第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高三（上）10月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|y=x+1},B={y|y=x2A.[0,1) B.(?∞,1) C.[?1,1) D.[?1,1]2.雙曲線C：y24?x2=1A.12 B.22 C.3.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a4A.5 B.9 C.?9 D.?54.已知實(shí)數(shù)a>0，b>1滿足a+b=5，則2a+1b?1A.3+224 B.3+4245.已知函數(shù)f(x)=a2ax?1+a(a>0且A.2 B.4 C.6 D.86.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，它的側(cè)面展開圖是圓心角為π的扇環(huán)，則該圓臺(tái)的體積為(

)A.733π B.837.已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，且f(x)在(1,+∞)上單調(diào)，若a>0，b>0，且f(a)+f(b)=0，則2a+8bA.4 B.92 C.8 D.8.如圖是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1A.π3

B.2π3

C.4π3二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法中，正確的是(

)A.回歸直線y?=b?x+a?可以不經(jīng)過樣本中心

B.可以用相關(guān)系數(shù)r刻畫兩個(gè)變量的相關(guān)程度強(qiáng)弱，r值越大兩個(gè)變量的相關(guān)程度越強(qiáng)

C.殘差圖中，殘差點(diǎn)所在的水平帶狀區(qū)域越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高

D.根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2=4.712，根據(jù)小概率值α=0.05的10.已知函數(shù)f(x)=2sin(x2?πA.x=?π3為函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸 B.f(x)在區(qū)間[π,2π]上單調(diào)遞增

C.f(x)在區(qū)間[?π,π]上的值域?yàn)閇?2,1] D.f(x)在區(qū)間[0,4π]上有11.已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)M(1,3)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.|PF|的最小值為2

B.拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱

C.過點(diǎn)M與拋物線C有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有一條

D.點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與到焦點(diǎn)F距離之和的最小值為4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在(1+2x)5的展開式中含x213.已知x>?1，y>0且滿足x+2y=1，則1x+1+2y的最小值為14.已知函數(shù)f(x)=1,x>00,x=0?1,x<0，a、b、c是平面內(nèi)三個(gè)不同的單位向量.若四、解答題：本題共4小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題20分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2b=c+2acosC．

(1)求A；

(2)若△ABC的周長(zhǎng)為9，面積為334，求16.(本小題20分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)實(shí)軸端點(diǎn)分別為A1(?a,0)，A2(a,0)，右焦點(diǎn)為F，離心率為2，過A1點(diǎn)且斜率1的直線l與雙曲線C交于另一點(diǎn)B，已知△A1BF的面積為92．

(1)求雙曲線的方程；

17.(本小題20分)

電信詐騙是指通過電話、網(wǎng)絡(luò)和短信方式，編造虛假信息，設(shè)置騙局，對(duì)受害人實(shí)施遠(yuǎn)程詐騙的犯罪行為.隨著5G時(shí)代的全面來臨，借助手機(jī)、網(wǎng)銀等實(shí)施的非接觸式電信詐騙迅速發(fā)展蔓延，不法分子甚至將“魔爪”伸向了學(xué)生.為了調(diào)查同學(xué)們對(duì)“反詐”知識(shí)的了解情況，某校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查.若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為20n(n∈N?)，統(tǒng)計(jì)得到以下列聯(lián)表.經(jīng)過計(jì)算，依據(jù)小概率值α=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)“反詐”知識(shí)的了解與性別有關(guān)，但依據(jù)小概率值α=0.01性別不了解了解合計(jì)女生10n男生5n合計(jì)(1)求n的值；

(2)將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從全校男生中隨機(jī)抽取5人，記其中對(duì)“反詐”知識(shí)了解的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

(3)為了增強(qiáng)同學(xué)們的防范意識(shí)，該校舉辦了主題為“防電信詐騙，做反詐達(dá)人”的知識(shí)競(jìng)賽.已知全校參加本次競(jìng)賽的學(xué)生分?jǐn)?shù)η近似服從正態(tài)分布N(80,25)，若某同學(xué)成績(jī)滿足μ?σ≤η≤μ+2σ，則該同學(xué)被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”；若η>μ+2σ，則該同學(xué)被評(píng)為“反詐達(dá)人”．

(i)試判斷分?jǐn)?shù)為88分的同學(xué)能否被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”；

(ii)若全校共有50名同學(xué)被評(píng)為“反詐達(dá)人”，試估計(jì)參與本次知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù).(四舍五入后取整)

附：χ2=n(ad?bc)α0.100.050.0250.010.001x2.7063.8415.0246.63510.828若x～N(μ,σ2)，則P(μ?σ≤x≤μ+σ)=0.6827，P(μ?2σ≤x≤μ+2r)=0.9545，18.(本小題20分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(2,0)到C的一條漸近線的距離為3．

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P在C的右支上，過點(diǎn)P作圓O：x2+y2=32的兩條切線，一條與C的左支交于點(diǎn)M，另一條與C的右支交于點(diǎn)N(異于點(diǎn)P)答案解析1.【答案】C

【解析】解：因?yàn)锳={x|y=x+1}={x|x≥?1}=[?1,+∞)，B={y|y=x2+1}={y|y≥1}=[1,+∞)，

所以(?RB)=(?∞,1)，

所以A∩(?RB)=[?1,1)．2.【答案】D

【解析】解：因?yàn)殡p曲線方程為C：y24?x2=1，所以a=2，b=1，

所以漸近線方程為y=±2x，

即得m=±2，所以|m|=2．

故選：D．

3.【答案】A

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

由a4=4a3?4a2，可得a2q2=4a2q?44.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閍>0，b>1，所以b?1>0，

又滿足a+b=5，

則2a+1b?1=(2a+1b?1)[a+(b?1)]×14，

=14[3+2(b?1)a+ab?15.【答案】C

【解析】解：由題意知函數(shù)的定義域?yàn)??∞,0)∪(0,+∞)，

因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，則f(?x)=?f(x)，

所以a2a?x?1+a=?a2ax?1?a，

得a2?ax1?ax+a2ax?1+2a=0，

故?6.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，

圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是圓心角為π的扇環(huán)，

所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)度為2π×(2?1)π=2，

所以圓臺(tái)的高為?=22?(2?1)2=3，

7.【答案】D

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，且f(x)在(1,+∞)上單調(diào)，

若a>0，b>0，且f(a)+f(b)=0，則a+b=2，

則2a+8b=a+ba+4a+4bb=5+ba+4ab≥5+2b8.【答案】C

【解析】解：連接它們的交線后如下圖所示，

即兩個(gè)三棱錐D?A1BC1，B1?AD1C的公共部分為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正八面體，

作SR，WT的中點(diǎn)M，N，設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，

所以PS=2，SM=22，PM=PN=2?12=62，

由對(duì)稱性可知，O為正方形RSWT的中心，

所以O(shè)M=29.【答案】CD

【解析】解：A中，回歸直線y?=b?x+a?一定經(jīng)過樣本中心，所以A錯(cuò)誤；

B中，相關(guān)系數(shù)r是用來刻畫兩個(gè)變量的相關(guān)程度強(qiáng)弱，|r|值越大兩個(gè)變量的相關(guān)程度越強(qiáng)，所以B錯(cuò)誤；

C中，在殘差圖中，若殘差點(diǎn)所在的水平帶狀區(qū)域越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高，所以C正確；

D中，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，可得變量X與Y有關(guān)聯(lián)，且推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05，所以D正確．

故選：CD．

根據(jù)回歸直線方程的特征，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)相關(guān)系數(shù)r的定義，可得判定B10.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于A，x=?π3時(shí)，x2?π3=?π2，此時(shí)函數(shù)f(x)取最小值，故x=?π3為函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，故A正確；

對(duì)于B，x∈[π,2π]時(shí)，x2?π3∈[π6,2π3]，而y=2sinx在[π6,π2]上單調(diào)遞增，在(π2,2π3]上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，x∈[?π,π]時(shí)，x2?π3∈[?5π6,π6]，y=2sinx在[?5π6,?π2]上單調(diào)遞減，在(?π2,π6]上單調(diào)遞增，

則?2≤f(x)≤1，故C正確；

對(duì)于D，x∈[0,4π]11.【答案】AB

【解析】【分析】

本題考查拋物線的性質(zhì)及幾何意義，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．

根據(jù)焦半徑公式結(jié)合條件判斷A，由拋物線的對(duì)稱性判斷B，由直線與拋物線的位置關(guān)系判斷C，結(jié)合拋物線的定義，把

PF

轉(zhuǎn)化為

P

到準(zhǔn)線的距離后可求得題中距離和的最小值判斷D．

【解答】解：設(shè)

P(x0,y0)

，則

x02=4y對(duì)A，由題可知

PF=y0+1≥1

，

y0=0

時(shí)，等號(hào)成立，所以

PF對(duì)B，拋物線的焦點(diǎn)在

y

軸上，拋物線關(guān)于

y

軸對(duì)稱，B錯(cuò)；對(duì)C，由題知點(diǎn)

M

在拋物線的內(nèi)部(含有焦點(diǎn)的部分)，因此過

M

與對(duì)稱軸平行的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，其他直線與拋物線都有兩個(gè)公共點(diǎn)，C正確；對(duì)D，記拋物線的準(zhǔn)線為

l

，準(zhǔn)線方程為

y=?1

，過

P

作

PH⊥l

于

H

，過

M

作

MN⊥l

于

N

，則

PF=PH

，

PM所以當(dāng)

M,P,H

三點(diǎn)共線，即

H

與

N

重合時(shí)，

PM+PF

最小，最小值為

3+1=4

.故選：AB．12.【答案】40

【解析】解：(1+2x)5的展開式的通項(xiàng)公式Tr+1=C5r(2x)r=2rC5rxr，

則含x2的項(xiàng)是T3=13.【答案】92【解析】【分析】本題考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．

由題意可得x+1>0，且(x+1)+2y=2，可得1x+1【解答】

解：∵x>?1，y>0且滿足x+2y=1，

∴x+1>0，且(x+1)+2y=2，

∴1x+1+2y=12(1x+1+2y)[(x+1)+2y]

=52+114.【答案】(1,【解析】解：由題意可知，f(a,b),f(b,c),f(a,c)三者全為0或一個(gè)為1，一個(gè)為?1，一個(gè)為0，

當(dāng)全為0時(shí)，可知a,b,c兩兩垂直，不符合題意；

所以必為一個(gè)為1，一個(gè)為?1，一個(gè)為0，不妨設(shè)f(a?b)=0,f(b?c)=?1，f(a?c)=1，

由函數(shù)f(x)=1,x>00,x=0?1,x<0，可知b?c<0,a?c>0,a?b=0，

不妨設(shè)a=(1,0)，b=(0,1)，c=(cosθ,sinθ)，θ∈(?π,π]，

所以a?15.【答案】A=π3；

【解析】(1)根據(jù)2b=c+2acosC，由正弦定理得2sinB=sinC+2sinAcosC，

在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA，

則2sinAcosC+2cosAsinC=sinC+2sinAcosC，整理得2cosAsinC=sinC，

結(jié)合sinC>0，可得cosA=12，又A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)由(1)得S△ABC=12bcsinA=34bc=334，解得bc=3，

根據(jù)△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=9，可得b+c=9?a，

16.【答案】解：(1)設(shè)直線l的方程為y=x+a，

聯(lián)立y=x+ax2a2?y2b2=1，得y=2ab2b2?a2，

又e=ca=2，c2=a2+b2，代入上式得

所以y=3a，即yB=3a，

所以S△A1BF=12(a+c)?3a=92，解得a=1，

所以b=3，c=2，

所以雙曲線的方程為x2?y23=1．

(2)當(dāng)直線l′的斜率不存在時(shí)，M(2,3)，N(2,?3)，

直線A1M的方程為y=x+1，

直線A2N的方程為y=?3x+3，

聯(lián)立直線A1M與直線A2N的方程可得的Q(12,32)，

當(dāng)直線l′【解析】本題考查雙曲線的方程，直線與雙曲線相交問題，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于較難題．

(1)設(shè)直線l的方程為y=x+a，聯(lián)立雙曲線的方程，解得B點(diǎn)的坐標(biāo)，再由三角形A1BF的面積解得a，b，c，進(jìn)而可得答案．

(2)當(dāng)直線l′的斜率不存在時(shí)，得M(2,3)，N(2,?3)，寫出直線A1M，A2N的方程，聯(lián)立解得Q點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)直線l′的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l′的方程為y=k(x?2)，M(x1,y1)，17.【答案】解：(1)由已知，完成列聯(lián)表，性別不了解了解合計(jì)女生10n10n20n男生5n15n20n合計(jì)15n25n40n由題意χ2=40n×(150n2?50n2)220n×20n×25n×15n=8n3，

根據(jù)條件，可得5.024≤8n3<6.635，解得1.884≤n<2.488，

因?yàn)閚∈N?，所以n=2．

(2)由(1)知，樣本中的男生對(duì)“反詐”知識(shí)了解的頻率為是34，

用樣本估計(jì)總體，從全校男生中隨機(jī)抽取一人，

對(duì)“反詐”知識(shí)了解的概率為34，則X～B(5,34)X012345P11545135405243所以E(X)=5×34=154=3.75．

(3)(i)μ=80，σ=5，那么75<88<90，

則該同學(xué)能被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”．

(ii)設(shè)全校參與本次競(jìng)賽的人數(shù)為n，

“反詐達(dá)人”的概率為P(η>μ+2σ)=12[1?P(μ?2σ<η<μ+2σ)]=12×(1?0.9545)=0.0