2025年下學(xué)期高中集體學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≥1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.[2,+∞)C.[2,3]D.[1,3]復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若向量a與b的夾角為銳角，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.(-2,+∞)B.(-2,1/2)∪(1/2,+∞)C.[1/2,+∞)D.(-∞,-2)函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和對稱軸方程分別是（）A.π，x=kπ/2+π/12(k∈Z)B.2π，x=kπ+π/12(k∈Z)C.π，x=kπ+π/12(k∈Z)D.2π，x=kπ/2+π/12(k∈Z)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=7，S6=63，則公比q=（）A.2B.-3C.2或-3D.-2或3某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πcm3B.16πcm3C.20πcm3D.24πcm3已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的極大值點為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3在區(qū)間[0,π]上隨機取一個數(shù)x，則事件“sinx+cosx≥√2”發(fā)生的概率為（）A.1/4B.1/3C.1/2D.2/3已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.x2/8+y2/2=1B.x2/10+y2/5=1C.x2/12+y2/3=1D.x2/16+y2/4=1已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x(a>0)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1/a)D.(1/a,+∞)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，PA=3，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.16πB.20πC.24πD.32π已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=e^x-ax，若函數(shù)f(x)在R上有且僅有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知tanα=2，則sin2α+cos2α=________。若x，y滿足約束條件{x+y≥2，x-y≤2，0≤y≤3}，則z=2x-y的最大值為________。已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n+1，則數(shù)列{an}的通項公式為________。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0交于A，B兩點，若|AB|=2√3，則k=________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足cos2B-3cos(A+C)=1。（1）求角B的大??；（2）若b=√3，△ABC的面積為√3/2，求a+c的值。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，點D，E分別是棱BC，CC1的中點。（1）求證：AD⊥平面BCC1B1；（2）求二面角B-AE-D的余弦值。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計男401050女203050合計6040100（1）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生的性別與是否經(jīng)常鍛煉有關(guān)”；（2）從經(jīng)常鍛煉的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人參加體育知識競賽，求至少有1名女生的概率。附：K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d。P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an-n(n∈N*)。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn=an+1/SnSn+1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。（本小題滿分12分）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，過點A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M。（1）若直線AB的斜率為1，求|AB|的值；（2）求證：直線MF平分∠AMB。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=e^x-ax2-2x(a∈R)。（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a=-1時，求證：f(x)≥-x2-1在[0,+∞)上恒成立。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題C2.D3.B4.A5.A6.B7.A8.A9.C10.D11.B12.C二、填空題114.715.an=2^n-n16.0或-4/3三、解答題（1）由cos2B-3cos(A+C)=1，得2cos2B-1+3cosB=1，即2cos2B+3cosB-2=0，解得cosB=1/2或cosB=-2（舍去），所以B=π/3。（5分）（2）由△ABC的面積為√3/2，得1/2acsinB=√3/2，即ac=2。由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-6，所以(a+c)2=9，即a+c=3。（10分）（1）因為AA1⊥平面ABC，AD?平面ABC，所以AA1⊥AD。因為AB=AC，D是BC的中點，所以AD⊥BC。又BC∩AA1=A，所以AD⊥平面BCC1B1。（5分）（2）以A為原點，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，D(1,1,0)，E(0,2,1)。設(shè)平面ABE的法向量為n=(x,y,z)，則{n·AB=0,n·AE=0}，即{2x=0,2y+z=0}，取y=1，得n=(0,1,-2)。設(shè)平面ADE的法向量為m=(a,b,c)，則{m·AD=0,m·AE=0}，即{a+b=0,2b+c=0}，取b=1，得m=(-1,1,-2)。所以cos〈n,m〉=n·m/|n||m|=(0+1+4)/√(0+1+4)√(1+1+4)=5/√5√6=√30/6。由圖可知二面角B-AE-D為銳角，所以二面角B-AE-D的余弦值為√30/6。（12分）（1）K2=100×(40×30-10×20)2/[50×50×60×40]=100×10002/[50×50×60×40]=100×1000000/600000=1000/6≈16.667>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生的性別與是否經(jīng)常鍛煉有關(guān)”。（5分）（2）從經(jīng)常鍛煉的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取6人，其中男生4人，女生2人。從這6人中隨機抽取2人，共有C62=15種不同的抽取方法。至少有1名女生的抽取方法有C21C41+C22=8+1=9種，所以至少有1名女生的概率為9/15=3/5。（12分）（1）當(dāng)n=1時，S1=2a1-1，即a1=1。當(dāng)n≥2時，Sn-1=2an-1-(n-1)，所以an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1)=2an-2an-1-1，即an=2an-1+1，所以an+1=2(an-1+1)，所以數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an+1=2×2^(n-1)=2^n，即an=2^n-1。（6分）（2）由（1）得Sn=2an-n=2(2^n-1)-n=2^(n+1)-n-2，所以bn=an+1/SnSn+1=2^n/[(2^(n+1)-n-2)(2^(n+2)-n-3)]=1/(2^(n+1)-n-2)-1/(2^(n+2)-n-3)，所以Tn=b1+b2+...+bn=[1/(2^2-1-2)-1/(2^3-1-3)]+[1/(2^3-2-2)-1/(2^4-2-3)]+...+[1/(2^(n+1)-n-2)-1/(2^(n+2)-n-3)]=1/1-1/(2^(n+2)-n-3)=1-1/(2^(n+2)-n-3)。（12分）（1）拋物線C的焦點F(1,0)，準(zhǔn)線l：x=-1。直線AB的方程為y=x-1，代入拋物線方程得(x-1)2=4x，即x2-6x+1=0。設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=6，所以|AB|=x1+x2+2=8。（5分）（2）設(shè)直線AB的方程為x=my+1，代入拋物線方程得y2-4my-4=0。設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=4m，y1y2=-4。因為M(-1,y1)，F(xiàn)(1,0)，所以kMF=(y1-0)/(-1-1)=-y1/2，kMB=(y2-y1)/(x2+1)=(y2-y1)/(my2+2)。因為y1y2=-4，所以y2=-4/y1，所以kMB=(-4/y1-y1)/(m(-4/y1)+2)=-(y12+4)/y1/(-4m/y1+2)=-(y12+4)/(-4m+2y1)。又y12=4x1=4(my1+1)=4my1+4，所以y12+4=4my1+8=4(my1+2)，所以kMB=-4(my1+2)/(-4m+2y1)=-2(my1+2)/(-2m+y1)=2(my1+2)/(2m-y1)。kMF=-y1/2，所以kMF+kMB=-y1/2+2(my1+2)/(2m-y1)=-y1(2m-y1)+4(my1+2)/[2(2m-y1)]=(-2my1+y12+4my1+8)/[2(2m-y1)]=(y12+2my1+8)/[2(2m-y1)]=(4my1+4+2my1+8)/[2(2m-y1)]=(6my1+12)/[2(2m-y1)]=3(my1+2)/(2m-y1)=3kMB/2，所以kMF=kMB/2，即直線MF平分∠AMB。（12分）（1）當(dāng)a=0時，f(x)=e^x-2x，f'(x)=e^x-2。令f'(x)=0，得x=ln2。當(dāng)x<ln2時，f'(x)<0；當(dāng)x>ln2時，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(ln2,+∞)。（4分）（2）f'(x)=e^x-2ax-2。因為函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，即e^x-2ax-2≥0在[0,+∞)上恒成立。當(dāng)x=0時，1-0-2=-1≥0不成立，所以a不存在。（此處修正：當(dāng)x=0時，f'(0)=1-0-2=-1<0，所以函數(shù)f(x)在[0,+∞)上不可能單調(diào)遞增，即實數(shù)a的取值范圍為?。）（8分）（3）當(dāng)a=-1時，f(x)=e^x+x2-2x。要證f(x)≥-x2-1在[0,+∞)上恒成立，即證e^x+2x2-2x+1≥0在[0,+∞)上恒成立。設(shè)g(x)=e^x+2x2-2x+1，則g'(x)=e^x+4x-2。當(dāng)x≥0時，g'(x)≥e^0+0-2=-1，g''(x)=e^x+4>0，所以g'(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增。因為g'(0)=1-2=-1<0，g'(1)=e+4-2=e+2>0，所以存在x0∈(0,1)，使得g'(x0)=0。當(dāng)0<x<x0時，g'(x)<0；當(dāng)x>x0時，g'(x)>0，所以g(x)在(