2025注冊電氣工程師考試練習題及答案一、公共基礎(chǔ)部分（一）高等數(shù)學1.計算極限：$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}}{x^3}$答案：應用泰勒展開，$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-o(x^3)$，代入分子得$\frac{x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-x+\frac{x^2}{2}+o(x^3)}{x^3}=\frac{\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{x^3}$，極限為$\frac{1}{3}$。2.求解微分方程：$y''+2y'+5y=e^{-x}\cos2x$答案：特征方程$r^2+2r+5=0$，根$r=-1\pm2i$，齊次解$y_h=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)$。設特解$y_p=xe^{-x}(A\cos2x+B\sin2x)$，代入原方程求得$A=0$，$B=\frac{1}{4}$，通解$y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)+\frac{1}{4}xe^{-x}\sin2x$。（二）電路理論3.如圖1（注：假設圖中為RLC串聯(lián)電路，$R=10\Omega$，$L=0.1H$，$C=1000\muF$，電源$u(t)=100\sqrt{2}\sin(100t+30^\circ)V$），求電路的有功功率、無功功率和功率因數(shù)。答案：感抗$X_L=\omegaL=100\times0.1=10\Omega$，容抗$X_C=\frac{1}{\omegaC}=\frac{1}{100\times1000\times10^{-6}}=10\Omega$，阻抗$Z=R+j(X_L-X_C)=10\Omega$（諧振）。電流$I=\frac{U}{|Z|}=\frac{100}{10}=10A$，有功功率$P=I^2R=1000W$，無功功率$Q=0$，功率因數(shù)$\cos\varphi=1$。4.圖2（注：假設為一階RC電路，$R=2k\Omega$，$C=1\muF$，初始電壓$u_C(0^-)=0$，$t=0$時接入$10V$直流電源），求$t\geq0$時的電容電壓$u_C(t)$和電阻電流$i_R(t)$。答案：時間常數(shù)$\tau=RC=2\times10^3\times1\times10^{-6}=2\times10^{-3}s$。穩(wěn)態(tài)值$u_C(\infty)=10V$，零狀態(tài)響應$u_C(t)=10(1-e^{-t/\tau})=10(1-e^{-500t})V$，$i_R(t)=\frac{10-u_C(t)}{R}=5\times10^{-3}e^{-500t}A$。（三）電子技術(shù)5.共射極放大電路中，已知$V_{CC}=12V$，$R_b=470k\Omega$，$R_c=3k\Omega$，$R_L=3k\Omega$，三極管$\beta=80$，$r_{be}=1.5k\Omega$。求靜態(tài)工作點$I_{BQ}$、$I_{CQ}$、$U_{CEQ}$及電壓放大倍數(shù)$A_u$。答案：靜態(tài)時$I_{BQ}=\frac{V_{CC}-U_{BEQ}}{R_b}\approx\frac{12}{470\times10^3}\approx25.5\muA$（$U_{BEQ}=0.7V$可忽略），$I_{CQ}=\betaI_{BQ}\approx80\times25.5\muA=2.04mA$，$U_{CEQ}=V_{CC}-I_{CQ}R_c=12-2.04\times3\approx5.88V$。動態(tài)時$R_L'=R_c\parallelR_L=1.5k\Omega$，$A_u=-\beta\frac{R_L'}{r_{be}}=-80\times\frac{1.5}{1.5}=-80$。6.運算放大器組成的積分電路中，輸入$u_i(t)=2\sin(1000t)V$，$R=10k\Omega$，$C=1\muF$，初始$u_o(0)=0$，求輸出電壓$u_o(t)$。答案：積分電路公式$u_o(t)=-\frac{1}{RC}\intu_i(t)dt$，$RC=10\times10^3\times1\times10^{-6}=0.01s$，代入得$u_o(t)=-\frac{1}{0.01}\int2\sin(1000t)dt=-200\times(-\frac{\cos1000t}{1000})+C=0.2\cos1000t+C$，由初始條件$C=0$，故$u_o(t)=0.2\cos1000tV$。（四）工程經(jīng)濟7.某項目初始投資1000萬元，第1-5年每年凈收益300萬元，第6年凈收益200萬元，基準收益率10%，求凈現(xiàn)值（NPV）。答案：$NPV=-1000+300(P/A,10\%,5)+200(P/F,10\%,6)$。查表得$(P/A,10\%,5)=3.7908$，$(P/F,10\%,6)=0.5645$，計算得$NPV=-1000+300\times3.7908+200\times0.5645=-1000+1137.24+112.9=250.14$萬元。8.某設備原值50萬元，預計殘值5萬元，使用年限5年，用雙倍余額遞減法計算第3年折舊額。答案：年折舊率$=2/5=40\%$。第1年折舊$50\times40\%=20$萬元，凈值30萬元；第2年$30\times40\%=12$萬元，凈值18萬元；第3年$18\times40\%=7.2$萬元（注意最后兩年改用直線法，但前三年未到最后兩年，故直接計算）。二、專業(yè)基礎(chǔ)部分（一）電力系統(tǒng)分析9.簡單電力系統(tǒng)接線如圖3（注：假設為單電源輻射網(wǎng)，電源$U_s=110kV$，線路阻抗$Z=10+j20\Omega$，負荷$S_L=20+j15MVA$），求負荷端電壓$U_L$。答案：線路電流$I=\frac{S_L^}{U_s}=\frac{20-j15}{110}\approx0.1818-j0.1364kA$，線路壓降$\DeltaU=IZ=(0.1818-j0.1364)(10+j20)=0.1818\times10+0.1818\times20j-j0.1364\times10+0.1364\times20=(1.818+2.728)+j(3.636-1.364)=4.546+j2.272kV$。負荷端電壓$U_L=U_s-\DeltaU=110-(4.546+j2.272)\approx105.45-j2.272kV$，幅值約$105.47kV$。10.某110kV系統(tǒng)發(fā)生三相短路，系統(tǒng)電抗$X_s=0.15$（標幺值，基準容量$S_j=100MVA$，基準電壓$U_j=115kV$），線路電抗$X_L=0.2$，求短路電流周期分量有效值。答案：總電抗$X_{\Sigma}=0.15+0.2=0.35$，基準電流$I_j=\frac{S_j}{\sqrt{3}U_j}=\frac{100}{\sqrt{3}\times115}\approx0.502kA$，短路電流$I_k=\frac{I_j}{X_{\Sigma}}=\frac{0.502}{0.35}\approx1.434kA$。（二）電機學11.一臺單相變壓器，額定容量$S_N=10kVA$，額定電壓$U_{1N}/U_{2N}=220/110V$，空載試驗（低壓側(cè)）測得$U_2=110V$，$I_0=2A$，$P_0=100W$；短路試驗（高壓側(cè)）測得$U_k=10V$，$I_k=45.5A$，$P_k=200W$。求變壓器的變比$k$、空載電流標幺值$I_{0}$、短路阻抗標幺值$Z_{k}$及額定效率（功率因數(shù)$\cos\varphi=0.8$）。答案：變比$k=U_{1N}/U_{2N}=220/110=2$。低壓側(cè)額定電流$I_{2N}=S_N/U_{2N}=10000/110\approx90.91A$，空載電流標幺值$I_{0}=I_0/I_{2N}=2/90.91\approx0.022$。高壓側(cè)額定電流$I_{1N}=S_N/U_{1N}=10000/220\approx45.5A$，短路阻抗$Z_k=U_k/I_k=10/45.5\approx0.22\Omega$，基準阻抗$Z_j=U_{1N}^2/S_N=220^2/10000=4.84\Omega$，$Z_{k}=Z_k/Z_j=0.22/4.84\approx0.0455$。額定效率$\eta=(S_N\cos\varphi)/(S_N\cos\varphi+P_0+P_k)\times100\%=(10\times0.8)/(8+0.1+0.2)\times100\%\approx96.02\%$。12.一臺三相異步電動機，額定功率$P_N=10kW$，額定電壓$U_N=380V$，額定轉(zhuǎn)速$n_N=1450r/min$，功率因數(shù)$\cos\varphi_N=0.85$，效率$\eta_N=0.88$。求額定電流$I_N$和額定轉(zhuǎn)差率$s_N$。答案：額定電流$I_N=\frac{P_N}{\sqrt{3}U_N\cos\varphi_N\eta_N}=\frac{10000}{\sqrt{3}\times380\times0.85\times0.88}\approx20.2A$。同步轉(zhuǎn)速$n_1=1500r/min$（50Hz，4極），轉(zhuǎn)差率$s_N=(n_1-n_N)/n_1=(1500-1450)/1500\approx0.0333$。（三）高電壓技術(shù)13.某110kV線路絕緣子串由7片X-4.5型絕緣子組成（每片工頻濕閃電壓$U_{sw}=60kV$，泄漏距離$L=290mm$），求該絕緣子串的工頻濕閃電壓和爬電比距。答案：絕緣子串濕閃電壓$U_{串}=7\times60=420kV$（忽略片間電壓分布不均）。爬電比距$\lambda=\frac{\text{總泄漏距離}}{U_N}=\frac{7\times290}{110}\approx18.36mm/kV$（滿足110kV系統(tǒng)爬電比距16-20mm/kV的要求）。14.某變電站母線上有一組氧化鋅避雷器（MOA），額定電壓$U_r=100kV$，殘壓$U_{res}=250kV$，被保護設備的沖擊耐壓$U_=300kV$，求保護裕度。答案：保護裕度$K=(U_b-U_{res})/U_{res}\times100\%=(300-250)/250\times100\%=20\%$（一般要求不小于15%，滿足要求）。（四）繼電保護15.某110kV線路采用三段式距離保護，已知線路正序阻抗$Z_{1}=0.4\Omega/km$，長度$L=50km$，最大運行方式下系統(tǒng)等值阻抗$Z_{s.min}=10\Omega$，最小運行方式下$Z_{s.max}=20\Omega$，可靠系數(shù)$K_{rel}=1.2$，返回系數(shù)$K_{re}=1.1$，求第Ⅰ段保護整定阻抗$Z_{set.Ⅰ}$和第Ⅱ段保護動作時間。答案：第Ⅰ段保護范圍一般為線路全長的80%-85%，取80%，則$Z_{set.Ⅰ}=K_{rel}\times0.8\timesZ_{1}L=1.2\times0.8\times0.4\times50=19.2\Omega$（注：實際計算中$K_{rel}$通常取0.8-0.85，此處假設用戶要求可靠系數(shù)參與計算）。第Ⅱ段需與相鄰線路第Ⅰ段配合，假設相鄰線路第Ⅰ段整定阻抗$Z_{set.Ⅰ鄰}=15\Omega$，則$Z_{set.Ⅱ}=K_{rel}(Z_{1}L+Z_{set.Ⅰ鄰})=1.2\times(0.4\times50+15)=1.2\times35=42\Omega$。校驗最小運行方式下本線路末端短路時的靈敏度$K_{sen}=Z_{set.Ⅱ}/(Z_{s.max}+Z_{1}L)=42/(20+20)=1.05$（需≥1.25，不滿足，需延長動作時間，通常第Ⅱ段動作時間為0.5s）。16.某變壓器差動保護采用Y/Δ-11接線，高壓側(cè)電流互感器變比$n_{TA1}=1200/5$，低壓側(cè)$n_{TA2}=600/5$，高壓側(cè)線電流$I_{1}=1000A$，低壓側(cè)線電流$I_{2}=800A$，求差動繼電器各側(cè)電流（考慮相位補償）。答案：Y側(cè)電流互感器二次電流$I_{1'}=I_1/n_{TA1}=1000/240\approx4.167A$，Δ側(cè)電流互感器二次電流$I_{2'}=I_2/n_{TA2}=800/120\approx6.667A$。由于變壓器Y/Δ-11接線，需將Δ側(cè)電流互感器接成Y形，Y側(cè)接成Δ形以補償相位差。補償后，Δ側(cè)二次線電流為$I_{2''}=\sqrt{3}I_{2'}\angle-30^\circ\approx11.547A\angle-30^\circ$，Y側(cè)二次線電流為$I_{1''}=I_{1'}\angle0^\circ\approx4.167A\angle0^\circ$，差動電流為兩者的矢量差（具體數(shù)值需根據(jù)相位計算，此處簡化為幅值差$|11.547-4.167|=7.38A$）。三、案例分析題17.某工廠10kV配電系統(tǒng)接線如圖4（注：電源容量$S_s=500MVA$，10kV母線短路容量$S_k=100MVA$，饋線1長度$L1=2km$，阻抗$Z1=0.3+j0.4\Omega/km$；饋線2長度$L2=3km$，阻抗$Z2=0.3+j0.4\Omega/km$；負荷A容量$S_A=5MVA$，功率因數(shù)0.8；負荷B容量$S_B=8MVA$，功率因數(shù)0.75）。（1）計算10kV母線三相短路電流周期分量有效值；（2）計算饋線1首端（母線側(cè)）單相接地短路電流；（3）若負荷A功率因數(shù)提高到0.95，計算其無功補償容量。答案：（1）母線三相短路電流$I_k^{(3)}=\frac{S_k}{\sqrt{3}U_N}=\frac{100}{\sqrt{3}\times10}\approx5.77kA$。（2）系統(tǒng)零序阻抗$Z_{0s}\approxZ_{1s}=\frac{U_N^2}{S_s}=\frac{10^2}{500}=0.2\Omega$，饋線1零序阻抗$Z_{0L1}=3Z1=3\times(0.3\times2+j0.4\times2)=1.8+j2.4\Omega$（假設線路零序阻抗為正序的3倍）。單相接地短路電流$I_k^{(1)}=\frac{3U_N}{\sqrt{3}(Z_{0s}+Z_{0L1})}=\frac{\sqrt{3}\times10}{0.2+1.8+j2.4}=\frac{17.32}{2+j2.4}\approx5.46kA$（取幅值）。（3）負荷A原無功功率$Q_A1=S_A\sin\varphi1=5\times\sqrt{1-0.8^2}=3Mvar$，補償后$Q_A2=5\times\sqrt{1-0.95^2}\approx1.56Mvar$，補償容量$Q_c=Q_A1-Q_A2\approx1.4