第五章一元一次方程5.3課時1幾何圖形問題1.能列出一元一次方程解決圖形中的等體積、等周長、等面積等問題，并會檢驗答案的合理性;2.初步體會用一元一次方程解決實際問題的一般步驟.如圖，用一塊橡皮泥先捏出一個“瘦高”的圓柱，然后再讓這個“瘦高”的圓柱“變矮”，變成一個“矮胖”的圓柱，請思考下列幾個問題：(1)在你操作的過程中，圓柱由“高”變“矮”，圓柱的底面直徑是否變化了?還有哪些量改變了?(2)在這個變化過程中，什么量沒有變化呢?

某飲料公司有一種底面直徑和高分別為6.6cm，12cm的圓柱形易拉罐飲料.經(jīng)市場調(diào)研決定對該產(chǎn)品外包裝進(jìn)行改造，計劃將它的底面直徑減少為6cm.那么在容積不變的前提下，易拉罐的高度將變?yōu)槎嗌倮迕?(1)這個問題中包含哪些量?它們之間有怎樣的等量關(guān)系?解：(1)在這個問題中的量有：

；它們之間的等量關(guān)系是：

.舊包裝的容積=新包裝的容積新舊包裝的底面直徑、高和容積等

探究一：等積變形問題(2)設(shè)新包裝的高度為xcm，你能借助下面的表格理梳理問題中的信息嗎?

有關(guān)量舊包裝新包裝底面半徑/cm高/cm容積/cm3

12x

(3)根據(jù)等量關(guān)系，你能列出怎樣的方程?設(shè)新包裝的高度為xcm.根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：

.解這個方程，得x=

.因此，易拉罐的高度變?yōu)?/p>

cm.列方程時，關(guān)鍵是找出問題中的等量關(guān)系.

14.5214.52

等積變形問題：等積變形是指一個物體的形狀發(fā)生變化，但變化前后的體(面)積不變.等量關(guān)系是：變形前的體(面)積=變形后的體(面)積.注意：(1)設(shè)未知數(shù)時，未知量一定要敘述清楚；(2)列方程時，單位要統(tǒng)一；(3)找出問題中的等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵.D練一練例：用一根長為10m的鐵絲圍成一個長方形.(1)若該長方形的長比寬多1.4m，那么此時長方形的長、寬各是多少米？(2)若該長方形的長比寬多0.8m，那么此時長方形的長、寬各為多少米？此時的長方形與(1)中的長方形相比，面積有什么變化？

(3)若該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，那么此時正方形的邊長是多少米？正方形的面積與(2)中長方形的面積相比又有什么變化？分析：本題涉及哪些量？它們之間有怎樣的等量關(guān)系？本題涉及的量有鐵絲的長度，長方形的長、寬，正方形的邊長.它們的等量關(guān)系為：長方形的周長=鐵絲的長度，正方形的周長=鐵絲的長度.

探究二：應(yīng)用一元一次方程解決等長變形問題xm(x+1.4)m解：（1）設(shè)此時長方形的寬為xm，則它的長為(x+1.4)m.解這個方程，得x=1.81.8+1.4=3.2.此時長方形的長為3.2m，寬為1.8m.根據(jù)題意，得

2（x+1.4）+2x=10(1)若該長方形的長比寬多1.4m，那么此時長方形的長、寬各是多少米？(2)若該長方形的長比寬多0.8m，那么此時長方形的長、寬各為多少米？此時的長方形與(1)中的長方形相比，面積有什么變化？

xm(x+0.8)m(2)設(shè)此時長方形的寬為xm，則它的長為（x+0.8）m.根據(jù)題意，得2(x+0.8)+2x=10解這個方程，得

x=2.12.1+0.8=2.9此時長方形的長為2.9m，寬為2.1m，面積為2.9×2.1=6.09(m2)，(1)中長方形的面積為3.2×1.8=5.76(m2).此時長方形的面積比(1)中長方形的面積增大6.09－5.76=0.33(m2).(3)若該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，那么此時正方形的邊長是多少米？正方形的面積與(2)中長方形的面積相比又有什么變化？解這個方程，得

x=2.5面積為2.5×2.5=6.25(m2)解：設(shè)正方形的邊長為xm.根據(jù)題意，得

4x=10比(2)中長方形的面積增大6.25-6.09=0.16（m2）正方形的邊長為2.5m，等長變形問題：

等長變形問題是指把一個長度一定的物體圍成不同的平面圖形時，圖形的形狀、面積發(fā)生了變化，但周長不變.

等量關(guān)系是：變形前的周長=變形后的周長.2．用5.2m長的鐵絲圍成一個長方形，使得長比寬多0.6m，求圍成的長方形的寬為多少．設(shè)長方形的寬為xm，可列方程為(

)A．x＋(x＋0.6)＝5.2 B．x＋(x－0.6)＝5.2C．2(x＋x＋0.6)＝5.2 D．2[x＋(x－0.6)]＝5.2C練一練在上面的問題中，所列方程的兩邊分別表示什么量?列方程的思路是什么?與同伴進(jìn)行交流。長方形(正方形)的周長=鐵絲的長度審題找等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)列方程解方程檢驗方程的解作答思考·交流例1：要鍛造一個直徑為12cm，高為8cm的圓柱形毛坯，應(yīng)截取多少直徑為8cm的圓鋼？(不計鍛造時的損耗)(1)本題建立方程的相等關(guān)系是_____________________；(2)設(shè)截取直徑為8cm的圓鋼xcm，根據(jù)數(shù)量關(guān)系填表：應(yīng)截圓鋼鍛造毛坯底面半徑(cm)高(cm)體積(cm3)根據(jù)題意列方程：____________________．解得x＝________．因此，應(yīng)截取直徑為8cm的圓鋼______cm.圓鋼體積＝毛坯體積46x8π×42·xπ×62×8π×42·x＝π×62×81818例2：如圖，地面上釘著一個用一根彩繩圍成的直角三角形，如果將直角三角形的一個銳角頂點處的釘子去掉，并將這根彩繩釘成一個長方形，則所釘長方形的長、寬各是多少？面積是多少？解：此直角三角形的周長＝6＋8＋10＝24.①當(dāng)去掉頂點A處的釘子時，BC為長方形的一條邊長，設(shè)長方形的另一相鄰邊長為x，由題意得2(x＋6)＝24，解得x＝6，則該長方形的長和寬均為6，面積為6×6＝36；②當(dāng)去掉頂點B處的釘子時，AC為長方形的一條邊長，設(shè)長方形的另一相鄰邊長為y，由題意得2(y＋8)＝24，解得y＝4，則該長方形的長和寬分別為8，4，面積為8×4＝32.故長方形的長、寬、面積分別為6，6，36或8，4，32.2.如圖所示，一個盛有水的圓柱形玻璃容器的內(nèi)底面半徑為20cm，容器內(nèi)水的高度為15cm.如果把一根半徑為10cm的玻璃棒垂直插入水中，那么容器內(nèi)的水升高(水不會溢出)(

)A．10cm

B．5cm C．15cm

D．12cm1.一個正方形花圃的邊長增加2m，所得新正方形花圃的周長是28m，設(shè)原正方形花圃的邊長為x

m，由此可得方程為(

)A．x＋2＝28

B．4(x＋2)＝28C．2(x＋2)＝28

D．4x＋2＝28BB

3.一個長方形的周長是40cm，若將長減少8cm，寬增加2cm，長方形就變成了正方形，則正方形的邊長為(

)A.6cm

B.7cm

C.8cm

D.9cmBC5.要鍛造一個直徑為8厘米、高為4厘米的圓柱形毛坯，則至少應(yīng)截取直徑為4厘米的圓鋼

厘米.166.鋼錠的截面是正方形，其邊長是20厘米，要鍛造成長、寬、高分別為40厘米、30厘米、10厘米的長方體，則應(yīng)截取這種鋼錠為

.30厘米7.已知長方形的周長是30cm，長比寬多3cm，求這個長方形的面積．解：設(shè)長方形的寬為xcm，則長為(x＋3)cm.依題意，得2(x＋x＋3)＝30.解這個方程，得x＝6，則x＋3＝9.因此，這個長方形的面積為6×9＝54(cm2)．一元一次方程的應(yīng)用等積變形問題等長變形問題列方程的思路變形前的體(面)積=變形后的體(面)積列一元一次方程，首先需要審題，找到其中的等量關(guān)系根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，并列出方程，解方程后還要檢驗方程的解.變形前的周長=變形后的周長第五章一元一次方程5.3課時2“盈不足”問題1.能列一元一次方程解決盈虧問題；2.會用表格分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系，并體會盈虧問題未知數(shù)的不同設(shè)法；3.進(jìn)一步體會用一元一次方程解決實際問題的步驟.把一些書分給幾名學(xué)生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么還少2本.共有多少本書？

共有多少名學(xué)生？

《九章算術(shù)》“盈不足”章第一題:今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問:人數(shù)、物價各幾何?

題目大意:幾個人合伙買東西,若每人出8錢,則會多出3錢;若每人出7錢,則還少4錢.合伙人數(shù)、物品的價格分別是多少?(1)問題中有哪些已知量和未知量?它們之間有怎樣的等量關(guān)系?解：(1)已知量:每人出8錢，多3錢;每人出7錢，少4錢.

未知量:人數(shù)、物價.等量關(guān)系:每人出8錢×人數(shù)-多出的3錢=每人出7錢×人數(shù)+還少的4錢.

探究：古算術(shù)“盈不足”問題(2)設(shè)人數(shù)為x,其他未知量能用含x的代數(shù)式表示嗎?請完成下表.有關(guān)量每人出8錢每人出7錢人數(shù)x

出錢總數(shù)

物價

x8x7x8x-37x+4(3)設(shè)人數(shù)為x.根據(jù)等量關(guān)系,列出方程:

.

解這個方程,得x=

.

因此,人數(shù)為

,物價為

錢.

8x-3=7x+47753利用表格分析數(shù)量關(guān)系是一種有效方法.如果設(shè)物價為y錢,你能列出怎樣的方程?與同伴進(jìn)行交流.

解這個方程，得

y=53.

你更喜歡哪種設(shè)未知數(shù)的方法？“盈不足”問題中一般有兩個未知量和兩個等量關(guān)系.1.兩個未知量:這類問題有兩個未知數(shù)，設(shè)其中哪個為x都可以，另一個用含x的式子表示.2.兩個相等關(guān)系:一個用于設(shè)未知數(shù)，另一個用于列方程.利用一元一次方程解決“盈不足”問題的方法：例

《九章算術(shù)》“盈不足”章第五題:今有共買金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百.問:人數(shù)、金價各幾何?題目大意:幾個人合伙買金,每人出400錢,會多出3400錢;每人出300錢,會多出100錢.合伙人數(shù)、金價各是多少?有關(guān)量每人出400錢每人出300錢人數(shù)x

出錢總數(shù)

金價

x400x300x400x-3400300x-100分析：設(shè)人數(shù)為x，你能把下表補充完整嗎？解：設(shè)合伙人數(shù)為x，則金價可表示為（400x-3400）錢，還可表示為（300x-100）錢，根據(jù)等量關(guān)系,列出方程

400x-3400=300x-100.解這個方程,得

x=33.300×33-100=9800.因此，人數(shù)為33，金價為9800錢.方程的兩邊就是金價的兩種不同的表達(dá)式.(1)對于以上例題，如果設(shè)金價為y錢，能列出怎樣的方程?

解這個方程,得y=9800.

因此,人數(shù)為33,金價為9800錢.思考·交流(2)對于以上例題,《九章算術(shù)》給出了一種算法:人數(shù)=兩次剩余錢數(shù)之差÷兩次每人所出錢數(shù)之差;物價=每人出的錢數(shù)×人數(shù)-剩余錢數(shù)。你能理解這種解法嗎?與方程的求解過程相比，有什么不同?與同伴進(jìn)行交流。答:人數(shù)為(3400-100)÷(400-300)=33，金價為400×33-3400=9800(錢).思考：你認(rèn)為列一元一次方程解應(yīng)用題的主要步驟有哪些？關(guān)鍵是什么？1.審——通過審題找出等量關(guān)系（關(guān)鍵）.6.答——注意單位名稱.5.檢——檢驗求出的值是否為方程的解，并檢驗是否符合實際問題.4.解——求出方程的解(對間接設(shè)的未知數(shù)切記繼續(xù)求解).3.列——依據(jù)找到的等量關(guān)系，列出方程.2.設(shè)——設(shè)出合理的未知數(shù)(直接或間接)，注意單位名稱.

我國古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩:“庭前孩童鬧如簇,不知人數(shù)不知梨.每人四梨多十二,每人六梨恰齊足.”其大意是:孩童們在庭院玩耍,不知有多少人和梨子.每人分4個梨,多12個梨;每人分6個梨,恰好分完.設(shè)梨有x個,則可列方程為

.

練一練

例2：某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩:我問開店李三公,眾客都來到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.詩中后兩句的意思是:如果每一間客房住7人,那么有7人無房住;如果每一間客房住9人,那么就空出一間房.求該店有房客多少人.解：設(shè)該店有x間客房,則7x+7=9x-9,解得x=8.7x+7=7×8+7=63.答:該店有房客63人.1.動物園的門票售價:成人票每張50元,兒童票每張30元.某日動物園售出門票700張,收入29000元.設(shè)兒童票售出x張,根據(jù)題意可列出方程為()A.30x+50(700-x)=29000B.50x+30(700-x)=29000C.30x+50(700+x)=29000D.50x+30(700+x)=29000A2.古代名著《孫子算經(jīng)》中有一題:今有三人共車,二車空;二人共車,九人步.問人與車各幾何?設(shè)有車x輛,則根據(jù)題意,可列出方程是()A.3(x+2)=2x-9 B.3(x+2)=2x+9C.3(x-2)=2x-9 D.3(x-2)=2x+9D3.把一些筆記本分給某班學(xué)生,如果每人分2本,則剩余20本;如果每人分3本,則還缺30本,設(shè)該班有x名學(xué)生,可列一元一次方程為()A.2x-20=3x-30 B.2x+20=3x+30C.2x-20=3x+30 D.2x+20=3x-30D4.筆記本比水性筆的單價多2元,小剛買了6本筆記本和2支水性筆正好用去20元.如果設(shè)水性筆的單價為x元,那么下面所列方程正確的是()A.6x+2(x-2)=20 B.6(x-2)+2x=20C.6x+2(x+2)=20 D.6(x+2)+2x=20D6.《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不盡,又三家共一鹿,適盡.問城中家?guī)缀?大意為:今有100頭鹿進(jìn)城,每家取一頭鹿,沒有取完,剩下的鹿每3家共取一頭,恰好取完.則城中有

戶人家.

755.某校組織師生去參觀一大型工程建筑,如果租用60座的甲種客車若干輛,剛好坐滿;如果租用80座的乙種客車可少租1輛,且余40個空座位,設(shè)該校師生x人,則可以列方程為____________.

7.某校組織七年級學(xué)生研學(xué)旅行,租用同型號客車4輛,還剩30人沒有座位;租用5輛,還空10個座位.求該客車的載客量.解：設(shè)該客車的載客量為x人,根據(jù)題意得:4x+30=5x-10,解得x=40.答:該客車的載客量為40人.一元一次方程的應(yīng)用“盈不足”問題兩個未知量和兩個相等關(guān)系：一個用于設(shè)未知數(shù)，一個用于列方程.審：通過審題找出等量關(guān)系(關(guān)鍵).設(shè)：設(shè)出合理的未知數(shù)(直接或間接)，注意單位名稱.列：依據(jù)找到的等量關(guān)系，列出方程.解：求出方程的解(對間接設(shè)的未知數(shù)切記繼續(xù)求解).驗：檢驗求出的值是否為方程的解，并檢驗是否符合實際問題.答：注意單位名稱.列一元一次方程解應(yīng)用題的主要步驟第五章一元一次方程5.3課時3行程問題1.借助“線段圖”分析行程問題中的數(shù)量關(guān)系，從而建立方程解決實際問題；2.充分利用行程問題中的速度、路程、時間的關(guān)系列方程解決問題.

小明每天早上要到距家1000m的學(xué)校上學(xué).一天,小明以80m/min的速度出發(fā)，出發(fā)后

5min,小明的爸爸發(fā)現(xiàn)小明忘了帶語文書.于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一條路去追小明，并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多長時間？追上小明時，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？

你能用一元一次方程解決這個問題嗎？思考：(1)上述問題中有哪些已知量和未知量？解：（1）已知量:小明家到學(xué)校1000m、小明的速度80m/min、

小明已出發(fā)5min、小明爸爸的速度180m/min；

未知量:小明爸爸追上小明用的時間、

小明爸爸追上小明時距離學(xué)校多遠(yuǎn).(2)想象一下追及的過程，你能用一個圖直觀表示問題中各個量之間的關(guān)系嗎？

探究一：應(yīng)用一元一次方程解決追及問題設(shè)爸爸追上小明用了

x分鐘,當(dāng)爸爸追上小明時,所行路程相等,如下圖所示.學(xué)校小明家180x爸爸追上小明的位置.80x小明5min走的路程:80×5.小明在爸爸追時走的路程:80x.爸爸追趕小明時走的路程:180x.80×5根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程：

.

解這個方程，得x=

.因此，爸爸追上小明用了

min,此時距離學(xué)校還有

m.44180x=5×80+80x280(3)你是怎樣列出方程的，與同伴進(jìn)行交流.1000－180×4＝280(m)畫圖分析數(shù)量關(guān)系是一種有效方法.根據(jù)相等量的兩種不同表達(dá)式就可以建立等量關(guān)系，列出方程了.追及問題：甲、乙兩人同向出發(fā)，甲追乙這類問題為追及問題：對于行程問題，通常借助“線段圖”來分析問題中的數(shù)量關(guān)系．(1)對于同向同時不同地的問題，如圖所示，甲的行程－乙的行程＝兩出發(fā)地的距離；注意：同向而行注意始發(fā)時間和地點．(2)對于同向同地不同時的問題，如圖所示，甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程．1.《九章算術(shù)》中有一道題，原文：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”意思：同樣時間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？(

)A．300步

B．250步

C．200步

D．150步B練一練線段圖：甲乙甲、乙兩站間的路程為450千米，一列慢車從甲站開出，每小時行駛65千米，一列快車從乙站開出，每小時行駛85千米.（1）兩車同時開出，相向而行，經(jīng)過多少小時相遇？解：（1）設(shè)兩車行駛了xh相遇，根據(jù)題意得65x+85x=450，

解，得

x=3.

答：兩車經(jīng)過3h相遇.分析：等量關(guān)系：慢車路程＋快車路程=甲乙之間的距離.相遇慢車行駛的路程65x甲乙兩地之間的距離450km快車行駛的路程85x

探究二：應(yīng)用一元一次方程解決相遇問題甲乙線段圖：（2）快車先開30min，兩車相向而行，慢車行駛了多少小時兩車相遇？相遇快車先開30min行駛的路程85×0.5慢車行駛的路程65y甲乙兩地之間的距離450km快車在慢車走時行駛的路程85y

關(guān)于兩人從兩地出發(fā)相向而行的行程問題稱為相遇問題，這類問題往往根據(jù)路程之和等于總路程列方程．

如圖所示，甲的行程＋乙的行程＝兩地相距的路程．相遇問題：2.A,B兩站間的距離為335km，一列慢車從A站開往B站，每小時行駛55km，慢車行駛1小時后，另有一列快車從B站開往A站，每小時行駛85km.設(shè)快車行駛了x小時后與慢車相遇，則可列方程為()A.55x＋85x＝335 B.55(x－1)＋85x＝335C.55x＋85(x－1)＝335 D.55(x＋1)＋85x＝335D練一練

例：小明和小華兩人在400米的環(huán)形跑道上練習(xí)長跑，小明每分鐘跑260米，小華每分鐘跑300米，兩人起跑時站在跑道同一位置.（1）如果小明起跑后1min小華才開始同向跑，那么小華用多長時間能追上小明？（2）如果小明起跑后1min小華開始反向跑，那么小華起跑后多長時間兩人首次相遇？分析:本題涉及哪些量?你能畫圖說明小明和小華跑步的情形嗎?在問題(1)和(2)中，兩人所走的路程分別有什么關(guān)系?

探究三：環(huán)形跑道中的追及和相遇問題解：（1）設(shè)小華用

xmin追上小明.根據(jù)題意，得260（x＋1）＝300x

解，得

x＝6.5.所以小華用6.5min追上小明.（2）設(shè)小華起跑后

xmin兩人首次相遇.根據(jù)題意，得

260（

x

＋1）＋300

x

＝400，

解，得

x

＝0.25.所以小華起跑后0.25min兩人首次相遇.環(huán)形跑道長s米，設(shè)v甲＞v乙，經(jīng)過t秒甲、乙第一次相遇.一般有如下兩種情形：①同時同地、同向而行：v甲t-v乙t=s.②同時同地、背向而行：v甲t+v乙t=s.追及問題相遇問題環(huán)形跑道問題：3.在800米的環(huán)形跑道上有兩人在練習(xí)中長跑，甲每分鐘跑320米，乙每分鐘跑280米，若兩人同時同地同向起跑，t

分鐘后第一次相遇，則

t

的值為

.20等量關(guān)系：甲路程－乙路程＝800.320t－280t＝800練一練用一元一次方程解決實際問題的一般步驟：實際問題抽象尋找等量關(guān)系數(shù)學(xué)問題（一元一次方程）解方程數(shù)學(xué)問題的解（一元一次方程的解）驗證實際問題的解解釋例1：小明家離學(xué)校2.9千米．一天，小明放學(xué)走了5分鐘之后，他爸爸開始從家出發(fā)騎自行車去接小明，已知小明每分鐘走60米，爸爸騎自行車每分