高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試題（康德卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的方向向量可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的方向向量是與向量共線的向量，故D符合,故選：D.2.已知是等差數(shù)列，，，則（）A.0 B.5 C.10 D.15【答案】A【解析】由于，解得，故，故選：A.3.若拋物線過點，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將代入可得，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故準(zhǔn)線方程為，故選：A.4.在正四面體中，過點P作四面體的高PO，用向量，，表示（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在正四面體中，為正三角形，則點為重心，故，故，故.故選：B.5.已知，設(shè)雙曲線和橢圓的離心率分別為，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知，，由可得，解得；所以.故選：C.6.甲、乙兩人在地平面上測得電線桿頂部的仰角分別為，，如果電線桿在地平面上的高度為6米，那么甲、乙兩人在地平面上的最遠(yuǎn)距離為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】設(shè)甲到電線桿底部的距離為米.已知電線桿高度米，甲測得電線桿頂部仰角為.根據(jù)正切函數(shù)，對于仰角，.所以米.同理，設(shè)乙到電線桿底部的距離為米.已知電線桿高度為米，乙測得電線桿頂部仰角為.對于仰角，.所以米.則兩人在地平面上的最遠(yuǎn)距離為甲到電線桿底部的距離與乙到電線桿底部的距離之和.即米.故選：C.7.已知正項數(shù)列對，，都有，，記前n項和為，則（）A.80 B.93 C. D.【答案】D【解析】∵對，，都有，∴當(dāng)時，有，解得或（舍去）；當(dāng)時，對，都有，∴正項數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列.由等比數(shù)列前項和公式可知：.故選：D.8.已知正方體，E，F(xiàn)，G分別為棱AB，，的中點，若平面EFG截該正方體的截面面積為，點P為平面EFG上動點，則使的點P軌跡的長度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意截面EGF則為正六邊形，如圖所示，由截面面積為及三角形面積公式可得，解得，∴正方體的棱長.因為截面EFG，O為的中點，也是截面EFG的中心，且，，即，解得.∴使得的點P的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為的圓，所以軌跡長度為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．9.已知點，動點滿足，且動點的軌跡是橢圓，則點的坐標(biāo)可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由已知可得，即點在以為圓心為半徑的圓內(nèi)，且點，不重合，即點圓內(nèi)，由，在圓內(nèi)，在圓上，在圓外，可知AC選項正確；故選：AC.10.已知圓，，則（）A.時，和外離B.時，和有三條公切線C.若和相交且公共弦所在直線方程為，則D.若和相交且公共弦長為，則【答案】ABC【解析】A：圓的圓心為，半徑為.圓，的圓心為，半徑為.，，所以兩個圓外離，A選項正確，B：圓的圓心為，半徑為.圓，的圓心為，半徑為.，，所以兩個圓外切，和有三條公切線，B選項正確，C：由兩圓方程相減可得，即為公共弦所在直線方程，若和相交且公共弦所在直線方程為，則，所以，C正確；D：由知：到的距離為，而圓的半徑，所以，則，D錯誤；故選：ABC.11.已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.當(dāng)時，取最大值【答案】ACD【解析】由題意有，，故，由于，則有，，則當(dāng)時，取最大值，AD正確，，故，C正確，若的前5項分別為4，1，滿足，，但，故B錯誤，故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間直角坐標(biāo)系中的一點，則點Q在平面上的射影點的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】以棱長為1的正方體的共頂點的三條棱所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由圖可知，點Q在平面上的射影為點P，坐標(biāo)為.13.若拋物線與直線相交于原點O和點P，拋物線的焦點為F，則的值為__________．【答案】【解析】聯(lián)立方程組，解得或，故.又F為拋物線的焦點，，，.在中，由正弦定理可得：，.14.動直線與動直線相交于點，則的最小值為__________．【答案】【解析】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，動直線經(jīng)過定點，因為兩直線，始終垂直，點C是兩條直線的交點，所以有，所以點C的軌跡方程是，所求可以看成點C與點連線的斜率，如圖象，求出過M點的切線斜率即可，設(shè)切線為，即.根據(jù)相切的條件構(gòu)造方程，即,解得.可得最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列中，，為數(shù)列的前n項和，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列總滿足，求數(shù)列的前n項和．解：（1）當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，由，當(dāng)時，，符合綜上所述，；（2），則；故.16.已知橢圓的離心率為，過橢圓C的焦點作x軸的垂線被橢圓C截得的弦長為2．（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的上頂點A作直線交橢圓于另一點B（異于點A），求的最大值．解：（1）依題意不妨取右焦點，如下圖所示;易知橢圓C過點，則，得，又因為得，解得，，橢圓C的方程為；（2）顯然，設(shè)，當(dāng)直線AB斜率不存在時，可得，此時；當(dāng)AB斜率存在，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得，則，則，令，，，則，當(dāng)，時，等號成立；綜上可得最大值為．17.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且．（1）求PC中點G到平面PAD的距離；（2）求平面PAB與平面PCD的夾角的正弦值．解：（1）作交AD于E，則，以B為坐標(biāo)原點，BC，BE，BP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，因為G為PC中點，故，可得，，設(shè)平面PAD的一個法向量為，則，令，則，可得，所以G到平面PAD的距離為．（2）由（1）可得：，設(shè)平面PAB的一個法向量為，則，令，則，可得，設(shè)平面PCD的一個法向量為，所以，令，則，可得，設(shè)平面PAB與平面PCD的夾角為，由題設(shè)可得為銳角，則，可得，所以平面PAB與平面PCD夾角的正弦值為．18.已知數(shù)列的前項和滿足，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）集合，數(shù)列為等比數(shù)列且，如果數(shù)列為遞減數(shù)列，求等比數(shù)列的公比．解：（1）由題意當(dāng)時，，解得，①，當(dāng)時②，由①②得，即，則，當(dāng)時，則，，與矛盾，當(dāng)時，則，，滿足，即，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，即數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得，，，即集合為正整數(shù)集，依題意設(shè)，且數(shù)列的各項都為正整數(shù)，則，，當(dāng)時，若，則，即存在，即存在不為正整數(shù)，故時不合題意，當(dāng)時，，由得，必然存在使成立，故存在，這與為遞減數(shù)列相矛盾，故時不合題意，當(dāng)時，則，即，而為遞減數(shù)列，故時合題意，綜上所述，等比數(shù)列的公比．19.（1）在平面直角坐標(biāo)系中，點繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到點．試證明：點的軌跡方程為．（2）若點P在曲線上運動，現(xiàn)將點P繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到點M，求點M的軌跡方程．（3）若直線l過點且與（2）中M點的軌跡在y軸右側(cè)交于A，B兩點，，求直線l的方程．（1）證明：設(shè)直線OP的傾斜角，直線OQ的傾斜角為，則．，，，，即，所以.（2）解：設(shè)點，點，由（1）的結(jié)論可得，化簡得，即，因為點P在曲線上運動，所以，則點M的軌跡方程.（3）解：由題意知F為雙曲線的右焦點，若A在x軸上面，過A，B兩點分別向準(zhǔn)線作垂線交準(zhǔn)線于，，過點B向作垂線交于點C，設(shè)，則，由雙曲線第二定義得，，在中，，，則，所以，所以直線l的方程為.若點A在x軸下面，同理可得，直線l的方程為或.重慶市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試題（康德卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的方向向量可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的方向向量是與向量共線的向量，故D符合,故選：D.2.已知是等差數(shù)列，，，則（）A.0 B.5 C.10 D.15【答案】A【解析】由于，解得，故，故選：A.3.若拋物線過點，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將代入可得，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故準(zhǔn)線方程為，故選：A.4.在正四面體中，過點P作四面體的高PO，用向量，，表示（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在正四面體中，為正三角形，則點為重心，故，故，故.故選：B.5.已知，設(shè)雙曲線和橢圓的離心率分別為，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知，，由可得，解得；所以.故選：C.6.甲、乙兩人在地平面上測得電線桿頂部的仰角分別為，，如果電線桿在地平面上的高度為6米，那么甲、乙兩人在地平面上的最遠(yuǎn)距離為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】設(shè)甲到電線桿底部的距離為米.已知電線桿高度米，甲測得電線桿頂部仰角為.根據(jù)正切函數(shù)，對于仰角，.所以米.同理，設(shè)乙到電線桿底部的距離為米.已知電線桿高度為米，乙測得電線桿頂部仰角為.對于仰角，.所以米.則兩人在地平面上的最遠(yuǎn)距離為甲到電線桿底部的距離與乙到電線桿底部的距離之和.即米.故選：C.7.已知正項數(shù)列對，，都有，，記前n項和為，則（）A.80 B.93 C. D.【答案】D【解析】∵對，，都有，∴當(dāng)時，有，解得或（舍去）；當(dāng)時，對，都有，∴正項數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列.由等比數(shù)列前項和公式可知：.故選：D.8.已知正方體，E，F(xiàn)，G分別為棱AB，，的中點，若平面EFG截該正方體的截面面積為，點P為平面EFG上動點，則使的點P軌跡的長度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意截面EGF則為正六邊形，如圖所示，由截面面積為及三角形面積公式可得，解得，∴正方體的棱長.因為截面EFG，O為的中點，也是截面EFG的中心，且，，即，解得.∴使得的點P的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為的圓，所以軌跡長度為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．9.已知點，動點滿足，且動點的軌跡是橢圓，則點的坐標(biāo)可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由已知可得，即點在以為圓心為半徑的圓內(nèi)，且點，不重合，即點圓內(nèi)，由，在圓內(nèi)，在圓上，在圓外，可知AC選項正確；故選：AC.10.已知圓，，則（）A.時，和外離B.時，和有三條公切線C.若和相交且公共弦所在直線方程為，則D.若和相交且公共弦長為，則【答案】ABC【解析】A：圓的圓心為，半徑為.圓，的圓心為，半徑為.，，所以兩個圓外離，A選項正確，B：圓的圓心為，半徑為.圓，的圓心為，半徑為.，，所以兩個圓外切，和有三條公切線，B選項正確，C：由兩圓方程相減可得，即為公共弦所在直線方程，若和相交且公共弦所在直線方程為，則，所以，C正確；D：由知：到的距離為，而圓的半徑，所以，則，D錯誤；故選：ABC.11.已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.當(dāng)時，取最大值【答案】ACD【解析】由題意有，，故，由于，則有，，則當(dāng)時，取最大值，AD正確，，故，C正確，若的前5項分別為4，1，滿足，，但，故B錯誤，故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間直角坐標(biāo)系中的一點，則點Q在平面上的射影點的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】以棱長為1的正方體的共頂點的三條棱所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由圖可知，點Q在平面上的射影為點P，坐標(biāo)為.13.若拋物線與直線相交于原點O和點P，拋物線的焦點為F，則的值為__________．【答案】【解析】聯(lián)立方程組，解得或，故.又F為拋物線的焦點，，，.在中，由正弦定理可得：，.14.動直線與動直線相交于點，則的最小值為__________．【答案】【解析】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，動直線經(jīng)過定點，因為兩直線，始終垂直，點C是兩條直線的交點，所以有，所以點C的軌跡方程是，所求可以看成點C與點連線的斜率，如圖象，求出過M點的切線斜率即可，設(shè)切線為，即.根據(jù)相切的條件構(gòu)造方程，即,解得.可得最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列中，，為數(shù)列的前n項和，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列總滿足，求數(shù)列的前n項和．解：（1）當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，由，當(dāng)時，，符合綜上所述，；（2），則；故.16.已知橢圓的離心率為，過橢圓C的焦點作x軸的垂線被橢圓C截得的弦長為2．（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的上頂點A作直線交橢圓于另一點B（異于點A），求的最大值．解：（1）依題意不妨取右焦點，如下圖所示;易知橢圓C過點，則，得，又因為得，解得，，橢圓C的方程為；（2）顯然，設(shè)，當(dāng)直線AB斜率不存在時，可得，此時；當(dāng)AB斜率存在，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得，則，則，令，，，則，當(dāng)，時，等號成立；綜上可得最大值為．17.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且．（1）求PC中點G到平面PAD的距離；（2）求平面PAB與平面PCD的夾角的正弦值．解：（1）作交AD于E，則，以B為坐標(biāo)原點，BC，BE，BP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，因為G為PC中點，故，可得，，設(shè)平面PAD的一個法向量為，則，令，則，可得，所以G到平面PAD的距離為．（2）由（1）可得：，設(shè)平面PAB的一個法向量為，則，令，則，可得，設(shè)平面PCD的一個法向量為，所以，令，則，可得，設(shè)平面P