2025上海市八年級升九年級暑假數(shù)學(xué)銜接講義 第14講 第25章引入 勾股定理、30°角性質(zhì) (三大題型)(原卷版)_第1頁
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文檔簡介

第14講第25章引入勾股定理、30°角性質(zhì)(二大題型)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握勾股定理及其逆定理;2、能運(yùn)用直角三角形30°角的性質(zhì)及推論;3、初步學(xué)會(huì)Rt△中由確定角度,到確定長度(關(guān)系)。一、三角形的六要素(以直角三角形為例)三個(gè)角:A、B、C三條邊:a、b、c二、勾股定理及其逆定理勾股定理(數(shù)學(xué)符號語言):在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴a2+b2=c2勾股定理逆定理:∵a2+b2=c2,∴∠C=90°(即△ABC是Rt△ABC)【即學(xué)即練1】如圖,在中,于點(diǎn)D,,,.(1)求的長;(2)求的度數(shù).直角三角形中30°角的性質(zhì)性質(zhì):在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=30°,則推論:在Rt△ABC中,∠C=90°,若,則∠A=30°【即學(xué)即練1】如圖,在中,于點(diǎn)D,,,.(1)求的長;(2)求的度數(shù).【即學(xué)即練2】如圖,中,,,是邊上的高.若,則CD=題型1:勾股定理及其逆定理【典例1】.如圖,在中,,,則(

)A. B. C. D.6【典例2】.下列三個(gè)數(shù)中,能組成一組勾股數(shù)的是(

)A.,, B.,,C.12,15,9 D.,,【典例3】.在中,斜邊,則等于(

)A.8 B.4 C.6 D.以上都不對【典例4】.已知直角三角形的兩邊長分別為3、4.則第三邊長為.【典例5】.如圖,的頂點(diǎn),,在邊長為的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,則邊長的高為(

)A. B. C. D.【典例6】.如圖,已知1號、4號兩個(gè)正方形的面積之和為7,2號、3號兩個(gè)正方形的面積之和為4,則a、b、c三個(gè)正方形的面積之和為(

)A.11 B.15 C.10 D.22【典例7】.如圖,在中,,則的面積.【典例8】.如圖所示,是一塊地的平面圖,其中米,米,米,米,,求這塊地的面積.

【典例9】.如圖,△ABC為一張紙片,AB=3,AC=9,BC=,現(xiàn)將△ABC折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合,折痕為DE.則DC長為【典例10】.如圖,四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ABC=135°,CD=6,AB=2,則四邊形ABCD的面積為題型2:直角三角形30°角的性質(zhì)及其幾何應(yīng)用【典例11】.在中,,則為(

)A.4 B.2 C.1 D.不能確定【典例12】.如圖,的三個(gè)內(nèi)角比為1:1:2,且,則∠CBD是(

)A.5° B.10° C.15° D.45°【典例13】.如圖,在中,,,,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),則AP長不可能是(

)A.5 B.4 C.7 D.6【典例14】.如圖,在中,,,,,則為cm.【典例15】.如圖,在中,,,則點(diǎn)B到邊的距離為.【典例16】.如圖,中,AD為中線,,,,則AC長(

)A.2.5 B.2 C.1 D.1.5【典例17】.如圖,在中,,,的垂直平分線交于點(diǎn),交于點(diǎn),若,求的長.【典例18】.如圖,在中,,,是邊上的中線,的垂直平分線交于點(diǎn),交于點(diǎn),點(diǎn)是上一點(diǎn),且.(1)求證:;(2)若,求的長.題型3:勾股定理與直角三角形30°角的性質(zhì)綜合【典例19】.如圖,在中,,,,垂直平分,分別交邊、于點(diǎn)、,連結(jié).

(1)求的度數(shù);(2)求的長.【典例20】.如圖,在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,邊AC的垂直平分線分別交邊BC、AC于點(diǎn)D、E,DC=6.求AB的長.【典例21】.如圖,在中,,,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,,于點(diǎn)E,求BE的長.【典例22】.如圖,在中,,,D是邊的中點(diǎn),交于點(diǎn)E.(1)求的度數(shù);(2)過點(diǎn)C作垂直于,垂足為點(diǎn)F,如果.求的長.【典例23】.已知,如圖,在中,為邊上的中線,且,.

(1)求證:;(2)若,,求的長.【典例24】.如圖,在四邊形中,,,.

(1)求證::(2)如果平分,且,求的面積.【典例25】.如圖,中,,,,點(diǎn)分別是邊、上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,過點(diǎn)作交射線于點(diǎn),交線段于點(diǎn),設(shè)

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí),求的面積;(2)如圖2,設(shè)當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí),,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并求出定義域;(3)若為直角三角形,求的值.一、單選題1.在中,,,的對邊分別是a,b,c,且,則(

)A. B. C. D.不確定哪個(gè)角是直角2.如圖,,,,,則()A.3 B.4 C. D.53.如圖:在中,,,BE平分,交AC于E,則(

).A.2 B.1 C. D.4.如圖所示,在中,,,D為斜邊的中點(diǎn).若,則的長為(

)A.4 B.5 C.6 D.75.如圖,在等邊中,,,,則的長度為(

)A.2 B.4 C. D.6.如圖,在中,,垂直平分,分別交于點(diǎn)D、E,平分,,,則的長為(

A. B. C.4 D.67.如圖,中,為中點(diǎn),在上,且.若,,則的長度是(

A.5 B. C.6 D.8.如圖,在中,AB=AC,∠B=30°,AD⊥AB,AD=4,則下列各式中正確的是(

A.AB=8 B.BC=16 C.DC=4 D.BD=109.如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=4cm,D為BC的中點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā),沿著A→B的方向運(yùn)動(dòng),聯(lián)結(jié)DE,當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí),BE的值為()A.4 B.1 C.4或1 D.4或710.如圖,在等邊中,,點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn),將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,點(diǎn)D是邊的中點(diǎn),連接,則的最小值是(

)A. B. C. D.二、填空題11.已知,如圖所示,Rt△ABC的周長為4+2,斜邊AB的長為2,則Rt△ABC的面積為.12.△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,則BC∶AC∶AB=.13.在中,,平分,交于,如果,那么.14.如圖,在中,,,是等邊三角形,,則.15.如圖,在中,,,斜邊BC的垂直平分線交邊AB于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)D,取線段BE的中點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)DF,如果,則.16.在中,,點(diǎn)是重心,如果,,那么.17.如圖,直線AB與x軸交于點(diǎn),與x軸夾角為30°,將沿直線AB翻折,點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)C恰好落在雙曲線上,則k的值為.18.在中,,,,(如圖),點(diǎn)D是的中點(diǎn),將沿直線翻折后點(diǎn)A落在點(diǎn)E,那么的長為.三、解答題19.房梁的一部分如圖所示,其中,點(diǎn)D是的中點(diǎn),且,垂足為E,求的長.20.如圖,在RtABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,AD為ABC角平分線,求CD的長度.21.如圖,,,,,把沿折疊,點(diǎn)折疊到點(diǎn),的延長線與射線交于點(diǎn).(1)求的長;(2)求的面積.22.如圖,四邊形ABCD中,∠C=90°,AD⊥DB,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),DE∥BC.(1)求證:BD平分∠ABC;(2)連接EC,若∠A=30°,DC=,求EC的長.23.已知,如圖在中,、分別是,邊上的高,、交于,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),.(1)求證:;(2)求證:.24.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn),以線段為一邊,在其一側(cè)作等邊.當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)處時(shí),記的位置為.

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)(不與重合)時(shí),求證:;(3)是否存在點(diǎn),使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?若存在,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.25.如圖,已知,,點(diǎn)、在射線上(點(diǎn)、不與點(diǎn)重合且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),連接、,為

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