高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市五區(qū)縣重點(diǎn)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）1.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律，空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是.故選：A.2.若直線l的一個(gè)方向向量為，則它的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】由于直線l的一個(gè)方向向量為，故直線的斜率為，故傾斜角為150°，故選：D.3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于（）A.12 B.15 C.18 D.21【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以.故選：B.4.以直線：恒過的定點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將直線的方程變形為令，解得，.所以直線恒過定點(diǎn)，即圓心坐標(biāo)為.已知半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.展開可得，即.故選：D.5.已知雙曲線的兩條漸近線之間的夾角小于，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線之間的夾角小于，所以或，即或，又，所以，故選：D.6.定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（）A.3 B.±3 C.9 D.±9【答案】C【解析】根據(jù)行列式的定義，對(duì)于，可得，即.因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)：所以.由，可得，則.又因?yàn)?，等比?shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，所以.故選：C.7.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線，在線段上時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線，在線段上時(shí)取等號(hào)，而，故的最小值為，故選：B.8.已知雙曲線的一條漸近線與拋物線交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且為等邊三角形，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，作，由拋物線的定義可知，，又為等邊三角形，所以，所以，即點(diǎn)重合，所以，設(shè)，不妨設(shè)，則，得，所以，所以，又因?yàn)?，所以得，所以雙曲線的方程為.故選：A.9.如果數(shù)列對(duì)任意的，，則稱為“速增數(shù)列”，若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，則正整數(shù)的最大值為（）A.27 B.28 C.29 D.30【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，由數(shù)列為“速增數(shù)列”，則，又，則、、、，則，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故正整數(shù)的最大值為.故選：C.二、填空題（本題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）10.兩條直線：與：之間的距離為_______.【答案】【解析】直線：即，又直線：，所兩直線間的距離.11.已知圓：與圓：外切，此時(shí)直線：被圓所截的弦長為_______.【答案】【解析】：的圓心和半徑分別為，，：圓心和半徑分別為，，由于兩圓外切，故，解得，故直線的距離為，故弦長為.12.如圖，在正方體中，M，N分別為DB，的中點(diǎn)，則直線和BN的夾角的余弦值為______【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，故和BN的夾角的余弦值為.13.已知數(shù)列滿足，，，則_______.【答案】【解析】由知數(shù)列為等差數(shù)列，且，公差，則，于是，則.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線與的右支相交于、兩點(diǎn)，若，點(diǎn)位于第一象限，則雙曲線的離心率為_______.【答案】【解析】如下圖所示：不妨設(shè)，則，，則，所以，，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得，即，解得，所以，，可得，所以，，，由勾股定理可得，即，可得，所以，，故該雙曲線的離心率為.15.如圖，已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為1的直線交于A，B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M，其垂直平分線交x軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)N.若四邊形的面積等于，則p的值為______.【答案】3【解析】易知，直線的方程為，四邊形為梯形，且．設(shè)，，，則，所以，所以．作軸于點(diǎn)，則．因?yàn)橹本€的斜率為1，所以為等腰直角三角形，故，所以，，所以四邊形的面積為，解得，故答案為：3.三、解答題16.設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公比不為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足.已知，，成等差數(shù)列.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和，的前項(xiàng)和.解：是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，即，即，解得或（舍），故，所以.（2）由（1）可得，，①則，②①-②得：，，所以.17.如圖，在直三棱柱中，，，是中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：在直三棱柱中，連接交于F點(diǎn)，連接，由側(cè)面是平行四邊形，得是的中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，則，而平面，平面，所以平面.（2）解：依題意，底面，，則直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，而是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為.（3）解：由（2）知，，所以點(diǎn)到平面的距離.18.已知橢圓：的離心率，點(diǎn)在上.（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)D，若過原點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn)E，求的最小值.解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率，且在上所以，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消去，得，所以，因?yàn)?，所以直線的方程可設(shè)為，聯(lián)立，消去，得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由，得.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，由此，當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值.19.已知橢圓C：的長軸長為4，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形周長為.（1）求橢圓方程；（2）直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果，求k的值.解：（1）由題設(shè)得，解得，，，所以橢圓C的方程為.（2）聯(lián)立，得，由，得，設(shè)，，則，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為，所以直線的方程為，令，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則，因，所以點(diǎn)、點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè)，因?yàn)?，所以，法一：由上可得，因?yàn)?，，所以，解得，所?法二：因,故有，即，因?yàn)椋?，所以，解得，所?20.已知等差數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，；數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為；（3）在和，中插入個(gè)相同的數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，求的前2025項(xiàng)和.解：（1）依題意，，，即，解得.所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，所以，，又因?yàn)?，所以?shù)列為等比數(shù)列，所以，解得或（舍去），所以；（2）由已知，即，設(shè)的前項(xiàng)和中，奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，所以，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.；（3）：，從到共有項(xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，，，，，.天津市五區(qū)縣重點(diǎn)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）1.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律，空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是.故選：A.2.若直線l的一個(gè)方向向量為，則它的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】由于直線l的一個(gè)方向向量為，故直線的斜率為，故傾斜角為150°，故選：D.3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于（）A.12 B.15 C.18 D.21【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以.故選：B.4.以直線：恒過的定點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將直線的方程變形為令，解得，.所以直線恒過定點(diǎn)，即圓心坐標(biāo)為.已知半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.展開可得，即.故選：D.5.已知雙曲線的兩條漸近線之間的夾角小于，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線之間的夾角小于，所以或，即或，又，所以，故選：D.6.定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（）A.3 B.±3 C.9 D.±9【答案】C【解析】根據(jù)行列式的定義，對(duì)于，可得，即.因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)：所以.由，可得，則.又因?yàn)椋缺葦?shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，所以.故選：C.7.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線，在線段上時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線，在線段上時(shí)取等號(hào)，而，故的最小值為，故選：B.8.已知雙曲線的一條漸近線與拋物線交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且為等邊三角形，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，作，由拋物線的定義可知，，又為等邊三角形，所以，所以，即點(diǎn)重合，所以，設(shè)，不妨設(shè)，則，得，所以，所以，又因?yàn)?，所以得，所以雙曲線的方程為.故選：A.9.如果數(shù)列對(duì)任意的，，則稱為“速增數(shù)列”，若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，則正整數(shù)的最大值為（）A.27 B.28 C.29 D.30【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，由數(shù)列為“速增數(shù)列”，則，又，則、、、，則，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故正整數(shù)的最大值為.故選：C.二、填空題（本題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）10.兩條直線：與：之間的距離為_______.【答案】【解析】直線：即，又直線：，所兩直線間的距離.11.已知圓：與圓：外切，此時(shí)直線：被圓所截的弦長為_______.【答案】【解析】：的圓心和半徑分別為，，：圓心和半徑分別為，，由于兩圓外切，故，解得，故直線的距離為，故弦長為.12.如圖，在正方體中，M，N分別為DB，的中點(diǎn)，則直線和BN的夾角的余弦值為______【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，故和BN的夾角的余弦值為.13.已知數(shù)列滿足，，，則_______.【答案】【解析】由知數(shù)列為等差數(shù)列，且，公差，則，于是，則.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線與的右支相交于、兩點(diǎn)，若，點(diǎn)位于第一象限，則雙曲線的離心率為_______.【答案】【解析】如下圖所示：不妨設(shè)，則，，則，所以，，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得，即，解得，所以，，可得，所以，，，由勾股定理可得，即，可得，所以，，故該雙曲線的離心率為.15.如圖，已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為1的直線交于A，B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M，其垂直平分線交x軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)N.若四邊形的面積等于，則p的值為______.【答案】3【解析】易知，直線的方程為，四邊形為梯形，且．設(shè)，，，則，所以，所以．作軸于點(diǎn)，則．因?yàn)橹本€的斜率為1，所以為等腰直角三角形，故，所以，，所以四邊形的面積為，解得，故答案為：3.三、解答題16.設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公比不為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足.已知，，成等差數(shù)列.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和，的前項(xiàng)和.解：是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，即，解得或（舍），故，所以.（2）由（1）可得，，①則，②①-②得：，，所以.17.如圖，在直三棱柱中，，，是中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：在直三棱柱中，連接交于F點(diǎn)，連接，由側(cè)面是平行四邊形，得是的中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，則，而平面，平面，所以平面.（2）解：依題意，底面，，則直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，而是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為.（3）解：由（2）知，，所以點(diǎn)到平面的距離.18.已知橢圓：的離心率，點(diǎn)在上.（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)D，若過原點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn)E，求的最小值.解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率，且在上所以，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消去，得，所以，因?yàn)椋灾本€的方程可設(shè)為，聯(lián)立，消去，得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由，得.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，由此，當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值.19.已知橢圓C：的長軸長為4，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形周長為.（1）求橢圓方程；（2）直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果，求k的值.解：（1）由題設(shè)得，解得，，，所以橢圓C的方程為.（2）聯(lián)立，得，由，得，設(shè)，，則，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為，所以直線的方程為，令，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則，因，所以點(diǎn)、點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè)