2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)機(jī)器人觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的定義域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-1,3)D.[-1,3]已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若向量a+2b與2a-b平行，則m的值為（）A.1/2B.2C.-1/2D.-2下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.y=x3B.y=sinxC.y=lnxD.y=2?已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3+a5=10，S7=49，則公差d的值為（）A.1B.2C.3D.4函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分別是（）A.π，1B.2π，1C.π，2D.2π，2若直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2√3，則k的值為（）A.±√3/3B.±√3C.±1D.±2某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.12B.16C.20D.24已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3從1，2，3，4，5這5個數(shù)中任取2個數(shù)，則取到的兩個數(shù)之和為偶數(shù)的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(diǎn)(2,√3)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.x2/3-y2/6=1B.x2/6-y2/3=1C.x2/2-y2/4=1D.x2/4-y2/2=1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)=x2，則f(2025)的值為（）A.0B.1C.4D.9二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則|z|=______。已知函數(shù)f(x)=log?(x+1)，則f?1(3)=______。若x，y滿足約束條件{x+y≥2，x-y≤2，y≤2}，則z=x+2y的最大值為______。在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=2，b=3，C=60°，則c=______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1。（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an-1(n∈N*)。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn=log?an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：AD⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求直線A1B與平面ADC1所成角的正弦值。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高一年級隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）估計這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（Ⅲ）若從成績在[80,90)和[90,100]的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人成績在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2)。（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2的面積為4√3/5，求直線l的方程。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x(a∈R)。（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，求證：x1+x2>2。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題C2.A3.A4.A5.B6.A7.C8.B9.A10.B11.C12.B二、填空題√214.715.616.√7三、解答題解：（Ⅰ）f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π/2=π。（5分）（Ⅱ）因為x∈[0,π/2]，所以2x+π/4∈[π/4,5π/4]，當(dāng)2x+π/4=π/2，即x=π/8時，f(x)取得最大值√2；當(dāng)2x+π/4=5π/4，即x=π/2時，f(x)取得最小值-1。（10分）解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，S1=2a1-1，解得a1=1；當(dāng)n≥2時，Sn-1=2an-1-1，所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，即an=2an-1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an=2??1。（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=log?an=log?2??1=n-1，所以數(shù)列{bn}是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以Tn=n(n-1)/2。（12分）（Ⅰ）證明：因為AA1⊥底面ABC，AD?底面ABC，所以AA1⊥AD；因為AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC；又因為BC∩AA1=A，所以AD⊥平面BCC1B1。（6分）（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(1,1,0)，C1(0,2,2)，所以向量A1B=(2,0,-2)，向量AD=(1,1,0)，向量AC1=(0,2,2)。設(shè)平面ADC1的法向量為n=(x,y,z)，則{n·AD=0，n·AC1=0}，即{x+y=0，2y+2z=0}，令x=1，則y=-1，z=1，所以n=(1,-1,1)。設(shè)直線A1B與平面ADC1所成角為θ，則sinθ=|cos<A1B,n>|=|A1B·n|/|A1B||n|=|2×1+0×(-1)+(-2)×1|/√(8×3)=0，所以直線A1B與平面ADC1所成角的正弦值為0。（12分）解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，(0.005+0.015+a+0.03+0.025+0.015)×10=1，解得a=0.01。（3分）（Ⅱ）平均數(shù)為45×0.05+55×0.15+65×0.1+75×0.3+85×0.25+95×0.15=74.5；設(shè)中位數(shù)為x，則0.05+0.15+0.1+(x-70)×0.03=0.5，解得x=73.33。（7分）（Ⅲ）成績在[80,90)的學(xué)生有0.25×100=25人，成績在[90,100]的學(xué)生有0.15×100=15人，按分層抽樣的方法抽取5人，則從[80,90)中抽取5×25/40=3人，從[90,100]中抽取5×15/40=2人。設(shè)事件A為“至少有1人成績在[90,100]”，則P(A)=1-P(沒有1人成績在[90,100])=1-C(3,2)/C(5,2)=1-3/10=7/10。（12分）解：（Ⅰ）由題意得{e=c/a=√2/2，1/a2+(1/2)/b2=1，a2=b2+c2}，解得{a2=2，b2=1，c2=1}，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1。（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)直線l的方程為x=my-1，代入橢圓方程得(m2+2)y2-2my-1=0，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=2m/(m2+2)，y1y2=-1/(m2+2)，所以|y1-y2|=√[(y1+y2)2-4y1y2]=√[4m2/(m2+2)2+4/(m2+2)]=2√2(m2+1)/(m2+2)，所以△ABF2的面積S=1/2×|F1F2|×|y1-y2|=1/2×2×2√2(m2+1)/(m2+2)=2√2(m2+1)/(m2+2)=4√3/5，解得m2=1，所以m=±1，所以直線l的方程為x=±y-1，即x+y+1=0或x-y+1=0。（12分）解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f(x)=xlnx-x2+x，f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2；令g(x)=lnx-2x+2，則g'(x)=1/x-2，當(dāng)x∈(0,1/2)時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1/2,+∞)時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；又因為g(1)=0，g(1/2)=ln(1/2)-1+2=1-ln2>0，g(e2)=2-2e2+2=4-2e2<0，所以存在x0∈(1/2,1)，使得g(x0)=0，所以當(dāng)x∈(0,x0)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x0,1)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；綜上，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,x0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(x0,+∞)。（4分）（Ⅱ）因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f'(x)=lnx+1-2ax+2a-1=lnx-2ax+2a≤0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立，即2a(x-1)≥lnx在區(qū)間(1,+∞)上恒成立；當(dāng)x=1時，0≥0，恒成立；當(dāng)x>1時，2a≥lnx/(x-1)，令h(x)=lnx/(x-1)，則h'(x)=((1/x)(x-1)-lnx)/(x-1)2=(1-1/x-lnx)/(x-1)2，令t(x)=1-1/x-lnx，則t'(x)=1/x2-1/x=(1-x)/x2<0，所以t(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以t(x)<t(1)=0，所以h'(x)<0，h(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)<h(1)，又因為lim(x→1)lnx/(x-1)=lim(x→1)(1/x)/1=1，所以h(x)<1，所以2a≥1，即a≥1/2，所以實數(shù)a的取值范圍為[1/2,+∞)。（8分）（Ⅲ）證明：因為函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，所以f'(x)=lnx-2ax+2a=0有兩個不同的實根x1，x2，即lnx1=2a(x1-1)，lnx2=2a(x2-1)，兩式相減得ln(x1/x2)=2a(x1-x2)，所以2a=ln(x1/x2)/(x1-x2)；要證x1+x2>2，即證(x1+x2)/2>1，令t=x1/x2(0<t<1)，則x1=tx2，所以lnt=2a(tx2-x2)=2ax2(t-1)，所以x2=lnt/[2a(t-1)]，x1=tlnt/[2a(t-1)]，所以(x1+x2)/2=(t+1)lnt/[4a(t