初中數(shù)學(xué)角平分線性質(zhì)專項訓(xùn)練教案一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：*使學(xué)生深刻理解角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理（判定定理）的含義。*能夠熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理解決與距離相關(guān)的證明和計算問題。*能夠運(yùn)用角平分線的判定定理判斷一個點(diǎn)是否在一個角的平分線上，并解決相關(guān)幾何問題。*培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用幾何語言清晰表達(dá)思考過程的能力，規(guī)范書寫證明步驟。2.過程與方法：*通過動手操作、觀察、猜想、驗(yàn)證、證明等數(shù)學(xué)活動，體驗(yàn)角平分線性質(zhì)的探索過程。*在解決問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析已知條件，找準(zhǔn)性質(zhì)應(yīng)用的切入點(diǎn)，提升邏輯推理能力和空間想象能力。*通過一題多解、變式訓(xùn)練等方式，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性。3.情感態(tài)度與價值觀：*通過對角平分線性質(zhì)的探究和應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性。*在合作與交流中，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊協(xié)作精神和積極參與的意識。*體會數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力。二、教學(xué)重難點(diǎn)*教學(xué)重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的理解和應(yīng)用。*教學(xué)難點(diǎn)：1.角平分線性質(zhì)定理的靈活應(yīng)用，特別是在復(fù)雜圖形中準(zhǔn)確識別和構(gòu)造“距離”。2.角平分線性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)別與聯(lián)系，并能根據(jù)具體問題選擇恰當(dāng)?shù)亩ɡ斫鉀Q。三、教學(xué)準(zhǔn)備*教師：多媒體課件（PPT）、幾何畫板（可選，用于動態(tài)演示）、三角板、圓規(guī)。*學(xué)生：預(yù)習(xí)課本相關(guān)內(nèi)容，準(zhǔn)備練習(xí)本、直尺、圓規(guī)、鉛筆、橡皮。四、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)回顧，引入新課1.提問：什么是角的平分線？你能利用直尺和圓規(guī)作出一個角的平分線嗎？（引導(dǎo)學(xué)生回憶角平分線的定義和基本尺規(guī)作圖方法，一名學(xué)生口述作圖步驟，教師可在黑板上簡要演示或利用PPT回顧）。2.思考：我們已經(jīng)知道角的平分線把一個角分成兩個相等的角，那么，角平分線上的點(diǎn)除了在位置上與角的兩邊有關(guān)聯(lián)外，還有沒有其他特殊的性質(zhì)呢？比如，這個點(diǎn)到角的兩邊的距離是否存在某種關(guān)系？今天我們就來深入探究角平分線的性質(zhì)。（板書課題：角平分線性質(zhì)專項訓(xùn)練）（二）動手操作，探究性質(zhì)1.活動探究：*請同學(xué)們在練習(xí)本上任意畫一個角∠AOB，用尺規(guī)作出它的平分線OC。*在OC上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E。*用刻度尺量一量線段PD和PE的長度，你有什么發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生動手操作，教師巡視指導(dǎo)）2.交流猜想：*引導(dǎo)學(xué)生交流測量結(jié)果，大部分學(xué)生可能會發(fā)現(xiàn)PD=PE。*提問：是不是在角平分線OC上任意取點(diǎn)，這個結(jié)論都成立呢？（可以再取一點(diǎn)試試）*由此，你能提出一個怎樣的猜想？（學(xué)生嘗試表述，教師引導(dǎo)規(guī)范：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。）3.驗(yàn)證證明：*提問：這個猜想是否正確？我們需要進(jìn)行嚴(yán)格的證明。*引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)猜想畫出圖形，寫出已知、求證。*已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E。*求證：PD=PE。*分析：要證PD=PE，我們可以考慮證明它們所在的兩個三角形全等。觀察圖形，PD和PE分別在Rt△PDO和Rt△PEO中。*思考：這兩個直角三角形全等的條件有哪些？*∠POD=∠POE（角平分線的定義）*∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定義）*OP=OP（公共邊）*學(xué)生口述證明過程，教師板書規(guī)范證明步驟（可使用AAS或ASA證明）。*得出結(jié)論：角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。（板書，并結(jié)合圖形用幾何語言描述：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE。）（三）逆向思考，探究判定1.提出問題：剛才我們證明了“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”。反過來，如果一個點(diǎn)到一個角的兩邊的距離相等，那么這個點(diǎn)是否一定在這個角的平分線上呢？2.引導(dǎo)猜想：學(xué)生思考，嘗試提出逆命題：到一個角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上。3.證明逆命題：*引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，寫出已知、求證。*已知：如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，且PD=PE。*求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上（或OP平分∠AOB）。*分析：要證點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，即證∠POD=∠POE。仍可通過證明△PDO≌△PEO來實(shí)現(xiàn)。*思考：已知PD=PE，OP為公共邊，且都是直角三角形，可用“HL”定理證明全等。*學(xué)生獨(dú)立完成證明過程，教師巡視檢查，并請一名學(xué)生板演。4.得出結(jié)論：角平分線的判定定理：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。（板書，并結(jié)合圖形用幾何語言描述：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上（或OP平分∠AOB）。）5.對比辨析：*性質(zhì)定理：已知點(diǎn)在角平分線上→得到距離相等。（性質(zhì)，由位置到數(shù)量）*判定定理：已知距離相等→得到點(diǎn)在角平分線上。（判定，由數(shù)量到位置）*強(qiáng)調(diào)：“距離”是指“垂線段的長度”，應(yīng)用時必須滿足“垂直”這個條件。（四）例題講解，鞏固應(yīng)用例1（性質(zhì)定理應(yīng)用）：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=DC。求證：EB=FC。*分析：要證EB=FC，已知BD=DC，可考慮證明△BDE≌△CDF。已有一對直角（∠BED=∠CFD=90°）和一條斜邊BD=CD，還需一個條件。由AD是角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，根據(jù)性質(zhì)定理可得DE=DF。從而可用“HL”證全等。*證明過程：（教師引導(dǎo)學(xué)生書寫規(guī)范）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）。在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD(已知)，DE=DF(已證)，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)?！郋B=FC(全等三角形的對應(yīng)邊相等)。例2（判定定理應(yīng)用）：如圖，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于點(diǎn)D，且BD=CD。求證：AD平分∠BAC。*分析：要證AD平分∠BAC，根據(jù)判定定理，只需證明點(diǎn)D到∠BAC兩邊的距離相等，即DF=DE。已知BD=CD，可通過證明△BDF≌△CDE得到DF=DE。*證明過程：（學(xué)生嘗試獨(dú)立完成，教師點(diǎn)評）∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°。在△BDF和△CDE中，∠BFD=∠CED(已證)，∠BDF=∠CDE(對頂角相等)，BD=CD(已知)，∴△BDF≌△CDE(AAS)?！郉F=DE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)。又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，即AD平分∠BAC(到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)。例3（綜合應(yīng)用）：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，若BC=8cm，BD=5cm，則點(diǎn)D到AB的距離為多少？*分析：求點(diǎn)D到AB的距離，即過D作DE⊥AB于E，求DE的長。已知AD是∠CAB的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，根據(jù)性質(zhì)定理，DE=DC。而DC=BC-BD，可求。*解答過程：（學(xué)生口答，教師板書）過點(diǎn)D作DE⊥AB于E?！摺螩=90°，∴DC⊥AC。∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)?！連C=8cm，BD=5cm，∴DC=BC-BD=8-5=3cm?！郉E=DC=3cm，即點(diǎn)D到AB的距離為3cm。（五）鞏固練習(xí)，深化理解1.基礎(chǔ)鞏固：*填空題：①如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC=3cm，則PD=______cm。②如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，若PD=4cm，且PD⊥OA，則點(diǎn)P到OB的距離是______cm。*選擇題：到三角形三條邊距離相等的點(diǎn)是三角形的（）A.三條中線的交點(diǎn)B.三條高的交點(diǎn)C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)2.能力提升：*如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F。求證：EB=FC。（與例1類似，側(cè)重學(xué)生獨(dú)立完成）*如圖，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分線交于點(diǎn)O，過O作OE⊥BC于E。求證：OE的長等于點(diǎn)O到AB的距離與點(diǎn)O到CD的距離之和。（提示：過O分別作AB、CD的垂線）（六）課堂小結(jié)，梳理知識1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？（角平分線的性質(zhì)定理和判定定理）2.性質(zhì)定理和判定定理的內(nèi)容分別是什么？它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？*性質(zhì)：點(diǎn)在角平分線上→距離相等。（知位置，得數(shù)量）*判定：距離相等→點(diǎn)在角平分線上。（知數(shù)量，得位置）3.應(yīng)用這兩個定理時要注意什么？（強(qiáng)調(diào)“垂直距離”）4.在解決與角平分線相關(guān)的問題時，常用的輔助線是什么？（過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線）（七）布置作業(yè)，拓展延伸1.必做題：課本練習(xí)題中與角平分線性質(zhì)相關(guān)的題目（具體指明頁碼題號）。2.選做題：*已知：如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC。求證：∠A+∠C=180°。（提示：在BC上截取BE=BA，連接DE，或過D作角兩邊垂線）*思考：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，它到三角形三邊的距離相等。你能利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理證明這個結(jié)論嗎？五、板書設(shè)計角平分線性質(zhì)專項訓(xùn)練1.角平分線性質(zhì)定理：*文字：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。*圖形：（簡筆畫）*幾何語言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE。*證明思路：AAS/ASA證△PDO≌△PEO。2.角平分線判定定理：*文字：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。*圖形：（簡筆畫）*幾何語言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上。*證明思路：HL證Rt△PDO≌Rt△PEO。3.例題講解：*例1（圖形）已知：...求證：...