2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)探究式學(xué)習(xí)試卷一、綜合探究題（共60分）（一）生活中的幾何奧秘（20分）背景：某中學(xué)計(jì)劃在校園內(nèi)修建一個(gè)矩形花壇，要求花壇的面積為36平方米，且長比寬多3米。為了美觀，花壇四周需鋪設(shè)寬度相同的鵝卵石小路，小路總面積為21平方米。探究任務(wù)：問題提出：設(shè)花壇的寬為(x)米，用含(x)的代數(shù)式表示花壇的長，并列出關(guān)于(x)的一元二次方程，求出花壇的長和寬。方案設(shè)計(jì)：若小路的寬度為(a)米，用含(a)的代數(shù)式表示整個(gè)花壇與小路組成的大矩形的長和寬，列出關(guān)于(a)的方程并求解。拓展思考：若將鵝卵石小路改為寬度為1米的正方形石板鋪成的“回”字形路徑（如圖1），計(jì)算需要多少塊邊長為0.5米的正方形石板（石板可切割，不計(jì)損耗）。要求：寫出完整的解題過程，包括方程的建立、求解及結(jié)果驗(yàn)證；用直尺和圓規(guī)在答題紙上畫出花壇與小路的示意圖（標(biāo)注尺寸）；小組合作完成方案設(shè)計(jì)，提交一份包含3種不同鋪設(shè)方案的對(duì)比分析報(bào)告（從成本、美觀、施工難度等方面說明）。（二）運(yùn)動(dòng)中的函數(shù)關(guān)系（20分）背景：小明和小紅在400米環(huán)形跑道上練習(xí)長跑，小明的速度為6米/秒，小紅的速度為4米/秒。兩人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，同向而行。探究任務(wù)：問題建模：設(shè)出發(fā)后經(jīng)過(t)秒，小明第一次追上小紅，列出關(guān)于(t)的方程并求解，解釋結(jié)果的實(shí)際意義。圖像分析：在平面直角坐標(biāo)系中畫出兩人跑步路程(s)（米）與時(shí)間(t)（秒）的函數(shù)圖像（至少包含一次相遇過程），標(biāo)出交點(diǎn)坐標(biāo)并說明其含義。變式探究：若小紅提前10秒出發(fā)，小明再從起點(diǎn)同向追趕，計(jì)算小明追上小紅時(shí)跑過的總路程。若改為相向而行，兩人第一次相遇需要多少時(shí)間？要求：函數(shù)圖像需標(biāo)注坐標(biāo)軸名稱、單位長度及關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)；對(duì)比同向與相向運(yùn)動(dòng)中函數(shù)圖像的差異，總結(jié)相遇問題的解題規(guī)律；設(shè)計(jì)一個(gè)“不同速度下的追及游戲”，用表格記錄3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并驗(yàn)證結(jié)論。（三）數(shù)據(jù)的收集與分析（20分）背景：某班級(jí)50名學(xué)生的數(shù)學(xué)期中考試成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?5,92,78,90,88,75,82,95,89,80,76,93,85,87,83,91,79,86,84,94,81,77,88,90,85,82,89,78,86,83,92,80,87,84,79,85,91,88,81,76,89,83,86,90,82,77,85,88,93,84.探究任務(wù)：數(shù)據(jù)整理：將成績按分?jǐn)?shù)段（70-79,80-89,90-100）分組，繪制頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，計(jì)算各分?jǐn)?shù)段的頻率。統(tǒng)計(jì)分析：求出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，解釋它們分別反映了數(shù)據(jù)的什么特征。若90分以上為優(yōu)秀，計(jì)算優(yōu)秀率和及格率（60分以上為及格）。問題反思：如果一名學(xué)生的成績?yōu)?5分，他在班級(jí)中的排名大約是多少？結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，分析該班級(jí)成績的分布特點(diǎn)，給老師提出一條教學(xué)改進(jìn)建議。要求：統(tǒng)計(jì)圖需標(biāo)注標(biāo)題、坐標(biāo)軸、數(shù)據(jù)及百分比；用計(jì)算器計(jì)算平均數(shù)（保留一位小數(shù)），寫出計(jì)算過程；以小組為單位，設(shè)計(jì)一份“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣調(diào)查問卷”（包含5個(gè)問題），并預(yù)測調(diào)查結(jié)果對(duì)成績的影響。二、開放探究題（共40分）（一）圖形的變換與證明（20分）背景：如圖2，在正方形(ABCD)中，點(diǎn)(E)是邊(BC)上的一動(dòng)點(diǎn)（不與(B,C)重合），連接(AE)，將(\triangleABE)沿(AE)折疊，點(diǎn)(B)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(B')。探究任務(wù)：操作發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)(E)為(BC)中點(diǎn)時(shí)，畫出折疊后的圖形，判斷(B')是否落在對(duì)角線(AC)上，并證明你的結(jié)論。動(dòng)態(tài)分析：若(AB=4)，設(shè)(BE=x)，用含(x)的代數(shù)式表示(\triangleCEB')的面積，求出面積的最大值及此時(shí)(x)的值。拓展延伸：若將正方形改為矩形(ABCD)（(AB=6,BC=8)），重復(fù)上述探究，比較兩種圖形中結(jié)論的異同。要求：證明過程需寫出依據(jù)（如“全等三角形判定定理”“勾股定理”等）；用函數(shù)圖像描述面積隨(x)的變化趨勢，結(jié)合幾何意義解釋增減性；設(shè)計(jì)一個(gè)“圖形折疊”的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，用照片或視頻記錄操作過程（提交至教師郵箱）。（二）數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用（20分）背景：某電商平臺(tái)銷售一種成本為20元/件的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)為30元/件時(shí)，每天可售出100件；售價(jià)每上漲1元，銷量減少5件；售價(jià)每下降1元，銷量增加10件。探究任務(wù)：利潤計(jì)算：設(shè)商品售價(jià)為(x)元/件（(x\geq20)），寫出每天的利潤(y)（元）與(x)的函數(shù)關(guān)系式，求出利潤的最大值及對(duì)應(yīng)的售價(jià)。方案優(yōu)化：若平臺(tái)規(guī)定售價(jià)不得低于成本，且不高于40元/件，在該范圍內(nèi)如何定價(jià)能使利潤最大？若需繳納銷售額10%的稅費(fèi)，利潤會(huì)如何變化？實(shí)際決策：結(jié)合當(dāng)前市場競爭，提出3條增加利潤的建議（如促銷活動(dòng)、成本控制等），并說明每條建議的數(shù)學(xué)依據(jù)。要求：函數(shù)關(guān)系式需注明自變量取值范圍，通過配方或求導(dǎo)（選學(xué)）求出最值；用表格對(duì)比不同售價(jià)下的銷量與利潤，驗(yàn)證結(jié)論的合理性；撰寫一份簡短的“商品定價(jià)報(bào)告”，包含數(shù)據(jù)圖表和具體方案。三、實(shí)踐探究題（共20分）主題：測量學(xué)校旗桿的高度工具：卷尺、測角儀（或自制工具，如含30°角的直角三角板）、記錄本。探究任務(wù)：方案設(shè)計(jì)：至少設(shè)計(jì)兩種測量方法（如“相似三角形法”“三角函數(shù)法”），寫出每種方法的原理、步驟及所需數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)采集：小組合作進(jìn)行實(shí)地測量，記錄3組原始數(shù)據(jù)（如影長、測角儀高度、仰角等），計(jì)算旗桿高度的平均值。誤差分析：分析測量過程中可能產(chǎn)生誤差的原因（至少3點(diǎn)），提出改進(jìn)措施。要求：提交測量過程的照片（需包含小組成員、工具和場景）；計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù)，寫出完整的公式推導(dǎo)過程；對(duì)比不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)，說明哪種方法更適合在陰天（無影子）時(shí)使用。