（浙教版）七年級上冊數(shù)學《第3章實數(shù)》3.4實數(shù)的運算知識點一知識點一實數(shù)的運算★1、當數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.

★2、★3、實數(shù)的運算律.①加法交換律：a＋b＝b＋a；②加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③乘法交換律：ab＝ba；④乘法結(jié)合律：(ab)c＝a(bc)⑤分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.知識二知識二用計算器進行實數(shù)計算我們可以用計算器進行實數(shù)的運算；近似計算時按題目的要求將用計算器算得的結(jié)果取近似值。（1）用計算器求一個數(shù)的算術(shù)平方根的步驟：①先按鍵；②然后按鍵；③再輸入要開平方的數(shù)；④最后按鍵顯示結(jié)果。如求√3的操作是。（2）用計算器求一個數(shù)的立方根的步驟：①先按鍵；②然后按鍵；③再輸入需要開立方的數(shù)；④最后按鍵顯示結(jié)果。如求33的操作是。題型一實數(shù)的混合運算解題技巧提煉實數(shù)的混合運算順序為：先算乘方、開方、再算乘法、除法，最后算加法、減法，同級運算按照自左向右的順序進行，有括號先算括號里的.有理數(shù)的運算律實數(shù)同樣適用，在運算中，當遇到無理數(shù)并且需要求出結(jié)果的近似值時，可以按照所求的精確度用相應(yīng)的近似有限小數(shù)去代替無理數(shù)，再進行計算.1．（2024春?開福區(qū)校級期末）計算：-3【分析】原式先計算乘方和立方根以及化簡絕對值，再計算乘法，最后進行加減運算即可．【解答】解：-=-9+9=-9-1+2=2【點評】本題主要考查實數(shù)的混合運算，掌握實數(shù)的混合運算法則是關(guān)鍵．2．（2024春?中山市期末）計算：4+【分析】先算算術(shù)平方根，立方根以及絕對值，再算加減法，即可求解．【解答】解：4=2-4+3+3=3【點評】本題主要考查實數(shù)的混合運算．熟練掌握實數(shù)運算法則是關(guān)鍵．3．（2024春?新興縣期末）計算：|1-2【分析】先計算絕對值，立方根，算術(shù)平方根，再合并即可．【解答】解：|1-=2=2【點評】本題考查的是實數(shù)的混合運算，熟練掌握實數(shù)運算法則是關(guān)鍵．4．（2024春?崇陽縣期末）計算：25+【分析】根據(jù)實數(shù)的運算法則計算即可．【解答】解：原式=5+(-4)+2-(2-=1+3【點評】本題考查的是實數(shù)的運算，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2024春?潮州期末）計算：-1【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、算術(shù)平方根、立方根分別計算即可．【解答】解：-=-1-(6-2=-1-6+2=-10+2【點評】本題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握有理數(shù)的乘方、算術(shù)平方根、立方根的運算法則是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋?江都區(qū)月考）計算：（1）(1-2)（2）|1-3|+（﹣2）2-【分析】（1）利用算術(shù)平方根的定義，立方根的定義計算；（2）利用絕對值的定義，乘方運算計算．【解答】解：（1）(1-2＝1+（﹣2）+＝1﹣2+=1（2）|1-3|+（﹣2）2=3-1+4＝3．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的定義，立方根的定義，絕對值的定義，乘方運算．7．（2024?渝中區(qū)校級開學）計算：（1）-4（2）259【分析】（1）首先計算乘方，然后計算除法、乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可；（2）首先計算乘方和開平方，然后計算除法，最后計算加法，求出算式的值即可．【解答】解：（1）-＝﹣16+8×12-＝﹣16+4+1＝﹣11．（2）25=53+=53+=4【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．8．（2023秋?宿遷期末）計算：（1）(-2)2（2）16+|2-【分析】（1）先計算算術(shù)平方根、立方根和平方，再計算加減；（2）先計算算術(shù)平方根、立方根和絕對值，再計算加減．【解答】解：（1）(-2)＝2+2+3＝7；（2）16＝4+2-3=3-3【點評】此題考查了實數(shù)的混合運算能力，關(guān)鍵是能準確確定運算順序和方法，并能進行正確地計算．9．（2024春?兗州區(qū)校級期末）（1）25+|2-（2）(-3)【分析】（1）首先計算開平方和絕對值，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可；（2）首先計算乘方、開平方和開立方，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【解答】解：（1）25＝5+2-3+＝7+23．（2）(-3＝3-13×（﹣＝3+1+1＝5．【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．10．（2023秋?沈丘縣期末）計算：（1）3-（2）3-25+|3【分析】（1）先按照求立方根、求平方根的法則化簡，再進行實數(shù)的加減運算即可；（2）先按照求平方根、求立方根、絕對值的化簡法則計算，再合并同類項及同類二次根式即可．【解答】解：（1）3=-2＝﹣213（2）3-25+|=3-5+3=-7【點評】本題考查了求平方根、求立方根、絕對值的化簡等實數(shù)運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．題型二程序圖與實數(shù)的運算解題技巧提煉根據(jù)新程序設(shè)計圖的運算順序，先列出算式，然后再進行比較后，再進行下一步的運算即可解答.1．（2023春?江州區(qū)期末）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當輸入的x等于1時，輸出的y值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)數(shù)值轉(zhuǎn)換器規(guī)定的運算計算即可．【解答】解：當輸入x＝1時，第一次：12第二次：(6第三次：(11)∴y＝4；故選：B．【點評】本題考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟練掌握實數(shù)相關(guān)運算法則．2．（2023春?鐵東區(qū)校級月考）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當輸入的x為81時，輸出的y是（）A．3 B．9 C．9 D．±【分析】把64按給出的程序逐步計算即可．【解答】解：由題中所給的程序可知：把81取算術(shù)平方根，結(jié)果為9，因為9是有理數(shù)，所以再取算術(shù)平方根，結(jié)果為3，因為3是有理數(shù)，所以再取算術(shù)平方根，結(jié)果為3，是無理數(shù)，故y=3故選：A．【點評】本題考查了算術(shù)平方根的定義，實數(shù)的分類．解答此類題目的關(guān)鍵是弄清題目中所給的運算程序．3．有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當輸入的x的值為﹣512時，輸出的y的值是（）A．﹣2 B．-2 C．-33 【分析】把﹣512按給出的程序逐步計算即可．【解答】解：由題中所給的程序可知：把﹣512取立方根，結(jié)果為﹣8，因為﹣8是有理數(shù)，所以再取立方根為﹣2，因為﹣2是有理數(shù)，所以再取立方根為-3因為-3故選：D．【點評】本題考查了立方根，此類題目比較簡單，解答此類題目的關(guān)鍵是弄清題目中所給的運算程序．4．（2023秋?海曙區(qū)校級期中）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當輸入的x＝81時，輸出的y等于（）A．3 B．9 C．±3 D．【分析】將81代入得9，9是有理數(shù)，再將9代入得3，3是有理數(shù)，再將3代入得3，3是無理數(shù)，故y=3【解答】解：∵81=9，9∴把9輸入，9∴把3輸入，3∴y=故選：D．【點評】本題考查了算術(shù)平方根，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出值，再判斷其是否為無理數(shù)．5．有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示．當輸入的x為﹣512時，輸出的y是（）A．﹣2 B．-2 C．-33 【分析】根據(jù)題意得，當x＝﹣512時，3512=-8，﹣8是有理數(shù)，將﹣8作為輸入值重新計算，當x＝﹣8時，3-8=-2，﹣2是有理數(shù)，將﹣2作為輸入值重新計算，當x【解答】解：根據(jù)題意得，當x＝﹣512時，3512=-8，﹣8是有理數(shù)，將﹣當x＝﹣8時，3-8=-2，﹣2當x＝﹣2時，立方根是3-2，-3故選：D．【點評】本題是一道關(guān)于立方根的題目，熟練掌握立方根的求法是解答題目的關(guān)鍵所在．6．（2024春?北京期中）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當輸入x的值為625時，輸出y的值是．【分析】把625按給出的程序逐步計算即可．【解答】解：由題中所給的程序可知：把625取算術(shù)平方根，結(jié)果為25，因為25是有理數(shù)，所以再取算術(shù)平方根為5，因為5是有理數(shù)，再取算術(shù)平方根為5．故答案為：5．【點評】本題考查了算術(shù)平方根，此類題目比較簡單，解答此類題目的關(guān)鍵是弄清題目中所給的運算程序．7．（2023?海東市二模）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當輸入x為64時，則輸出y的值是．【分析】由圖中的程序知：輸入x的值后，當x是無理數(shù)時，y=x；若x的值是有理數(shù)，將x的值再取算術(shù)平方根，直至輸出的結(jié)果為無理數(shù)，也就求出了y【解答】解：由題意，得：x＝64時，64=88是有理數(shù)，將8的值代入x中；當x＝8時，8=22，22故y的值是22．故答案為：22．【點評】本題考查了代數(shù)式的求值，弄清程序的計算方法是解答此類題的關(guān)鍵．8．有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，其原理如圖所示，當輸入的x為256時，輸出的y是．【分析】本題要先取x的平方根，再求絕對值，再求絕對值的算術(shù)平方根，判斷算術(shù)平方根是無理數(shù)還是有理數(shù)，如果是無理數(shù)，直接輸出即可，如果是有理數(shù)，繼續(xù)求算，據(jù)此可完成解答．【解答】解：∵±256=±16，|±16|＝16，16=4，∴把4輸入，4的平方根是±4=±2，|±2|＝2，2的算術(shù)平方根為2，2∴輸出的y是2．故答案為：2．【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，數(shù)值轉(zhuǎn)換器，解題關(guān)鍵是正確理解數(shù)值轉(zhuǎn)換器的原理．9．（2023秋?新化縣期末）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖．當輸入的x＝16時，輸出的y等于．【分析】根據(jù)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，輸入x＝16，進行計算即可．【解答】解：第1次計算得，16=4，而4因此第2次計算得，4=2，而2因此第3次計算得，2，2是無理數(shù)，故答案為：2．【點評】本題考查算術(shù)平方根，理解算術(shù)平方根、有理數(shù)、無理數(shù)的意義是正確解答的關(guān)鍵．題型三新定義與實數(shù)的運算解題技巧提煉根據(jù)新定義運算的法則，先列出算式，然后再進行實數(shù)的計算即可解答.1．（2024春?沙坪壩區(qū)校級期末）定義新運算：我們規(guī)定a＄b＝ab+2ab2（b≥0）．則2＄4A．32 B．36 C．68 D．64【分析】根據(jù)定義的新運算進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：2＄4＝24+2×2×42＝2×2+2×2×16＝4+64＝68故選：C．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，理解定義的新運算是解題的關(guān)鍵．2．（2024春?東港區(qū)校級月考）用“※”定義新運算：對于任意實數(shù)a、b，都有a※b＝2a2+b．例如3※4＝2×32+4＝22，那么3※2＝．【分析】原式利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：3※2＝2×3+2＝6+2＝8．故答案為：8【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．3．（2023秋?新都區(qū)期末）用“&”定義新運算：對于任意實數(shù)a，b，都有a&b＝b2﹣ab，例如4&1＝12?4×1＝﹣3，那么5&[3&（﹣2）]＝．【分析】根據(jù)新運算列式計算即可．【解答】解：原式＝5&[（﹣2）2﹣3×（﹣2）]＝5&（4+6）＝5&10＝102﹣5×10＝100﹣50＝50，故答案為：50．【點評】本題考查實數(shù)的運算，結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵．4．（2023?滕州市校級開學）在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“☆”，其規(guī)則為a☆b＝a2﹣b2，則（4☆3）☆13＝．【分析】利用新定義的規(guī)定列出算式運算即可．【解答】解：原式＝（42﹣32）☆13＝（16﹣9）☆13＝7☆13＝72﹣132＝49﹣169＝﹣120．故答案為：﹣120．【點評】本題主要考查了實數(shù)的運算，本題是新定義型，正確利用新定義的規(guī)定列出算式是解題的關(guān)鍵．5．（2023春?永善縣期中）定義運算“★”的運算法則為：a★b=a+2b，則（2★1）★7＝【分析】根據(jù)定義運用算術(shù)平方根進行代入、計算．【解答】解：由題意得，2★1=2+2×1=∴（2★1）★7＝2★7=2+2×7=2+14=16＝4，故答案為：4．【點評】此題考查了算術(shù)平方根求解方面新定義問題的求解能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用該定義和相關(guān)知識進行求解．6．（2024春?禹州市月考）對于任意的正數(shù)x、y定義運算?為：x?y=x-y(x≥y)A．22+33 B．33 C．2【分析】先根據(jù)定義新運算的公式分別計算3?2，12?18，然后再代入計算即可．【解答】解：∵3＞2，12＜18，∴3?2=3-2∴（3?2）+（12?18）=3=33故選：A．【點評】本題考查的是定義新運算，根據(jù)定義新運算公式進行計算是解決此題的關(guān)鍵．7．（2023?廣安）定義一種新運算：對于兩個非零實數(shù)a、b，a※b=xa+yb．若2※（﹣2）＝1，則（﹣3）※3的值是【分析】利用新定義的規(guī)定列式求得（x﹣y）的值，再利用新定義和整體代入的方法運算即可．【解答】解：∵2※（﹣2）＝1，∴x2+∴x﹣y＝2．∴（﹣3）※3==-13（x﹣=-1=-2故答案為：-2【點評】本題主要考查了實數(shù)的運算，本題是新定義型，理解新定義的規(guī)定并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．8．（2023?滕州市校級開學）在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“☆”，其規(guī)則為a☆b＝a2﹣b2，則（4☆3）☆13＝．【分析】利用新定義的規(guī)定列出算式運算即可．【解答】解：原式＝（42﹣32）☆13＝（16﹣9）☆13＝7☆13＝72﹣132＝49﹣169＝﹣120．故答案為：﹣120．【點評】本題主要考查了實數(shù)的運算，本題是新定義型，正確利用新定義的規(guī)定列出算式是解題的關(guān)鍵．9．（2023春?永善縣期中）定義運算“★”的運算法則為：a★b=a+2b，則（2★1）★7＝【分析】根據(jù)定義運用算術(shù)平方根進行代入、計算．【解答】解：由題意得，2★1=2+2×1=∴（2★1）★7＝2★7=2+2×7=2+14=16＝4，故答案為：4．【點評】此題考查了算術(shù)平方根求解方面新定義問題的求解能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用該定義和相關(guān)知識進行求解．10．（2023春?綦江區(qū)期中）用“?”表示一種新運算：對于任意正實數(shù)a?b=a2+b例如10?21=【分析】利用新運算的規(guī)定先算括號內(nèi)的，再算括號外的即可．【解答】解：原式=21?（(=21?=(=25＝5．故答案為：5．【點評】本題主要考查了實數(shù)的運算，本題是新定義型，理解新運算的規(guī)定并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．題型四實數(shù)運算的實際應(yīng)用解題技巧提煉實數(shù)的實際應(yīng)用主要是根據(jù)題意找到數(shù)量關(guān)系，然后利用算術(shù)平方根以及立方根的性質(zhì)進行計算即可解答.1．（2023春?廬陽區(qū)校級期中）某金屬冶煉廠將27個大小相同的立方體鋼鐵在爐火中熔化，鑄成一個長方體鋼鐵，此長方體的長、寬、高分別為160cm，80cm和40cm，求原來每個立方體鋼鐵的棱長．【分析】根據(jù)題意列出算式，計算即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意得：3160×80×4027=則原來正方體鋼鐵的棱長為803cm【點評】此題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（2024春?沂水縣校級月考）如圖，若正方形的面積為100cm2，李明同學想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為90cm2的長方形紙片，使它的長和寬之比為5：3，他能裁出符合要求的紙片嗎？若能，請求出該長方形紙片的長和寬，若不能，請說明理由．【分析】設(shè)長方形的長為5xcm，寬為3xcm，分別求出長方形的長和正方形的邊長，再比較大小即可得．【解答】解：設(shè)長方形的長為5xcm，寬為3xcm，由題意得，5x?3x＝90，解得x=6或∴長方形的長為56cm，寬為∵正方形的面積為100cm2，∴正方形的邊長為100=10(∵6＞∴56∴不能裁出長和寬之比為5：3的長方形．【點評】本題考查算術(shù)平方根，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題關(guān)鍵．3．（2024春?城廂區(qū)校級期中）一塊長方形空地面積為2800平方米，其長寬之比為7：4．（1）求這塊長方形空地的周長；（2）如圖，在空地內(nèi)修建“T字型”走道（橫向走道寬度不變）后將空地分割成兩個花壇（花壇1為正方形，花壇2為長方形，其長寬之比為2：1），花壇的總面積為2166平方米，寬度為2.5米的農(nóng)藥噴灑車能不能在走道上正常通行？【分析】（1）設(shè)長為7xm，寬為4xm，根據(jù)長方形空地面積為2800平方米，列出方程，求出長和寬，再利用周長公式進行計算即可；（2）設(shè)花壇2的寬為am，則花壇1的邊長和花壇2的長均為2am，根據(jù)花壇的總面積為2166平方米，列出方程，求出a的值，進行判斷即可．【解答】解：（1）∵長方形的長和寬之比為7：4，∴設(shè)長為7xm，寬為4xm，由題意，得：7x?4x＝2800，∴x2＝100，∴x＝10或x＝﹣10（舍去）；∴長為70m，寬為40m∴長方形的周長為2×（70+40）＝220m；（2）設(shè)花壇2的寬為am，則花壇1的邊長和花壇2的長均為2am，由題意，得：（2a）2+2a?a＝2166，∴6a2＝2166，∴a＝19或a＝﹣19（舍去）；∴花壇1邊長為38m，花壇2長為38m，寬為19m∵40﹣38＝2＜2.5∴不能正常通行．【點評】本題考查算術(shù)平方根的實際應(yīng)用，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．4．（2024春?平壩區(qū)月考）小明制作了一張邊長為16cm的正方形賀卡想寄給朋友．現(xiàn)有一個長方形信封如圖所示，長、寬之比為3：2，面積為420cm2．（1）求此長方形信封的長和寬．（2）小明能將這張賀卡不折疊就放入此信封嗎？請通過計算說明理由．【分析】（1）設(shè)長方形信封的長為3xcm，寬為2xcm，根據(jù)面積為420cm2列方程求解即可；（2）先求出賀卡的邊長，然后與信封的寬比較即可．【解答】解：（1）∵信封的長、寬之比為3：2，∴設(shè)長方形信封的長為3xcm，寬為2xcm，由題意得3x?2x＝420，∴x=∴長方形信封的長為370cm，寬為（2）正方形賀卡的邊長是16cm，∵70＞64，∴70＞∴270即信封的寬大于正方形賀卡的邊長，∴小明能將這張賀卡不折疊就放入此信封．【點評】本題考查算術(shù)平方根的應(yīng)用，以及無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是掌握由算術(shù)平方根的定義求出正方形賀卡的邊長．5．（2024春?思明區(qū)期末）依依需要一塊長、寬比為6：5且面積為120平方米的長方形舞臺幕布．現(xiàn)有兩塊閑置的邊長為9米的正方形布料，依依想按如圖所示的方式將兩塊正方形布料裁開后縫合成一塊大正方形布料，再將其大正方形沿邊裁剪出長方形舞臺幕布．（接縫處忽略不計）（1）縫合后大正方形的邊長為米；（2）依依能否裁剪出符合條件的長方形舞臺幕布，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義以及正方形的面積的計算方法進行計算即可；（2）求出長方形的長、寬，再估算無理數(shù)162的大小，比較長方形的長與162的大小即可．【解答】解：由2個邊長為9米的正方形通過裁剪拼成一個大正方形，因此大正方形的面積為9×9×2＝162（平方米），所以它的邊長為162=92故答案為：92；（2）設(shè)長方形舞臺幕布的長為6a米，則寬為5a米，由題意得，6a?5a＝120，解得a＝2或a＝﹣2＜0舍去，所以長方形的長為12米，寬為10米，∵144＜∴12＜162＜即12＜92＜13∴能裁剪出符合條件的長方形舞臺幕布．【點評】本題考查算術(shù)平方根，理解算術(shù)平方根的定義是正確解答的關(guān)鍵．6．（2024春?倉山區(qū)校級月考）某裝修公司現(xiàn)有一塊面積為64m2的正方形的木板，準備做裝飾材料用，設(shè)計師王師傅設(shè)計了如下兩種方案：方案一：沿著邊的方向裁出一塊面積為60m2的長方形裝飾材料；方案二：沿著邊的方向裁出一塊面積為60m2的長方形裝飾材料，且長寬比為4：3．王師傅設(shè)計的兩種方案是否可行？若可行，請幫助解決如何裁剪；若不可行，請說明理由．【分析】先求出正方形的邊長為8m，再分別求出兩種方案的長方形的長和寬，最后比較大小即可．【解答】解：方案一可行．∵正方形木板的面積為64m2，正方形木板的邊長為64=8(如圖所示，沿著EF裁剪，∵BC＝EF＝8m，∴只要使BE＝CF＝60÷8＝7.5（m）就滿足條件；方案二不可行．理由如下：設(shè)所裁長方形裝飾材料的長為4xm、寬為3xm，則4x?3x＝60，即12x2＝60，解得x=∴所裁長方形的長為45∵45∴所裁長方形的長大于正方形的邊長，∴方案二不可行．【點評】本題考查了一元二次方程、算術(shù)平方根的實際應(yīng)用和估算無理數(shù)的大?。_記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．題型五與實數(shù)相關(guān)的規(guī)律探究題解題技巧提煉首先根據(jù)已知數(shù)的特征歸納總結(jié)出這一列數(shù)變化規(guī)律,然后利用規(guī)律來解決問題是解題的關(guān)鍵．1．（2023春?集美區(qū)校級期中）已知按照一定規(guī)律排成的一列實數(shù)：﹣1，2，33，﹣2，5，36，-7，8，39，A．2021 B．-2021 C．32021 D【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，從而可以得到這一列數(shù)中的第2021個數(shù)．【解答】解：∵一列實數(shù)：﹣1，2，33，﹣2，5，36，-7，8，3∴每三個數(shù)為一組，每組出現(xiàn)的特點一樣，依次是這個數(shù)的負的算術(shù)平方根、算術(shù)平方根、立方根，∵2021÷3＝673…2，∴這一列數(shù)中的第2021個數(shù)應(yīng)是2021，故選：A．【點評】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，寫出相應(yīng)的數(shù)字．2．（2024?東昌府區(qū)一模）把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：第1組：1，3；第2組：5，7，9，11；第3組：13，15，17，19，21，23；第4組：25，27，29，31，33，35，37，39；現(xiàn)用（m，n）表示第m組從左往右數(shù)第n個數(shù)，則（21，5）表示的數(shù)是．【分析】根據(jù)已知條件數(shù)字的排列找到規(guī)律，用含m的代數(shù)式表示出第m組最后一個數(shù)，判斷出第20組最后一個奇數(shù)，進而可得答案．【解答】解：依題意，得：第m組中奇數(shù)的個數(shù)為2m個，∴第m組最后一個奇數(shù)為2×2(1+2+3?+m∴當m＝20時，第20組最后一個奇數(shù)為2×20×21﹣1＝839，當m＝21時，第21組從左往右奇數(shù)依次是為841，843，845，847，849，…，則（21，5）表示的數(shù)是849．故答案為：849．【點評】本題考查數(shù)字類規(guī)律的探究，找到數(shù)字類規(guī)律是關(guān)鍵．3．（2023春?海拉爾區(qū)期末）有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：-22，34，-14，516，-632，7【分析】先通過觀察分析得出這一列數(shù)的規(guī)律是(-1)n【解答】解：第1個數(shù)是-2第2個數(shù)是34第3個數(shù)是-1第4個數(shù)是516第5個數(shù)是-6第6個數(shù)是764……第n個數(shù)是(-1)n∴當n＝101時，(-1)∴第101個數(shù)是-102故答案為：-102【點評】本題考查探究數(shù)字規(guī)律，根據(jù)已知數(shù)歸納總結(jié)出這一列數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2023?潮安區(qū)模擬）將1、2、3、6按如圖所示方式排列，若規(guī)定（m，n）表示第m排從左往右第n個數(shù)，則（7，6）表示的數(shù)是．【分析】根據(jù)題中的規(guī)律確定出第6排和第7排的數(shù)字，即可求出所求．【解答】解：根據(jù)題中的規(guī)律得：第6排的數(shù)字為：6，1，2，3，6，1，第7排的數(shù)字為：2，3，6，1，2，3，6，∵第7排從左往右第6個數(shù)為3，∴（7，6）表示的數(shù)為3．故答案為：3．【點評】此題考查了算術(shù)平方根，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．5．（2023春?浦北縣校級月考）觀察分析下列數(shù)據(jù)，并尋找規(guī)律：2，5，8，11，14，17，…，根據(jù)規(guī)律可知第n個數(shù)據(jù)應(yīng)是．【分析】被開方數(shù)的規(guī)律是2、5、8、11、14、17……，從而可知第n個數(shù)的被開方數(shù)是3n﹣1，【解答】解：根據(jù)規(guī)律可知第n個數(shù)為3n故答案為：3n【點評】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是正確找出題中的規(guī)律，本題屬于基礎(chǔ)題型．6．（2023春?重慶期中）仔細觀察下列等式：1-12=12，2-25=225，3-310=3【分析】根據(jù)被開方數(shù)的變化規(guī)律即可求解．【解答】解：第一個等式為1-1第二個等式為2-2第三個等式為3-3第四個等式為4-4..．第n個等式是n-故答案為：n-【點評】本題考查了算術(shù)平方根，根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)的變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．題型六用計算器開方1．（2023?匯川區(qū)三模）某同學在用計算器估算6的算術(shù)平方根時，需要用到以下哪個鍵（）A． B． C． D．【分析】首先了解各個符號的含義，解決計算器各個按鍵的功能，就可以選出正確的結(jié)果．【解答】解：根據(jù)計算器的相關(guān)知識，可知答案為A．故選：A．【點評】本題考查計算器—數(shù)的開方，解題的關(guān)鍵是知道算術(shù)平方根的對應(yīng)按鍵．2．（2023?煙臺一模）若用我們數(shù)學課本上采用的科學計算器進行計算，依次按鍵，對應(yīng)的計算是（）A．23 B．32 C．33 D．【分析】根據(jù)按鍵的順序即可得出算式．【解答】解：根據(jù)按鍵順序可知算式為33故選：C．【點評】本題考查了科學計算器的使用與平方根，掌握“2ndF”與“立方根”鍵組合表示求一個數(shù)的立方根是關(guān)鍵．3．（2024?廣饒縣一模）利用教材中的計算器依次按鍵如下：，則計算器面板顯示的結(jié)果為（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．4【分析】根據(jù)算術(shù)平方根進行求解即可．【解答】解：9=3故選：B．【點評】本題主要考查了科學計算器的使用，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?稷山縣期中）在計算器上按鍵顯示的結(jié)果是（）A．﹣3 B．3 C．17 D．33【分析】首先要求同學們熟悉每個鍵的功能，才能熟練應(yīng)用計算器，這樣才能使用科學計算器進行計算．【解答】解：在計算器上按鍵是在計算25-8，結(jié)果為﹣3故選：A．【點評】本題主要考查了同學們能熟練應(yīng)用計算器，會用科學計算器進行計算．5．（2023秋?牟平區(qū)期末）利用計算器求0.87的值，正確的按鍵順序為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)用計算器算算術(shù)平方根的方法：先按鍵“”，再輸入被開方數(shù)，按鍵“＝”即可得到結(jié)果．【解答】解：采用的科學計算器計算0.87，按鍵順序正確的是：→0→．故選：D．【點評】本題考查的是利用計算器求算術(shù)平方根，正確使用計算器是解題的關(guān)鍵．6．A．計算23，按鍵： B．計算3+1，按鍵： C．計算3-2，按鍵：D．計算31.2，按鍵：【分析】根據(jù)利用科學計算器求平方根和立方根的方法，對題目中給出的四個選項逐一進行判斷即可得出答案．【解答】解：求23的按鍵順序是：，（，2，÷，3，），故選項A不正確，不符合題意；求3+1的按鍵順序是：，3，+，1，故選項B正確，符合題意；求3-2的按鍵順序是：2ndF，，﹣，2，故選項C求31.2的按鍵順序是：2ndF，，1，．，2，故選項D不正確，不符合題意．故選：B．【點評】此題主要考查了利用計算器求平方根和立方根，熟練掌握科學計算器的使用方法是解決問題的關(guān)鍵．7．（2024春?斗門區(qū)期末）有一個計算器，計算3時屏幕顯示的結(jié)果為1.7320508，從左往右數(shù)只有九位（包括小數(shù)點），現(xiàn)在想知道第十位的數(shù)字是什么，可以在這個計算器中計算下面哪一個式子的值（）A．103 B．10(3-1) C．100【分析】觀察屏幕顯示的結(jié)果，要想顯示第十位的數(shù)字，先減去個位數(shù)字1，再擴大10倍可得出．【解答】解：根據(jù)題意得：計算3時屏幕顯示的結(jié)果為1.7320508，想知道第十位的數(shù)字是什么，可以在這個計算器中計算10（3-1故選：B．【點評】此題考查了計算器﹣數(shù)的平方，熟練掌握計算器的使用方法是解本題的關(guān)鍵．題型七用計算器開方探究規(guī)律1．（2023?開遠市二模）如圖1，某計算器中、、三個按鍵，以下是這三個按鍵的功能．①：將熒幕顯示的數(shù)變成它的算術(shù)平方根；②：將熒幕顯示的數(shù)變成它的倒數(shù)；③：將熒幕顯示的數(shù)變成它的平方．小明輸入一個數(shù)據(jù)后，按照如圖2步驟操作，依次按照從第一步到第三步循環(huán)按鍵．若一開始輸入的數(shù)據(jù)為5，那么第2020步之后，顯示的結(jié)果是（）A．5 B．15 C．125 D【分析】根據(jù)題意分別計算出第1、2、3、4、5、6步顯示結(jié)果，從而得出數(shù)字的循環(huán)規(guī)律，利用周期規(guī)律求解可得．【解答】解：由題意知第1步結(jié)果為52＝25，第2步結(jié)果為125第3步結(jié)果為0.04=第4步結(jié)果為0.22＝0.04，第5步結(jié)果為10.04=第6步計算結(jié)果為25=5第7步計算結(jié)果為52＝25，……∴運算的結(jié)果以25、125、15、125、25∵2020÷6＝336……4，∴第2020步之后顯示的結(jié)果為125故選：C．【點評】題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)計算結(jié)果得出數(shù)字的循環(huán)規(guī)律．2．（2024春?銅梁區(qū)期末）某計算器中有、、三個按鍵，以下是這三個按鍵的功能．①：將屏幕顯示的數(shù)變成它的算術(shù)平方根；②：將屏幕顯示的數(shù)變成它的倒數(shù)；③：將屏幕顯示的數(shù)變成它的平方．輸入一個數(shù)據(jù)后，按照以下步驟操作，依次按照從第1步到第3步循環(huán)按鍵．例如：當輸入5時，第1步操作的結(jié)果是25，第2步操作的結(jié)果是125，第3步操作的結(jié)果是15，…．下列說法：①若開始輸入的數(shù)據(jù)為2，那么第5步操作之后，顯示的結(jié)果是4；②若開始輸入的數(shù)據(jù)為a（a＞0），那么第2025步操作之后，顯示的結(jié)果是1a③若開始輸入一個數(shù)據(jù)a（a＞0），經(jīng)過若干步操作后，得到的結(jié)果為16，則a有6種不同的值；正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】通過計算找到數(shù)字的變化規(guī)律，分析每個說法是否正確．【解答】解：①若開始輸入的數(shù)據(jù)為2，第1步操作的結(jié)果是4，第2步操作的結(jié)果是14，第3步操作的結(jié)果是12，第4步操作的結(jié)果是14，第5②若開始輸入的數(shù)據(jù)為a（a＞0），按照該步驟操作，每次顯示的結(jié)果依次是：a2、1a2、1a、1a2、a2、a、?，每6次操作的結(jié)果是一個循環(huán)；因為2025÷6＝337??3，因此第2025③根據(jù)②的分析，當輸入a時，經(jīng)過若干步操作后，得到的結(jié)果有4種情況：a2、1a2、1a、a，可計算出a綜上，正確的個數(shù)是2．故選：C．【點評】本題主要考查了