機(jī)器人技術(shù)

第四章運(yùn)動(dòng)學(xué)4.1旋轉(zhuǎn)矩陣的定義當(dāng)我們控制一個(gè)機(jī)器人去執(zhí)行給定的一個(gè)任務(wù)時(shí)，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)應(yīng)該可以用數(shù)學(xué)的某些方式進(jìn)行描述。運(yùn)動(dòng)的表示包括機(jī)器人的手以及每一部分的運(yùn)動(dòng)和方向。為了代表方向，我們首先引進(jìn)“旋轉(zhuǎn)矩陣”R?，F(xiàn)在有兩個(gè)坐標(biāo)系Σ和ΣB（見(jiàn)圖1.1）。如圖1.2所示，ΣA代表一個(gè)基準(zhǔn)坐標(biāo)系。圖4.1坐標(biāo)系ΣA和ΣB圖4.2手的方向

旋轉(zhuǎn)矩陣的特殊式子如下：

例題4-2：請(qǐng)寫出執(zhí)行器手抓姿態(tài)從A到B變換時(shí)繞坐標(biāo)ZYZ轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉角？

附：請(qǐng)按坐標(biāo)規(guī)則建立坐標(biāo)系，寫出變換矩陣，比較有何不同？1.6.D-H參數(shù)法

為了表示機(jī)械手的任意位置，我們應(yīng)該它的每一個(gè)關(guān)節(jié)設(shè)置一個(gè)坐標(biāo)系。而設(shè)置坐標(biāo)系的方法有很多。最常用的方法之一是“D-H”法。本節(jié)介紹如何用此種方法去設(shè)置一個(gè)利用四個(gè)參數(shù)表示每一環(huán)節(jié)的坐標(biāo)系。圖1.6連桿坐標(biāo)系1.6.D-H參數(shù)法1）連桿坐標(biāo)系的建立

此處，Xi,Yi,Zi表示坐標(biāo)系Σi的坐標(biāo)軸，向量?xi,?yi,?zi位于坐標(biāo)系Σi的任意位置。其中(Xi,Yi,Zi)不但表示此坐標(biāo)系的原點(diǎn)，也表示每個(gè)坐標(biāo)軸的方向。下文中?a≡?b表示兩個(gè)向量的原點(diǎn)、長(zhǎng)度和方向都相同。關(guān)于建立連桿坐標(biāo)系的規(guī)定如下：（1）令起始環(huán)節(jié)為0，隨后依次給每一個(gè)環(huán)節(jié)賦值（手指末端為最后一個(gè)環(huán)節(jié)）（2）從基環(huán)節(jié)處起，按照1到n依次給每一個(gè)關(guān)節(jié)賦值。（3）Zi坐標(biāo)軸沿i關(guān)節(jié)的軸線方向（方向任意）（4）Xi?1軸選在沿Zi?1和Zi軸的公垂線，即軸Xi?1的正方向?yàn)閮蓚€(gè)向量的向量積，即?xi?1≡?zi?1×?zi。設(shè)置Σi?1坐標(biāo)系的原點(diǎn)在軸Xi?1和Zi?1的交叉點(diǎn)上。（5）Yi?1軸的定義遵循“右手定則”原理。（6）令軸?Z0≡?Z1，軸X0任意，大多數(shù)情況下，建議X0≡?X1（7）Xn為任意軸，大多數(shù)情況下，建議?Xn≡?Xn?11.6.D-H參數(shù)法圖1.6坐標(biāo)系Σi-1與Σi的空間幾何關(guān)系1.6.D-H參數(shù)法2）連桿參數(shù)

利用位于正交向量Xi-1和Zi的交叉點(diǎn)處的關(guān)節(jié)Pi，我們可以得到以下幾個(gè)關(guān)于D-H法的參數(shù)：（1）連桿長(zhǎng)度ai：從坐標(biāo)系Σi?1的原點(diǎn)到Xi?1軸上Pi關(guān)節(jié)的長(zhǎng)度。（2）連桿距離αi：從Zi?1軸到Zi軸繞Xi?1軸的轉(zhuǎn)角。（3）連桿扭角di:關(guān)節(jié)pi到坐標(biāo)系Σi的原點(diǎn)的距離。（4）連桿夾角θi:從Xi?1軸到Xi軸繞Zi軸的轉(zhuǎn)角將ai轉(zhuǎn)化為沿Xi?1向量：

Ttran(ai,0,0)繞Xi?1的轉(zhuǎn)角

αi：

Trot(xi?1,αi)從Pi到Σi的距離di:

Ttran(0,0,di)繞Zi?1（=Zi）的轉(zhuǎn)角θi：Trot(zi?1,θi)可得以下公式：1.6.D-H參數(shù)法1）連桿參數(shù)ai,αi,di,θi被稱為D-H法的參數(shù)1.6.D-H參數(shù)法1.6.4棱柱節(jié)點(diǎn)的德納維特哈登伯格參數(shù)Si-1SiZi-1Xi-1Yi-1aiaizi-1qidiPi節(jié)點(diǎn)i-1節(jié)點(diǎn)i

Zixi-1Xiqidiq=0i點(diǎn)圖1.9棱柱節(jié)點(diǎn)和之間的幾何關(guān)系棱柱節(jié)點(diǎn)的德納維特哈登伯格參數(shù)的定義與轉(zhuǎn)動(dòng)結(jié)點(diǎn)的定義一樣，齊次轉(zhuǎn)換矩陣也一樣。對(duì)于棱柱節(jié)點(diǎn)，參數(shù)包含節(jié)點(diǎn)變量。當(dāng)為0時(shí)（機(jī)械手臂處于初始狀態(tài)），可能存在“偏移長(zhǎng)度”，所以我們應(yīng)該將棱柱節(jié)點(diǎn)的一般情況表示為以下式子：1.7手的位置和方向表示手坐標(biāo)系Σh(=Σn)和基礎(chǔ)坐標(biāo)系Σ0的關(guān)系齊次變換可以描述為：（1.18）旋轉(zhuǎn)矩陣0Rh表示機(jī)械手的方向和0rho表示機(jī)械手坐標(biāo)系的原點(diǎn)在Σ0坐標(biāo)系中的參考位置。1.8連桿上任意點(diǎn)的描述0Sr基底iS點(diǎn)-iihSrprph機(jī)械手圖1.10連桿-i中的任意點(diǎn)（1.19）連桿i中的任意點(diǎn)rp在基礎(chǔ)坐標(biāo)系Σ0中的參考位置可以用連桿坐標(biāo)系的齊次變換來(lái)表示，表達(dá)式如下：該方程是運(yùn)動(dòng)學(xué)的一般形式。例如,機(jī)械手上的任一點(diǎn)0rph在基準(zhǔn)坐標(biāo)系中可以表示為：這意味著機(jī)械手上的任一點(diǎn)0rph能由關(guān)節(jié)變量θ常數(shù)矢量hrph描述。1.9逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算的數(shù)值方法然后我們有了以下的表示你運(yùn)動(dòng)學(xué)的微分方程式：（1.20）當(dāng)r∈Rn表示執(zhí)行器末端的位置(方向)，q∈Rn表示節(jié)點(diǎn)變量(包括θi或或D-H參數(shù)中的di)。通過(guò)對(duì)方程兩邊微分,我們可以寫成：（1.21）由等式（1.19）我們可以看出當(dāng)前運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以表示為：（1.22）1.9逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算的數(shù)值方法1.10二連桿臂逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算前面的q0對(duì)于真值并不收斂，下面考慮逆向計(jì)算