第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.5三角函數(shù)的應(yīng)用

第一章直角三角形的邊角關(guān)系

三角函數(shù)的應(yīng)用(1)——仰角、俯角問題仰角、俯角的概念圖例練習(xí)(1)抬頭看時，視線與水平

線的夾角叫

?.(2)低頭看時，視線與水平

線的夾角叫

?.

(1)左圖人眼看點A的仰

角為

?.(2)左圖人眼看點B的俯

角為

?.仰角

俯角

30°

70°

知識點1

與仰、俯角有關(guān)的應(yīng)用(單一圖形)【例1】如圖，小卓為了通過測量計算出茶樹的高度，他從點B沿水平方

向走到點D測得BD＝17

m，再用高為1.5

m的測角儀

CD，測得樹頂A的

仰角為60°.請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算茶樹AB的高度.(結(jié)果保留根號)

解：由題意，得BD＝CE＝17

m，CD＝BE＝1.5

m.

【變式1】如圖，某飛機(jī)于空中A處探測到目標(biāo)C，此時飛行高度AC＝1

200

m，從飛機(jī)上看地平面指揮臺B的俯角α＝37°.求飛機(jī)A與指揮臺B

的距離.(參考數(shù)據(jù)：sin

37°≈0.6，cos

37°≈0.8，tan

37°≈0.75)

解：依題意，得∠B＝37°.

解得AB≈2

000.答：飛機(jī)A與指揮臺B的距離約為2

000

m.知識點2

與仰、俯角有關(guān)的應(yīng)用(組合圖形)

解：依題意，得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120

m，∠ADC＝∠ADB＝90°.在Rt△ADB中，∵∠BAD＝30°，AD＝120

m，

在Rt△ADC中，∵∠CAD＝60°，AD＝120

m，

答：這棟樓的高度BC約為277.1

m.【變式2】如圖，在熱氣球C處測得地面A，B兩點的俯角分別為30°，

45°，熱氣球C的高度CD為100

m.點A，D，B在同一直線上，求AB

的長.解：∵在熱氣球C處測得地面點B的俯角為45°，∴∠BCD＝∠CBD，BD＝CD＝100

m.∵在熱氣球C處測得地面點A的俯角為30°，∴∠CAD＝30°，AC＝2×100＝200(m).

知識點3

與仰、俯角有關(guān)的應(yīng)用(方程思想)【例3】如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為測量一座古塔的高度，在古塔左側(cè)的點

A處測得古塔頂端D的仰角為30°，然后向古塔底座C前進(jìn)30

m到達(dá)點B

處，測得古塔頂端D的仰角為45°，且點A，B，C在同一水平直線上，

求古塔CD的高度.

解：由題意，得AB＝30，∠C＝90°，∠A＝30°，∠DBC＝45°.在Rt△BCD中，∠BDC＝90°－∠DBC＝45°，∴∠DBC＝45°，BC＝CD.

設(shè)CD＝x

m，則BC＝x

m，AC＝(30＋x)m.

【變式3】如圖，樓房BD的前方豎立著旗桿AC.

小亮在B處觀察旗桿頂

端C的仰角為45°，在D處觀察旗桿頂端C的俯角為30°，樓高BD為20

m.求旗桿AC的高度.解：如圖，過點C作CE⊥BD，垂足為E.

由題意，得AC＝BE，∠DCE＝30°，∠BCE＝45°.設(shè)AC＝BE＝xm.

在Rt△BCE中，CE＝BE·tan

45°＝x

m.

∵BD＝20

m，∴BE＋DE＝20

m.

1.

如圖，在地面上的點A處測得樹頂B的仰角的度數(shù)為α，AC＝7

m，則

樹高BC為(

A

)A.7tan

α

mB.

mC.7sin

α

mD.7cos

α

mA2.

如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，

∠ABC＝27°，BC＝44

cm，則高AD約為

cm.(結(jié)果精確到0.1

cm，參考數(shù)據(jù)：sin

27°≈0.45，cos

27°≈0.89，tan

27°≈0.51)11.2

3.

如圖是某商場自動扶梯的示意圖，自動扶梯AB的傾斜角為30°，在自

動扶梯下方地面C處測得扶梯頂端B的仰角為60°，A，C之間的距離為

6

m，則自動扶梯的垂直高度BD＝

m.(結(jié)果保留根號)

4.

如圖，大樓高30

m，遠(yuǎn)處有一塔BC，某人在樓底A處測得塔頂?shù)难鼋?/p>

為60°，爬到樓頂D測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，求塔高BC及大樓與塔之間

的距離AC.

解：設(shè)塔高BC為x

m.

∵AC＝DE，

解得x＝45.

第一章直角三角形的邊角關(guān)系三角函數(shù)的應(yīng)用(2)——方位角、坡度坡角問題方位角的概念圖例練習(xí)方位角是從正北

或正南方向到目

標(biāo)方向所形成的

小于90°的角.

(1)點A在點O的

?

方向上；(2)點B在點O的

?

方向上；(3)點C在點O的

?方向上.北偏東60°

南偏西30°

東南

知識點1

與方位角有關(guān)的應(yīng)用【例1】如圖，熱氣球位于觀測塔P的北偏西50°方向，距離觀測塔100

km的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于觀測塔P的南偏西

37°方向的B處，這時B處距離觀測塔P有多遠(yuǎn)？(結(jié)果保留整數(shù)，參考

數(shù)據(jù)：sin

37°≈0.60，cos

37°≈0.80，tan

37°≈0.75，

sin

50°≈0.77，cos

50°≈0.64，tan

50°≈1.19)

解：由題意，得∠A＝50°，∠B＝37°，PA＝100

km.

∴PC＝PA·sin

50°≈77

km.

答：這時B處距離觀測塔P有128

km.【變式1】如圖，某社會實踐活動小組實地測量兩岸互相平行的一段河的

寬度，在河的南岸點A處，測得河的北岸邊點B在其北偏東45°方向上，

然后向西走60

m到達(dá)C點，測得點B在點C的北偏東60°方向，求這段河

的寬度.解：如圖，過點B作BD⊥CA，交CA的延長線于點D.

由題意，得AC＝60

m，∠ABD＝45°，∠CBD＝60°.設(shè)BD＝x

m.在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝BD＝x

m.∴CD＝(x＋60)m.

知識點2

坡度和坡角問題坡角和坡度的概念如右圖，AB是一個斜坡.(1)坡面AB與水平線AC的夾角α叫坡角；

圖形練習(xí)如左圖，坡AB的坡度為i，坡角為α.(1)當(dāng)α＝30°，則i＝

?.

(3)當(dāng)i＝1∶1，則α＝

?；(4)當(dāng)h＝2，l＝4，則i＝

?.

60°

45°

1∶2

圖形【例2】某水庫大壩橫斷面是梯形ABCD，壩頂寬CD＝5

m，斜坡AD＝

12

m，壩高6

m，斜坡BC的坡度i＝1∶3，求斜坡AD的坡角和壩底寬AB.

解：由題意可知CD＝FE＝5

m，CF＝ED＝6

m.∵sin

A＝DE∶AD＝6∶12＝1∶2，∴∠A＝30°.∴斜坡AD的坡角為30°.

∵CF∶BF＝1∶3，∴BF＝3CF＝18

m.

【變式2】(北師教材九下P19改編)某學(xué)校在修建體育場的過程中，考慮到

安全性，決定將體育場的一處臺階進(jìn)行改造，在如圖的臺階橫斷面中，

將坡面AB的坡角由45°減至30°.已知原坡面的長AB為6

m(BC所在地面

為水平面)，改造后的臺階坡面長度會縮短多少？(結(jié)果保留根號)

解：在Rt△ABC中，AB＝6

m，

在Rt△BCD中，

A.50

mB.50

mC.50

mD.100

mA2.

如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東60°方向，距離燈塔80海里的A

處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向

上的B處，這時B離燈塔P的距離是

海里.

(1)求A，C兩點的距離.

解：如圖，延長AD交CQ于點F，交BN于點E.

由題意，得∠ABN＝45°，∠ACQ＝60°，BC＝30

m，AE⊥BN，CQ∥BN，∴AF⊥CQ.

∴∠DBE＝30°.∵CQ∥BN，∴∠DBE＝∠DCQ＝30°.∴∠ABD＝∠ABN－∠DBN＝15°，∠ACD＝∠ACQ－∠DCQ