解法錯誤；小華同學的解法正確(2)根據(jù)等式的性質可知小明的解法錯誤(3)【分析】（1）根據(jù)解題過程可判斷小明錯誤小華正確；（2）方程兩邊同除以一個數(shù)或者式子時，這個數(shù)或者式子一定不為零；（3）先提公因式后分解因式，即可得出三個一元一次方程，在求出方程的解．【詳解】（1）解：∵兩邊同除以或者乘以一個不為零的數(shù)，等式的值不變∴有可能等于零也有可能不等于零∴小明的解法錯誤，小華的解法正確．（2）解：∵當時，方程的兩邊都為零，方程不存在∴小明的解法錯誤（3）解：∵∴解得：，【點睛】本題考查了因式分解解一元二次方程的知識點，利用移項先把方程的右邊化為零，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值都有可能為零，最后得到了兩個一元一次方程的解，利用因式分解把原方程將次，將解一元二次方程轉化為解一元一次方程是解題的關鍵．22．（12分）綜合與實踐問題背景：如圖為一汽車停車棚及它的側面示意圖，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分．數(shù)據(jù)收集：車棚與支柱的交點到地面的距離為，棚頂?shù)淖罡唿c的豎直高度是，距離支柱的水平距離是，棚頂右端點距離支柱的水平距離是，車位的長為．已知棚頂?shù)倪吘壟c車位的邊緣平齊．問題解決：以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系．(1)求點到地面的距離．(2)若一輛貨車需在停車棚下避雨，貨車截面可看作長為，高為的矩形，為了安全，矩形上側頂點距離棚頂?shù)你U垂高度應不小于．試判斷該貨車能否完全停到車棚內，并說明理由．【答案】(1)點到地面的距離為(2)該貨車能完全停到車棚內，見解析【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求解析式，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）理解題意得點的坐標為，可設橫截面所在拋物線的表達式