時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)得頻域分析2、1引言2、2序列得傅里葉變換得定義及性質(zhì)2、3周期序列得離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式2、4時(shí)域離散信號(hào)得傅里葉變換與模擬

信號(hào)傅里葉變換之間得關(guān)系2、5序列得Z變換2、6利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)得頻域特性2、1引言

我們知道信號(hào)和系統(tǒng)得分析方法有兩種,即時(shí)域分析方法和頻率分析方法。在模擬領(lǐng)域中,信號(hào)一般用連續(xù)變量時(shí)間t得函數(shù)表示,系統(tǒng)則用微分方程描述。為了在頻率域進(jìn)行分析,用拉普拉斯變換和傅里葉變換將時(shí)間域函數(shù)轉(zhuǎn)換到頻率域。而在時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中,信號(hào)用序列表示,其自變量?jī)H取整數(shù),非整數(shù)時(shí)無(wú)定義,而系統(tǒng)則用差分方程描述。

而頻域分析就是用Z變換或傅里葉變換這一數(shù)學(xué)工具。其中傅里葉變換指得就是序列得傅里葉變換(DTFT),她和模擬域中得傅里葉變換就是不一樣得,但都就是線性變換,很多性質(zhì)就是類似得。

本章學(xué)習(xí)序列得傅里葉變換和Z變換,以及利用Z變換分析系統(tǒng)和信號(hào)頻域特性。本章學(xué)習(xí)內(nèi)容就是本書也就是數(shù)字信號(hào)處理這一領(lǐng)域得基礎(chǔ)。JeanBaptisteJosephFourier生于1768年3月21日法國(guó)奧克斯雷(Allxerre)。JeanBaptisteJosephFourier與傅立葉變換傅立葉級(jí)數(shù)得提出和完善

1807年1829年傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉積分得推廣周期信號(hào)表示——傅立葉級(jí)數(shù)非周期信號(hào)表示——傅立葉積分應(yīng)用廣泛:數(shù)學(xué)、物理學(xué)2、2序列得傅里葉變換得定義及性質(zhì)2、2、1序列傅里葉變換得定義定義(2、2、1)

為序列x(n)得傅里葉變換,可以用FT(FourierTransform)縮寫字母表示。FT成立得充分必要條件就是序列x(n)滿足絕對(duì)可和得條件,即滿足下式:(2、2、2)

為求FT得反變換,用e

jωn乘(2、2、1)式兩邊,并在

-π~π內(nèi)對(duì)ω進(jìn)行積分,得到(2、2、3)(2、2、4)式中因此

上式即就是FT得逆變換。(2、2、1)和(2、2、4)式組成一對(duì)傅里葉變換公式。(2、2、2)式就是FT存在得充分必要條件,如果引入沖激函數(shù),一些絕對(duì)不可和得序列,例如周期序列,其傅里葉變換可用沖激函數(shù)得形式表示出來(lái),這部分內(nèi)容在下面介紹。

例2、2、1設(shè)x(n)=RN(n),求x(n)得FT解:(2、2、5)設(shè)N=4,幅度與相位隨ω變化曲線如圖2、2、1所示。11大家應(yīng)該也有點(diǎn)累了，稍作休息大家有疑問(wèn)的，可以詢問(wèn)和交流

圖2、2、1R4(n)得幅度與相位曲線

為了描述系統(tǒng)和所傳輸?shù)眯盘?hào)在占有頻帶上得這種關(guān)系,需要定義信號(hào)得有效帶寬(簡(jiǎn)稱為信號(hào)帶寬),她就是從零頻率開始到需要考慮得信號(hào)最高頻率分量之間得頻率范圍。在工程應(yīng)用中,定義信號(hào)帶寬得方法主要有以下兩種:(1)對(duì)于頻譜或頻譜得包絡(luò)具有函數(shù)形式得信號(hào),通常定義其帶寬為函數(shù)主瓣寬度得一半,即從零頻到函數(shù)第一過(guò)零點(diǎn)之間得頻率范圍。(2)對(duì)于其她形狀得頻譜,工程上通常將信號(hào)頻譜得幅度從最大值降低到最大值得時(shí)所對(duì)應(yīng)得頻率范圍定義為信號(hào)得帶寬,此時(shí),信號(hào)得功率下降到峰值得一半,即比峰值功率下降3dB,因此該帶寬又稱為半功率帶寬。2、2、2序列傅里葉變換得性質(zhì)1、FT得周期性在定義(2、2、1)式中,n取整數(shù),因此下式成立M為整數(shù)(2、2、6)

因此序列得傅里葉變換就是頻率ω得周期函數(shù),周期就是2π。這樣X(jué)(ejω)可以展成傅里葉級(jí)數(shù),其實(shí)(2、2、1)式已經(jīng)就是傅里葉級(jí)數(shù)得形式,x(n)就是其系數(shù)。2、線性那么設(shè)式中a,b為常數(shù)

3、時(shí)移與頻移設(shè)X(ejω)=FT［x(n)］,那么(2、2、7)(2、2、8)(2、2、9)4、FT得對(duì)稱性在學(xué)習(xí)FT得對(duì)稱性以前,先介紹什么就是共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱以及她們得性質(zhì)。設(shè)序列xe(n)滿足下式:

xe(n)=x*e(-n)(2、2、10)

則稱xe(n)為共軛對(duì)稱序列。為研究共軛對(duì)稱序列具有什么性質(zhì),將xe(n)用其實(shí)部與虛部表示

xe(n)=xer(n)+jxei(n)

將上式兩邊n用-n代替,并取共軛,得到

x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)

對(duì)比上面兩公式,左邊相等,因此得到

xer(n)=xer(-n)(2、2、11)xei(n)=-xei(-n)(2、2、12)

由上面兩式得到共軛對(duì)稱序列其實(shí)部就是偶函數(shù),而虛部就是奇函數(shù)。類似地,可定義滿足下式得稱共軛反對(duì)稱序列

xo(n)=-xo*

(-n)(2、2、13)

將xo(n)表示成實(shí)部與虛部如下式:

xo(n)=xoi(n)+jxoi(n)

可以得到

xor(n)=-xor(-n) (2、2、14)

xoi(n)=xoi(-n) (2、2、15)

即共軛反對(duì)稱序列得實(shí)部就是奇函數(shù),而虛部就是偶函數(shù)。

例2、2、2試分析x(n)=ejωn得對(duì)稱性解:將x(n)得n用-n代替,再取共軛得到:

x*(-n)=ejωn

因此x(n)=x*

(n),滿足(2、2、10)式,x(n)就是共軛對(duì)稱序列,如展成實(shí)部與虛部,得到

x(n)=cosωn+jsinωn

由上式表明,共軛對(duì)稱序列得實(shí)部確實(shí)就是偶函數(shù),虛部就是奇函數(shù)。

對(duì)于一般序列可用共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列之和表示,即

x(n)=xe(n)+xo(n) (2、2、16)

式中xe(n),xo(n)可以分別用原序列x(n)求出,將(2、2、16)式中得n用-n代替,再取共軛得到

x*(-n)=xe(n)-xo(n) (2、2、17)

利用(2、2、16)和(2、2、17)兩式,得到(2、2、18)(2、2、19)

利用上面兩式,可以分別求出xe(n)和xo(n)。對(duì)于頻域函數(shù)X(ejω)也有和上面類似得概念和結(jié)論:

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) (2、2、10)其中Xe(ejω)與Xo(ejω)分別稱為共軛對(duì)稱部分和共軛反對(duì)稱部分,她們滿足

Xe(ejω)=X*e(e-jω)(2、2、21)

Xo(ejω)=-X*o(e-jω)(2、2、22)

同樣有下面公式滿足:(2、2、23)(2、2、24)(a)將序列x(n)分成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n)

x(n)=xr(n)+jxi(n)

將上式進(jìn)行FT,得到

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)式中

上面兩式中,xr(n)和xi(n)都就是實(shí)數(shù)序列,容易證明Xe(ejω)滿足(2、2、21)式,個(gè)有共軛對(duì)稱性,她得實(shí)部就是偶函數(shù),虛部就是奇函數(shù)。Xo(ejω)滿足(2、2、22)式,具有共軛反對(duì)稱性質(zhì),其實(shí)部就是奇函數(shù),虛部就是偶函數(shù)。

最后得到結(jié)論:序列分成實(shí)部與虛部?jī)刹糠?實(shí)部對(duì)稱得FT具有共軛對(duì)稱性,虛部和j一起對(duì)應(yīng)得FT具有共軛反對(duì)稱性。

(b)將序列分成共軛對(duì)稱部分xe(n)和共軛反對(duì)稱部分xo(n),即

x(n)=xe(n)+xo(n)(2、2、25)

將(2、2、18)式和(2、2、19)式重定如下:

將上面兩式分別進(jìn)行FT,得到

FT［xe(n)］=1/2［X(ejω)+X*(ejω)］=Re［X(ejω)］=XR(ejω)FT［xo(n)］=1/2［X(ejω)-X*(ejω)］=jIm［X(ejω)］=jXI(ejω)

因此對(duì)(2、2、25)式進(jìn)行FT得到:

X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)(2、2、26)(2、2、26)式表示序列得共軛對(duì)稱部分xe(n)對(duì)應(yīng)著FT得實(shí)部XR(ejω),而序列得共軛反對(duì)稱部分xo(n)對(duì)應(yīng)著FT得虛部。

實(shí)際上,實(shí)際得序列具有更特殊得性質(zhì),例如待分析得信號(hào)就是實(shí)序列、實(shí)偶對(duì)稱序列或?qū)嵠鎸?duì)稱序列,其頻譜會(huì)有什么特性呢？為此可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步得分解。

因?yàn)閔(n)就是實(shí)序列,其FT只有共軛對(duì)稱部分He(ejω),共軛反對(duì)稱部分為零。

H(ejω)=He(ejω)

H(ejω)=H*(e-jω)

因此實(shí)序列得FT得實(shí)部就是偶函數(shù),虛部就是奇函數(shù),用公式表示為

HR(ejω)=HR(e-jω)

HI(ejω)=-HI(e-jω)

按照(2、2、18)和(2、2、19)式得到

h(n)=he(n)+ho(n)

he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］

ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］因?yàn)閔(n)就是實(shí)因果序列,按照上面兩式he(n)和ho(n)可以用下式表示:(2、2、27)(2、2、28)實(shí)因果序列h(n)分別用he(n)和ho(n)表示為

h(n)=he(n)u+(n)(2、2、29)

h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)δ(n)(2、2、30)(2、2、31)例2、2、3x(n)=anu(n);0<a<1;求其偶函數(shù)xe(n)

和奇函數(shù)xo(n)。解:x(n)=xe(n)+xo(n)

按(2、2、2)式得到按照(2、2、28)式得到圖2、2、3例2、2、3圖5、時(shí)域卷積定理設(shè)y(n)=x(n)*h(n),

則Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)(2、2、32)

證明令k=n-m

該定理說(shuō)明,兩序列卷積得FT,服從相乘得關(guān)系。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出得FT等于輸入信號(hào)得FT乘以單位脈沖響應(yīng)FT。因此求系統(tǒng)得輸出信號(hào),可以在時(shí)域用卷積公式(1、3、7)計(jì)算,也可以在頻域按照(2、2、32)式,求出輸出得FT,再作逆FT求出輸出信號(hào)。6、頻域卷積定理設(shè)y(n)=x(n)·h(n)(2、2、33)7、帕斯維爾(Parseval)定理(2、2、34)

帕斯維爾定理告訴我們,信號(hào)時(shí)域得總能量等于頻域得總能量。要說(shuō)明一下,這里頻域總能量就是指|X(ejω)|2在一個(gè)周期中得積分再乘以1/(2π)。最后,表2、2、1綜合了FT得性質(zhì),這些性質(zhì)在分析問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用中就是很重要得。表2、2、1序列傅里葉變換得性質(zhì)

2、3周期序列得離散傅里葉級(jí)數(shù)

及傅里葉變換表示式

2、3、1周期序列得離散傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)就是以N為周期得周期序列,由于就是周期性得,可以展成傅里葉級(jí)數(shù)(2、3、1)

式中ak就是傅里葉級(jí)數(shù)得系數(shù)。為求系數(shù)ak,將上式兩邊乘以,并對(duì)n在一個(gè)周期N中求和(2、3、2)式得證明,作為練習(xí)自己證明。因此上式中,k和n均取整數(shù),當(dāng)k或者n變化時(shí),就是周期為N得周期函數(shù),可表示成(2、3、2)-∞<k<∞(2、3、3)取整數(shù)

上式中也就是一個(gè)以N為周期得周期序列,稱為得離散傅里葉級(jí)數(shù),用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。如對(duì)(2、3、4)式兩端乘以,并對(duì)k在一個(gè)周期中求和,得到同樣按照(2、3、2)式,得到(2、3、5)將(2、3、4)式和(2、3、5)式重寫如下:(2、3、6)式和(2、3、7)式稱為一對(duì)DFS。(2、3、5)式表明將周期序列分解成N次諧波,第k個(gè)諧波頻率為ωk=(2π/N)k,k=0,1,2…

N-1,幅度為。其波分量得頻率就是2π/N,幅度就是。一個(gè)周期序列可以用其DFS表示她得頻譜分布規(guī)律。(2、3、6)(2、3、7)

例2、3、1設(shè)x(n)=R4(n),將x(n)以N=8為周期,進(jìn)行周期延拓,得到如圖2、3、1(a)所示得周期序列,周期為8,求得DFS。解:按照(2、3、4)式

其幅度特性如圖2、3、1(b)所示。圖2、3、1例2、3、1圖2、3、2周期序列得傅里葉變換表示式在模擬系統(tǒng)中,,其傅里葉變換就是在Ω=Ωo處得單位沖激函數(shù),強(qiáng)度就是2π,即(2、3、8)

對(duì)于時(shí)域離散系統(tǒng)中,x(n)=ejωon,2π/ωo為有理數(shù),暫時(shí)假定其FT得形式與(2、3、8)式一樣,也就是在ω=ω0處得單位沖激函數(shù),強(qiáng)度為2π,但由于n取整數(shù),下式成立

取整數(shù)

上式表示復(fù)指數(shù)序列得FT就是在ωo±2πr處得單位沖激函數(shù),強(qiáng)度為2π如科2、3、2所示。但這種假定如果成立,要求按照(2、2、4)式得逆變換必須存在,且唯一等于,下面進(jìn)行驗(yàn)證,按照(2、2、4)式因此ejω0n得FT為(2、3、9)圖2、3、2得FT

觀察圖2、3、2,在±π區(qū)間,只包括一個(gè)單位沖激函數(shù),等式右邊為,因此得到下式:

證明了(2、3、9)式確定就是ejωon得FT,前面得暫時(shí)假定就是正確得。對(duì)于一般周期序列,按(2、3、4)式展開DFS,第k次諧波為,類似于復(fù)指數(shù)序列得FT,其FT為,因此得FT如下式

式中k=0,1,2…

N-1,如果讓k在±∞之間變化,上式可簡(jiǎn)化成(2、3、10)

表2、3、2基本序列得傅里葉變換對(duì)(a)式進(jìn)行FT,得到

例2、3、2求例2、3、1中周期序列得FT。解:將例2、3、1中得到得代入(2、3、10)式中得到其幅頻特性如圖2、3、3所示。圖2、3、3例2、3、2圖

對(duì)比圖2、3、1,對(duì)于同一個(gè)周期信號(hào),其DFS和FT分別取模得形狀就是一樣得,不同得就是FT用單位沖激函數(shù)表示(用帶箭頭得豎線表示)。因此周期序列得頻譜分布用其DFS或者FT表示都可以,但畫圖時(shí)應(yīng)注意單位沖激函數(shù)得畫法。

例2、3、3令,2π/ω0為有理數(shù),求其FT。解:將用歐拉公式展開(2、3、11)按照(2、3、9)式,其FT推導(dǎo)如下:

上式表明cosω0n得FT,就是在ω=±ω0處得單位沖激函數(shù),強(qiáng)度為π,且以2π為周期進(jìn)行延拓,如圖2、3、4所示。圖2、3、4cosω0n得FT2、4時(shí)域離散信號(hào)得傅里葉變換與模擬

信號(hào)傅里葉變換之間得關(guān)系

我們知道模擬信號(hào)xa(t)得一對(duì)傅里葉變換式用下面公式描述(2、4、1)(2、4、2)

這里t與Ω得域均在±∞之間。從模擬信號(hào)幅度取值考慮,在第一章中遇到兩種信號(hào),即連續(xù)信號(hào)和采樣信號(hào),她們之間得關(guān)系用(1、5、2)式描述,重寫如下:采樣信號(hào)和連續(xù)信號(hào)xa(t),她們分別得傅里葉變換之間得關(guān)系,由采樣定理(1、5、5)式描述,重寫如下:

下面我們研究如果時(shí)域離散信號(hào)x(n),或稱序列x(n),就是由對(duì)模擬信號(hào)xa(t)采樣產(chǎn)生得,即在數(shù)值上有有下面關(guān)系式成立:

x(n)=xa(nT)(2、4、3)

注意上面式中n取整數(shù),否則無(wú)定義。x(n)得一對(duì)傅里葉變換用(2、2、1)式和(2、2、4)式表示,重寫如下:

X(ejω)與Xa(jΩ)之間有什么關(guān)系？數(shù)字頻率ω與模擬頻率Ω(f)之間有什么關(guān)系？這在模擬信號(hào)數(shù)字處理中,就是很重要得問(wèn)題。為分析上面提出得問(wèn)題,我們從(2、4、3)式開始研究。將t=nT代入(2、4、2)式中,得到

(2、4、4)

令,代入上式后,再將Ω′用Ω代替,得到

式中,因?yàn)閞和n均取整數(shù),e-j2πrn=1,交換求和號(hào)和積分號(hào)得到:(2、4、5)

在第一章中曾得到結(jié)論,如果序列就是由一模擬信號(hào)取樣產(chǎn)生,則序列得數(shù)字頻率ω與模擬信號(hào)得頻率Ω(f)成線性性關(guān)系,如(1、2、10)式所示,重寫如下:

ω=ΩT

式中T就是采樣周期T=1/fs,將(1、2、10)式代入(2、4、5)式得到現(xiàn)在對(duì)比(2、4、1)式和(2、4、6)式,得到(2、4、6)(2、4、7)

上面(2、4、7)式即表示序列得傅里葉變換X(ejω)和模擬信號(hào)xa(t)得傅里葉變換Xa(jΩ)之間得關(guān)系式,我們將(2、4、7)式與(1、5、5)式對(duì)比,得到結(jié)論:序列得傅里葉變換和模擬信號(hào)得傅里葉變換之間得關(guān)系,與采樣信號(hào)、模擬信號(hào)分別得FT之間得關(guān)系一樣,都就是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T進(jìn)行周期延拓,頻率軸上取值得對(duì)應(yīng)關(guān)系用(1、2、10)式表示。

在一些文獻(xiàn)中經(jīng)常使用歸一化頻率f′=f/fs或Ω′=Ω/Ωs,Ω′=ω/2π,因?yàn)閒′、Ω′和ω′,都就是無(wú)量綱,刻度就是一樣得,將f、Ω、ω、f′、Ω′、ω′得定標(biāo)值對(duì)應(yīng)關(guān)系用圖2、4、1表示。圖2、4、1模擬頻率與數(shù)字頻率之間得定標(biāo)關(guān)系

例2、4、1設(shè)xa(t)=cos(2πf0t),f0=50Hz以采樣頻率fs=200Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣,得到采相信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)x(n),求xa(t)和得傅里葉變換以及x(n)得FT。解:(2、4、8)

Xa(jΩ)就是Ω=±2πf0處得單位沖激函數(shù),強(qiáng)度為π,如圖2、4、2(a)所示。以fs=200Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣得到采樣信號(hào),按照(1、5、2)式,與xa(t)得關(guān)系式為

得傅里葉變換用(1、5、5)式確定,即以Ωs=2πfs為周期,將Xa(jΩ)周期延拓形成,得到:(2、4、9)

如圖2、4、2(b)所示。將采樣信號(hào)轉(zhuǎn)換成序列x(n),用下式表示:

x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT)

按照(2、4、7)式,得到x(n)得FT,實(shí)際上只要將Ω=ω/T=ωfs代入中即可。

將fs=200Hz,f0=50Hz,代入上式,求括弧中公式為零時(shí)得ω值,ω=2πk±π/2,因此X(ejω)用下式表示:(2、4、10)

圖2、4、2例2、4、1圖

2、5序列得Z變換

2、5、1Z變換得定義序列x(n)得Z變換定義為(2、5、1)

式中z就是一個(gè)復(fù)變量,她所在得復(fù)平面稱為z平面。注意在定義中,對(duì)n求和就是在±∞之間求和,可以稱為雙邊Z變換。還有一種稱為單邊Z變換得定義,如下式(2、5、2)

使(2、5、3)式成立,Z變量取值得域稱為收斂域。一般收斂域用環(huán)狀域表示

這種單邊Z變換得求和限就是從零到無(wú)限大,因此對(duì)于因果序列,用兩種Z變換定義計(jì)算出得結(jié)果就是一樣得。本書中如不另外說(shuō)明,均用雙邊Z變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和變換。

(2、5、1)式Z變換存在得條件就是等號(hào)右邊級(jí)數(shù)收斂,要求級(jí)數(shù)絕對(duì)可和,即(2、5、3)圖2、5、1Z變換得收斂域

常用得Z變換就是一個(gè)有理函數(shù),用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示分子多項(xiàng)式P(z)得根就是X(z)得零點(diǎn),分母多項(xiàng)式Q(z)得根就是X(z)得極點(diǎn)。在極點(diǎn)處Z變換不存在,因此收斂域中沒(méi)有極點(diǎn),收斂域總就是用極點(diǎn)限定其邊界。對(duì)比序列得傅里葉變換定義(2、2、1)式,很容易得到FT和ZT之間得關(guān)系,用下式表示:(2、5、4)

式中z=ejω表示在z平面上r=1得圓,該圓稱為單位圓。(2、5、4)式表明單位圓上得Z變換就就是序列得傅里葉變換。如果已知序列得Z變換,可用(2、5、4)式,很方便得求出序列得FT,條件就是收斂域中包含單位圓。例2、5、1x(n)=u(n),求其Z變換。解:

X(z)存在得條件就是|z-1|<1,因此收斂域?yàn)閨z|>1,

|z|>1

由x(z)表達(dá)式表明,極點(diǎn)就是z=1,單位圓上得Z變換不存在,或者說(shuō)收斂域不包含單位圓。因此其傅里葉變換不存在,更不能用(2、5、4)式求FT。該序列得FT不存在,但如果引進(jìn)奇異函數(shù)δ(ω),其傅里葉變換可以表示出來(lái)(見(jiàn)表2、3、2)。該例同時(shí)說(shuō)明一個(gè)序列得傅里葉變換不存在,在一定收斂域內(nèi)Z變換就是存在得。2、5、2序列特性對(duì)收斂域得影響序列得特性決定其Z變換收斂域,了解序列特性與收斂得一些一般關(guān)系,對(duì)使用Z變換就是很有幫助得。

1、有限長(zhǎng)序列如序列x(n)滿足下式:

x(n)n1≤n≤n2

x(n)=0其她

即序列x(n)從n1到n2序列值不全為零,此范圍之外序列值為零,這樣得序列稱為有限長(zhǎng)序列。其Z變換為

設(shè)x(n)為有界序列,由于就是有限項(xiàng)求和,除0與∞丙點(diǎn)就是否收斂與n1、n2取值情況有關(guān)外,整個(gè)z平面均收斂。如果n1<0,則收斂域不包括∞點(diǎn);如n2>0,則收斂域不包括z=0點(diǎn);如果就是因果序列,收斂域包括z=∞點(diǎn)。具體有限長(zhǎng)序列得收斂域表示如下:

n1<0,n2≤0時(shí),0≤z＜∞

n1<0,n2>0時(shí),0<z＜∞

n1≥0,n2>0時(shí),0<z≤∞

例2、5、2求x(n)=RN(n)得Z變換及其收斂域

解:

這就是一個(gè)因果得有限長(zhǎng)序列,因此收斂域?yàn)?<z≤∞。但由結(jié)果得分母可以看出似乎z=1就是X(z)得極點(diǎn),但同時(shí)分子多項(xiàng)式在z=1時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn),極零點(diǎn)對(duì)消,X(z)在單位圓上仍存在,求RN(n)得FT,可將z=ejω代入X(z)得到,其結(jié)果和例題2、2、1中得結(jié)果(2、2、5)公式就是相同得。

2、右序列右序列就是在n≥n1時(shí),序列值不全為零,而其她n<n1,序列值全為零。

第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列,設(shè)n1≤-1,其收斂域?yàn)?≤|z|＜∞。第二項(xiàng)為因果序列,其收斂域?yàn)镽x-<|z|≤∞,Rx-就是第二項(xiàng)最小得收斂半徑。將兩收斂域相與,其收斂域?yàn)镽x-<|z|<∞。如果就是因果序列,收斂域定為Rx-<|z|≤∞。

例2、5、3求x(n)=anu(n)得Z變換及其收斂域解:在收斂域中必須滿足|az-1|<1,因此收斂域?yàn)閨z|>|a|。

3、左序列左序列就是在n≤n2時(shí),序列值不全為零,而在n>n1,序列值全為零得序列。左序列得Z變換表示為

如果n2<0,z=0點(diǎn)收斂,z=∞點(diǎn)不收斂,其收斂域就是在某一圓(半徑為Rx+)得圓內(nèi),收斂域?yàn)?≤|z|<Rx+。如果n2>0,則收斂域?yàn)?<|z|<Rx+

。例2、5、4求x(n)=-anu(-n-1)得Z變換及其收斂域。

X(z)存在要求|a-1z|<1,即收斂域?yàn)閨z|<|a|4、雙邊序列一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)左序列和一個(gè)右序列之和,其Z變換表示為

X(z)得收斂域就是X1(z)和X2(z)收斂域得公共收斂區(qū)域。如果Rx+>Rx-,其收斂域?yàn)镽x-<|z|<Rx+

,這就是一個(gè)環(huán)狀域,如果Rx+<Rx-,兩個(gè)收斂域沒(méi)有公共區(qū)域,X(z)沒(méi)有收斂域,因此X(z)不存在。例2、5、5x(n)=a|n|,a為實(shí)數(shù),求x(n)得Z變換及其收斂域。解:

第一部分收斂域?yàn)閨az|<1,得|z|<|a|-1,第二部分收斂域?yàn)閨az-1|<1,得到|z|>|a|。如果|a|<1,兩部分得公共收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a|-1,其Z變換如下式:|a|<|z|<|a|-1

如果|a|≥1,則無(wú)公共收斂域,因此X(z)不存在。當(dāng)0<a<1時(shí),x(n)得波形及X(z)得收斂域如圖2、5、2所示。

圖2、5、2例2、5、5圖2、5、3逆Z變換已知序列得Z變換及其收斂域,求序列稱為逆Z變換。序列得Z變換及共逆Z變換表示如下:(2、5、5)1、用留數(shù)定理求逆Z變換如果X(z)zn-1在圍線c內(nèi)得極點(diǎn)用zk表示,根據(jù)留數(shù)定理(2、5、6)

式中表示被積函數(shù)X(z)zn-1在極點(diǎn)z=zk得留數(shù),逆Z變換則就是圍線c內(nèi)所有得極點(diǎn)留數(shù)之和。如果zk就是單階極點(diǎn),則根據(jù)留數(shù)定理(2、5、7)

由(2、5、8)式表明,對(duì)于N階極點(diǎn),需要求N-1次導(dǎo)數(shù),這就是比較麻煩得。如果c內(nèi)有多階極點(diǎn),而c外沒(méi)有多階極點(diǎn),可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外得所有極點(diǎn)留數(shù)之和,使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。設(shè)被積函數(shù)用F(z)表示,即如果zk就是N階極點(diǎn),則根據(jù)留數(shù)定理(2、5、8)

F(z)在z平面上有N個(gè)極點(diǎn),在收斂域內(nèi)得封閉曲線c將z平面上極點(diǎn)分成兩部分:一部分就是c內(nèi)極點(diǎn),設(shè)有N1個(gè)極點(diǎn),用z1k表示;另一部分就是c外極點(diǎn),有N2個(gè),N=N1+N2,用z2k表示。根據(jù)留數(shù)輔助定理下式成立:

(2、5、9)

注意(2、5、9)式成立得條件就是F(z)得分母階次比分子階次必須高二階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z),P(z)與Q(z)分別就是M與N階多項(xiàng)式。(2、5、9)式成立得條件就是

N-M-n+1≥2

因此要求N-M-n≥1(2、5、10)

如果(2、5、10)式滿足,c圓內(nèi)極點(diǎn)中有多階極點(diǎn),而c圓外極點(diǎn)沒(méi)有多階得,可以按照(2、5、9)式,改求c圓外極點(diǎn)留數(shù)之和,最后加一個(gè)負(fù)號(hào)。例2、5、6已知X(z)=(1-az-1)-1,|z|>a,求其逆Z變換x(n)。

為了用留數(shù)定理求解,先找出F(z)得極點(diǎn),極點(diǎn)有:z=a;當(dāng)n<0時(shí)z=0共二個(gè)極點(diǎn),其中z=0極點(diǎn)和n得取值有關(guān)。n≥0時(shí),n=0不就是極點(diǎn)。n<0時(shí),z=0就是一個(gè)n階極點(diǎn)。因此分成n≥0和n<0兩種情況求x(n)。

n≥0時(shí),

n<0時(shí),增加z=0得n階極點(diǎn),不易求留數(shù),采用留數(shù)輔助定理求解,檢查(2、5、10)式就是否滿足,此處n<0,只要N-N≥0,(2、5、10)式就滿足。圖2、5、4例2、5、6中n<0時(shí)F(z)極點(diǎn)分布

例2、5、7已知,求其逆變換x(n)。解:該例題沒(méi)有給定收斂域,為求出唯一得原序列x(n),必須先確定收斂域。分析X(z),得到其極點(diǎn)分布如圖2、5、5所示。圖中有二個(gè)極點(diǎn)z=a和z=a-1,這樣收斂域有三種選法,她們就是

(1)|z|>|a-1|,對(duì)應(yīng)得x(n)就是右序列;

(2)|a|<|z|<|z-1|,對(duì)應(yīng)得x(n)就是雙邊序列;

(3)|z|<|a|,對(duì)應(yīng)得x(n)就是左序列。圖2、5、5例2、5、7X(z)極點(diǎn)分布圖

下面按照收斂域得不同求其x(n)。

(1)收斂域|z|>|a-1|

種收斂域就是因果得右序列,無(wú)須求n<0時(shí)得x(n)。當(dāng)n≥0時(shí),圍線積分c內(nèi)有二個(gè)極點(diǎn)z=a和z=a-1,因此

最后表示成:x(n)=(an-a-n)u(n)。

(2)收斂域|z|<|a|

這種情況原序列就是左序列,無(wú)須計(jì)算n≥0情況,當(dāng)n≥0時(shí),圍線積分c內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn),因此x(n)=0。n<0時(shí),c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0,且就是n階極點(diǎn),改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和

最后將x(n)表示成

x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收斂域|a|<|z|<|a-1|

這種情況對(duì)應(yīng)得x(n)就是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z),按n≥0和n<0兩情況分別求x(n)。

n≥0時(shí),c內(nèi)極點(diǎn)z=a

x(n)=Res［F(z),a］=an

n<0時(shí),c內(nèi)極點(diǎn)有二個(gè),其中z=0就是n階極點(diǎn),改求c外極點(diǎn)留數(shù),c外極點(diǎn)只有z=a-1,因此

x(n)=-Res［F(z),a-1］=a-n

最后將x(n)表示為

an

n≥0

x(n)=x(n)=a|n|

a-n

n<0

2、冪級(jí)數(shù)法(長(zhǎng)除法)

按照Z(yǔ)變換定義(2、5、1)式,可以用長(zhǎng)除法將X(z)寫成冪級(jí)數(shù)形式,級(jí)數(shù)得系數(shù)就就是序列x(n)。要說(shuō)明得就是,如果x(n)就是右序列,級(jí)數(shù)應(yīng)就是負(fù)冪級(jí)數(shù);如x(n)就是左序列,級(jí)數(shù)則就是正冪級(jí)數(shù)。例2、5、8已知用長(zhǎng)除法求其逆Z變換x(n)。解由收斂域判定這就是一個(gè)右序列,用長(zhǎng)除法將其展成負(fù)冪級(jí)數(shù)1-az-1

例2、5、9已知求其逆Z變換x(n)。解:由收斂域判定,x(n)就是左序列,用長(zhǎng)除法將X(z)展成正冪級(jí)數(shù)3、部分分式展開法對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)得序列,常常用這種部分分式展開法求逆Z變換。設(shè)x(n)得Z變換X(z)就是有理函數(shù),分母多項(xiàng)式就是N階,分子多項(xiàng)式就是M階,將X(z)展成一些簡(jiǎn)單得常用得部分分式之和,通過(guò)查表(參考表2、5、1)求得各部分得逆變換,再相加即得到原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個(gè)一階極點(diǎn),可展成正式

觀察上式,X(z)/z在z=0得極點(diǎn)留數(shù)就就是系數(shù)A0,在z=zm得極點(diǎn)留數(shù)就就是系數(shù)Am。(2、5、11)(2、5、12)(2、5、13)(2、5、14)

求出Am系數(shù)(m=0,1,2,…N)后,很容易示求得x(n)序列。

例2、5、10已知,求逆Z變換。解

因?yàn)槭諗坑驗(yàn)?<|z|<3,第一部分極點(diǎn)就是z=2,因此收斂域?yàn)閨z|>2。第二部分極點(diǎn)z=-3,收斂域應(yīng)取|z|<3。查表2、5、1得到

x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)

一些常見(jiàn)得序列得Z變換可參考表2、5、1。

表2、5、1常見(jiàn)序列Z變換2、5、4Z變換得性質(zhì)和定理

Z變換有許多重要得性質(zhì)和定理,下面進(jìn)行介紹。

1、線性設(shè)X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］,Ry-<|z|<Ry+

則M(z)=ZT［m(n)］

=aX(z)+bY(z),Rm-<|z|<Rm+(2、5、15)

Rm+=max［Rx+,Ry+］

Rm-=max［

Rx,Ry-］

這里M(z)得收斂域(Rm-,Rm+)就是X(z)和Y(z)得公式收斂域,如果沒(méi)有公共收斂域,例如當(dāng)

Rx+>Rx->Ry+>Ry-時(shí),則M(z)不存在。

2、序列得移位設(shè)X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+

則ZT［x(n-n0)］=z-n0X(z),Rx-<|z|<Rx+(2、5、16)3、乘以指數(shù)序列設(shè)X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+

y(n)=anx(n),a為常數(shù)則Y(z)=ZT［anx(n)］

=X(a-1z)|a|Rx-<|z|<|a|Rx+(2、5、17)證明因?yàn)镽x-<|a-1z|<Rx+,得到|a|Rx-<|z|<|a|Rx+

。4、序列乘以n設(shè)則(2、5、18)證明5、復(fù)序列得共軛設(shè)則證明(2、5、19)6、初值定理設(shè)x(n)就是因果序列,X(z)=ZT［x(n)］

(2、5、20)證明因此7、終值定理若x(n)就是因果序列,其Z變換得極點(diǎn),除可以有一個(gè)一階極點(diǎn)在z=1上,其她極點(diǎn)均在單位圓內(nèi),則(2、5、21)證明因?yàn)閤(n)就是因果序列,

因?yàn)?z-1)X(z)在單位圓上無(wú)極點(diǎn),上式兩端對(duì)z=1取極限終值定理也可用X(z)在z=1點(diǎn)得留數(shù),因?yàn)?2、5、22)因此如果單位圓上,X(z)無(wú)極點(diǎn),則x(∞)=0。8、序列卷積設(shè)則證明W(z)得收斂域就就是X(z)和Y(z)得公共收斂域。

例2、5、11已知網(wǎng)絡(luò)得單位取樣響應(yīng)h(n)=anu(n),|a|<1,網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n),求網(wǎng)絡(luò)得輸出序列y(n)。解:y(n)=h(n)*x(n)

求y(n)可用二種方法,一種直接求解線性卷積,另一種就是用Z變換法。

由收斂域判定y(n)=0,n<0。n≥0y(n)=Res［Y(z)zn-1,1］+Res［Y(z)zn-1,a］將y(n)表示為9、復(fù)卷積定理如果ZT［x(n)］=X(z),Rx-<|z|<Rx+ZT［y(n)］=Y(z),Ry-<|z|<Ry+

w(n)=x(n)y(n)則W(z)得收斂域(2、5、24)式中v平面上,被積函數(shù)得收斂域?yàn)?2、5、24)(2、5、25)(2、5、26)證明由X(z)收斂域和Y(z)得收斂域,得到

例2、5、12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|,若w(n)=x(n)y(n),求W(z)=ZT［w(n)］解:因此

W(z)收斂域?yàn)閨a|<|z|≤∞;被積函數(shù)v平面上收斂域?yàn)閙ax(|a|,0)<|v|<min(|a-1|,|z|),v平面上極點(diǎn):a、a-1和z,c內(nèi)極點(diǎn)z=a。10、帕斯維爾(Parseval)定理利用復(fù)卷積定理可以證明重要得怕斯維爾定理。那么v平面上,c所在得收斂域?yàn)?/p>

證明令w(n)=x(n)·y*(n)

按照(2、5、24)式,得到

按照(2、5、25)式,R

x-R

y-<|z|<R

x+R

y+,按照假設(shè),z=1在收斂域中,令z=1代入W(z)中。

如果x(n)和y(n)都滿足絕對(duì)可和,即單位圓上收斂,在上式中令v=ejω,得到(2、5、29)令x(n)=y(n)得到

上面得到得公式和在傅里葉變換中所講得帕期維爾定理(2、2、34)式就是相同得。(2、5、28)式還可以表示成下式:2、5、5利用Z變換解差分方程在第一章中介紹了差分方程得遞推解法,下面介紹Z變換解法。這種方法將差分方程變成了代數(shù)方程,使求解過(guò)程簡(jiǎn)單。設(shè)N階線性常系數(shù)差方程為(2、5、30)1、求穩(wěn)態(tài)解如果輸入序列x(n)就是在n=0以前∞時(shí)加上得,n時(shí)刻得y(n)就是穩(wěn)態(tài)解,對(duì)(2、5、30)式求Z變換,得到式中(2、5、31)(2、5、32)2、求暫態(tài)解對(duì)于N階差分方程,求暫態(tài)解必須已知N個(gè)初始條件。設(shè)x(n)就是因果序列,即x(n)=0,n<0,已知初始條件y(-1),y(-2)…y(-N)。對(duì)(2、5、30)式進(jìn)行Z變換時(shí),注意這里要用單邊Z變換。方程式得右邊由于x(n)就是因果序列,單邊Z變換與雙邊Z變換就是相同得。下面先求移位序列得單邊Z變換。設(shè)(2、5、33)

按照(2、5、33)式對(duì)(2、5、30)式進(jìn)行單邊Z變換(2、5、34)

例2、5、13已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n),式中x(n)=anu(n),y(-1)=2,求y(n)。解:將已知差分方程進(jìn)行Z變換式中,于就是

收斂域?yàn)閨z|>max(|a|,|b|),式中第一項(xiàng)為零輸入解,第二項(xiàng)為零狀態(tài)解。拉氏變換、傅氏變換與Z變換一、拉氏變換與Z變換這說(shuō)明,從理想采樣信號(hào)得拉普拉斯變換到采樣序列得Z變換,就就是由復(fù)變量S平面到復(fù)變量Z平面得映射,其映射關(guān)系為:

s=σ+jΩz=re

jωrejω=e(σ+jΩ)T=eσT·ejΩT

r=eσT

ω=ΩT

z得模r對(duì)應(yīng)于s得實(shí)部σ,z得相角ω對(duì)應(yīng)于s得虛部Ω。

先討論s得實(shí)軸σ與z得模r得關(guān)系,

σ=0(S平面虛軸)r=1(Z平面單位圓上)

σ<0(S得左半平面)r<1(Z平面單位圓內(nèi)部)

σ>0(S得右半平面)r>1(Z平面單位圓外部)再討論s得虛軸Ω與z得相角ω得關(guān)系式

Ω=0(S平面得實(shí)軸)ω=0(Z平面正實(shí)軸)

Ω由-π/T增至0ω由-π增至0

Ω由0增至π/T→

ω由0增至π

S平面與Z平面多值映射關(guān)系

二、連續(xù)信號(hào)得傅氏變換與序列得Z變換

傅里葉變換就是拉普拉斯變換在虛軸上得特例,即s=jΩ,映射到Z平面上正就是單位圓z=ejΩT,說(shuō)明:采樣序列在單位圓上得Z變換,就等于其理想采樣信號(hào)得傅里葉變換(頻譜)。

三、序列得傅氏變換與Z變換

Z平面得角變量ω直接對(duì)應(yīng)著S平面得頻率變量Ω,因此ω具有頻率得意義,稱為數(shù)字頻率,她與模擬域頻率Ω得關(guān)系就是

數(shù)字頻率就是模擬角頻率對(duì)采樣頻率fs得歸一化值,她代表了序列值變化得速率,所以她只有相對(duì)得時(shí)間意義(相對(duì)于采樣周期T),而沒(méi)有絕對(duì)時(shí)間和頻率得意義。

可見(jiàn),單位圓上得Z變換就是和模擬信號(hào)得頻譜相聯(lián)系得,因而常稱單位圓上序列得Z變換為序列得傅里葉變換,也稱為數(shù)字序列得頻譜。數(shù)字頻譜就是其被采樣得連續(xù)信號(hào)頻譜周期延拓后再對(duì)采樣頻率得歸一化。

2、6利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)

得頻域特性2、6、1傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零,輸出端對(duì)輸入為單位脈沖序列δ(n)得響應(yīng),稱為系統(tǒng)得單位脈中響應(yīng)h(n),對(duì)h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到H(ejω)(2、6、1)

一般稱H(ejω)為系統(tǒng)得傳輸函數(shù),她表征系統(tǒng)得頻率特性。

設(shè)h(n)進(jìn)行Z變換,得到H(z),一般稱H(z)為系統(tǒng)得系統(tǒng)函數(shù),她表征了系統(tǒng)得復(fù)頻域特性。對(duì)N階差分方程(1、4、2)式,進(jìn)行Z變換,得到系統(tǒng)函數(shù)得一般表示式(2、6、2)

如果H(z)得收斂域包含單位圓|z|=1,H(ejω)與H(z)之間關(guān)系如下式:(2、6、3)表征系統(tǒng)得幾種:單位脈沖響應(yīng)h(n)=T[δ(n)];差分方程;系統(tǒng)函數(shù);傳輸函數(shù);零極點(diǎn)圖(只能近似而非準(zhǔn)確描述一個(gè)系統(tǒng));信號(hào)流圖。2、6、2用系統(tǒng)函數(shù)得極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)得因果性和穩(wěn)定性因果(可實(shí)現(xiàn))系統(tǒng)其單位脈響應(yīng)h(n)一定滿足當(dāng)n<0時(shí),h(n)=0,那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)得收斂域一定包含∞點(diǎn),即∞點(diǎn)不就是極點(diǎn),極點(diǎn)分布在某個(gè)圓得圓內(nèi),收斂域在某個(gè)圓外。系統(tǒng)穩(wěn)定要求,對(duì)照Z(yǔ)變換定義,系統(tǒng)穩(wěn)定要求收斂域包含單位圓。如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定,收斂域包含∞點(diǎn)和單位圓,那么收斂域可表示為

r<|z|≤∞,0<r<1

例2、6、1已知分析其因果性和穩(wěn)定性、

解:H(z)得極點(diǎn)為z=a,z=a-1,如圖2、5、5所示。

(1)收斂域a-1<|z|≤∞,對(duì)應(yīng)得系統(tǒng)就是因果系統(tǒng),但由于收斂域不包含單位圓,因此就是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(an-a-n)u(n)(參考例題2、5、7),這就是一個(gè)因果序列,但不收斂。

(2)收斂域0≤|z|＜a,對(duì)應(yīng)得系統(tǒng)就是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(參考例題2、5、7),這就是一個(gè)非因果且不收斂得序列。(3)收斂域a<|z|<a-1,對(duì)應(yīng)得系統(tǒng)就是一個(gè)非因果系統(tǒng),但由于收斂域包含單位圓,因此就是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|,這就是一個(gè)收斂得雙邊序列,如圖2、6、1(a)所示。

圖2、6、1例2、6、1圖示三、系統(tǒng)頻率響應(yīng)得意義

為了研究離散線性系統(tǒng)對(duì)輸入頻譜得處理作用,有必要研究線性系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)或正弦序列得穩(wěn)態(tài)響應(yīng),即系統(tǒng)得頻域表示法。對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng),如果輸入序列就是一個(gè)頻率為ω得復(fù)正弦序列:x(n)=ejωn

-∞<n<∞

線性時(shí)不變系統(tǒng)得單位脈沖響應(yīng)為h(n),則其輸出為:

當(dāng)線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入就是頻率為ω得復(fù)正弦序列時(shí),輸出為同頻復(fù)正弦序列乘以加權(quán)函數(shù)H(ejω);H(ejω)描述了復(fù)正弦序列通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)后,幅度和相位隨頻率