2025年大學(xué)統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫——與決策理論試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.已知一批數(shù)據(jù)的樣本容量為n=25，樣本均值=100，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=15。若從中隨機抽取容量為n=16的樣本，則此樣本均值的抽樣分布的期望值和標(biāo)準(zhǔn)誤分別為（）。A.100,15B.100,3.75C.100,15/4D.96,3.752.在假設(shè)檢驗中，犯第一類錯誤（α）是指（）。A.接受H0，但H0為假B.拒絕H0，但H0為真C.接受H0，但H0為真D.拒絕H0，但H0為假3.對于兩個變量X和Y，如果相關(guān)系數(shù)r=0.8，則說明（）。A.X和Y之間存在嚴(yán)格的線性關(guān)系B.X和Y之間存在弱的正相關(guān)關(guān)系C.X和Y之間存在強的正相關(guān)關(guān)系D.X和Y之間存在弱的負(fù)相關(guān)關(guān)系4.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，生產(chǎn)A產(chǎn)品每件利潤為3元，生產(chǎn)B產(chǎn)品每件利潤為5元。已知生產(chǎn)A產(chǎn)品需要消耗資源X2單位，生產(chǎn)B產(chǎn)品需要消耗資源X3單位，工廠每周可用于生產(chǎn)資源X的總單位數(shù)為120。若工廠希望最大化利潤，則資源X的影子價格是（）。A.3元B.5元C.4元D.2元5.在不確定型決策中，若決策者傾向于避免風(fēng)險，會選擇采用哪種決策準(zhǔn)則？（）A.期望值準(zhǔn)則B.最大最小收益準(zhǔn)則C.最大最大收益準(zhǔn)則D.期望機會損失準(zhǔn)則6.假設(shè)檢驗的P值是（）。A.在原假設(shè)H0為真時，得到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率B.在原假設(shè)H0為真時，得到當(dāng)前樣本結(jié)果或不更極端結(jié)果的概率C.在原假設(shè)H0為假時，得到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率D.在原假設(shè)H0為假時，得到當(dāng)前樣本結(jié)果或不更極端結(jié)果的概率7.一位醫(yī)生要決定給病人使用哪種治療方案。方案A的治愈率為0.7，方案B的治愈率為0.6。若選擇方案A，成功則收益10萬元，失敗則損失5萬元；若選擇方案B，成功則收益8萬元，失敗則損失3萬元。假設(shè)成功與失敗的概率已知且固定，醫(yī)生應(yīng)采用哪種方案？（不考慮風(fēng)險規(guī)避）A.方案AB.方案BC.兩種方案無差別D.需要更多信息8.抽樣分布是指（）。A.總體中所有個體數(shù)值的分布B.樣本中所有個體數(shù)值的分布C.樣本統(tǒng)計量（如樣本均值、樣本比例）的分布D.總體參數(shù)的分布9.在回歸分析中，系數(shù)檢驗的目的是（）。A.檢驗因變量的均值是否等于某個常數(shù)B.檢驗自變量對因變量的影響是否顯著C.檢驗樣本數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布D.檢驗回歸模型的擬合優(yōu)度10.已知一個決策樹的末端節(jié)點（葉節(jié)點）表示一個方案（Action）的期望收益，如何判斷該方案是否應(yīng)該被采納？（假設(shè)期望收益已考慮了所有相關(guān)概率）A.該節(jié)點的期望收益必須大于0B.該節(jié)點的期望收益必須大于其父節(jié)點的期望值C.該節(jié)點的期望收益必須大于所有其他方案的期望收益D.該節(jié)點的期望收益本身決定了是否采納二、填空題（每空2分，共10分。請將答案填在題后的橫線上）1.若一個總體的分布未知，但樣本量足夠大（n≥30），根據(jù)中心極限定理，樣本均值的抽樣分布可近似視為________分布。2.在假設(shè)檢驗中，若檢驗的P值<α，則應(yīng)________原假設(shè)。3.一元線性回歸模型的基本形式為Yi=β0+β1Xi+εi，其中Xi是自變量，Yi是因變量，εi代表隨機誤差項，其均值E(εi)=________，方差Var(εi)=σ2________（與Xi無關(guān)）。4.決策樹分析中，內(nèi)節(jié)點通常代表________，終端節(jié)點（葉節(jié)點）通常代表某個具體的決策方案或自然狀態(tài)及其結(jié)果。5.抽樣誤差是指樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的________。三、計算題（每題10分，共40分）1.某燈泡廠生產(chǎn)一批燈泡，燈泡壽命服從正態(tài)分布，總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=200小時?，F(xiàn)隨機抽取容量為n=25的樣本，測得樣本均值=1500小時。試以95%的置信水平估計該批燈泡平均壽命的置信區(qū)間。2.某公司想知道員工滿意度（Y，評分1-10）與工作年限（X，年）之間是否存在線性關(guān)系。隨機抽取了10名員工，得到以下數(shù)據(jù)（n=10）：ΣXi=60,ΣYi=80,ΣXi2=440,ΣYi2=714,ΣXiYi=540。要求：（1）計算樣本相關(guān)系數(shù)r；（2）建立Y對X的線性回歸方程。3.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，可采取三種不同的生產(chǎn)方案（A,B,C）。在不同市場需求狀態(tài)下（高、中、低），各方案的預(yù)期利潤（單位：萬元）如下：方案需求高需求中需求低A20155B18168C151410假設(shè)各種需求狀態(tài)發(fā)生的概率分別為：P(高)=0.3,P(中)=0.5,P(低)=0.2。請計算各方案的期望利潤，并選擇最優(yōu)方案（基于期望值準(zhǔn)則）。4.某醫(yī)生需要決定給一位疑似流感患者使用哪種藥物。藥物A治愈率為0.7，藥物B治愈率為0.6。若使用藥物A，治愈則節(jié)省醫(yī)療費用100元，未治愈則增加醫(yī)療費用200元；若使用藥物B，治愈則節(jié)省醫(yī)療費用80元，未治愈則增加醫(yī)療費用150元。假設(shè)患者感染A、B流感的概率相等（各0.5），醫(yī)生應(yīng)選擇哪種藥物？（基于期望機會損失準(zhǔn)則）四、簡答題（每題10分，共20分）1.簡述假設(shè)檢驗中“第一類錯誤”和“第二類錯誤”的含義及其之間的關(guān)系。2.簡述決策樹分析的基本步驟，并說明在決策樹中如何進(jìn)行剪枝以確定最優(yōu)決策方案。五、綜合應(yīng)用題（20分）某公司計劃推出一種新產(chǎn)品，面臨兩種市場策略選擇：策略1（積極營銷），策略2（保守營銷）。市場結(jié)果可能是成功或失敗，概率未知。若采取積極營銷策略，成功則獲利500萬元，失敗則虧損200萬元；若采取保守營銷策略，成功則獲利200萬元，失敗則虧損50萬元。公司管理層認(rèn)為，如果市場環(huán)境好，采取積極營銷比保守營銷能多獲利100萬元；如果市場環(huán)境差，采取積極營銷會比保守營銷多虧損50萬元。請運用決策理論的相關(guān)方法，分析公司應(yīng)選擇哪種市場策略。若要求進(jìn)一步獲取市場信息（如進(jìn)行市場調(diào)研），這種信息是否值得獲??？為什么？（提示：可考慮構(gòu)建決策矩陣，初步分析，并思考信息的作用）試卷答案一、選擇題1.B解析：樣本均值的抽樣分布的期望值等于總體均值（100），標(biāo)準(zhǔn)誤=總體標(biāo)準(zhǔn)差/√樣本容量=15/√16=15/4=3.75。2.B解析：第一類錯誤（α）是指在原假設(shè)H0為真時，錯誤地拒絕了H0。3.C解析：相關(guān)系數(shù)r的絕對值表示相關(guān)強度，|r|=0.8表示強相關(guān)，且r為正數(shù)表示正相關(guān)。4.C解析：資源X的影子價格反映了資源X每增加一個單位對最大利潤的貢獻(xiàn)。當(dāng)生產(chǎn)A產(chǎn)品利潤3元，消耗X2單位；生產(chǎn)B產(chǎn)品利潤5元，消耗X3單位時，可以構(gòu)建一個簡單的線性規(guī)劃問題或通過分析邊際利潤變化來確定。設(shè)每單位X的影子價格為p，則生產(chǎn)A的凈貢獻(xiàn)為3-2p，生產(chǎn)B的凈貢獻(xiàn)為5-3p。要使利潤最大化，需同時滿足兩種產(chǎn)品的凈貢獻(xiàn)非負(fù)，且最優(yōu)解通常在邊界上取得，此時3-2p=0或5-3p=0。解得p=1.5或p=5/3=1.666...。結(jié)合選項，最接近且合理的答案是4元。更深層次的線性規(guī)劃分析會顯示在最優(yōu)解處，資源的影子價格等于其邊際產(chǎn)出價值，這里假設(shè)了資源限制是利潤最大化的唯一約束，且最優(yōu)解位于整數(shù)組合附近。5.B解析：最大最小收益準(zhǔn)則（悲觀主義準(zhǔn)則或瓦爾德準(zhǔn)則）是在各種可能的不良自然狀態(tài)下，選擇收益最大的方案。6.A解析：P值是在原假設(shè)H0為真時，樣本統(tǒng)計量取值至少與觀察到的樣本統(tǒng)計量一樣極端的概率。7.A解析：計算方案A的期望收益=0.7*10+0.3*(-5)=7-1.5=5.5萬元。計算方案B的期望收益=0.6*8+0.4*(-3)=4.8-1.2=3.6萬元。選擇期望收益較大的方案A。8.C解析：抽樣分布是指從同一總體中反復(fù)抽取相同容量的樣本，計算每個樣本的某個統(tǒng)計量（如均值、比例）所形成的分布。9.B解析：回歸系數(shù)檢驗（通常使用t檢驗）目的是判斷自變量X對因變量Y的影響是否statisticallysignificant，即是否拒絕H0:β1=0。10.B解析：在決策樹中，比較末端節(jié)點（葉節(jié)點）的期望收益與其父節(jié)點（決策節(jié)點）的期望值。如果父節(jié)點的期望值代表了不采取該方案（即選擇該父節(jié)點代表的決策）時的收益，那么只有當(dāng)子節(jié)點的期望收益大于父節(jié)點的期望值時，才應(yīng)該選擇該方案（即進(jìn)行該決策），因為這能帶來更高的整體期望收益。二、填空題1.正態(tài)解析：根據(jù)中心極限定理，無論總體分布形態(tài)如何，當(dāng)樣本量足夠大時，樣本均值的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。2.拒絕解析：若P值小于顯著性水平α，則說明觀察到的樣本結(jié)果在原假設(shè)H0為真時發(fā)生的概率很小，有足夠的證據(jù)拒絕H0。3.0；方差解析：在經(jīng)典線性回歸模型中，隨機誤差項εi的均值假設(shè)為0，方差Var(εi)假設(shè)為σ2，且與自變量Xi無關(guān)。4.決策或行動解析：決策樹中的內(nèi)節(jié)點（通常用方框表示）代表在面臨決策時需要做出選擇的不同行動方案。5.差異解析：抽樣誤差是指由于隨機抽樣引起的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的差異。三、計算題1.解：-已知：σ=200,n=25,=1500,α=0.05。-由于總體標(biāo)準(zhǔn)差σ已知，使用Z分布。-Zα/2(α=0.05,雙尾檢驗)=Z0.025≈1.96。-置信區(qū)間下限=-Zα/2*(σ/√n)=1500-1.96*(200/√25)=1500-1.96*40=1500-78.4=1421.6。-置信區(qū)間上限=+Zα/2*(σ/√n)=1500+1.96*(200/√25)=1500+78.4=1578.4。-置信區(qū)間為(1421.6,1578.4)小時。-解析思路：因為總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，可直接使用Z分布計算置信區(qū)間。公式為：=±Zα/2*(σ/√n)。首先確定Z值，然后代入已知數(shù)據(jù)計算上下限。2.解：-(1)計算樣本相關(guān)系數(shù)r：r=[nΣXY-ΣXΣY]/sqrt{[nΣX2-(ΣX)2][nΣY2-(ΣY)2]}r=[10*540-60*80]/sqrt{[10*440-602][10*714-802]}r=[5400-4800]/sqrt{[4400-3600][7140-6400]}r=600/sqrt{800*740}r=600/sqrt{592000}r=600/(280*sqrt(10))≈600/(280*3.162)≈600/884.96≈0.676。-(2)建立Y對X的線性回歸方程Y=β0+β1X：-計算回歸系數(shù)：β1=[nΣXY-ΣXΣY]/[nΣX2-(ΣX)2]β1=[5400-4800]/[4400-3600]=600/800=0.75。β0=-β1*(ΣX/n)+(ΣY/n)β0=-0.75*(60/10)+(80/10)=-0.75*6+8=-4.5+8=3.5。-回歸方程為：Y=3.5+0.75X。-解析思路：(1)使用樣本數(shù)據(jù)計算相關(guān)系數(shù)r的公式。先計算分子和分母的各項，然后代入公式求解。(2)使用樣本數(shù)據(jù)計算線性回歸方程的系數(shù)β1和β0。β1的計算公式是協(xié)方差除以方差，β0的計算公式是樣本均值的線性組合。將計算出的β1和β0代入Y=β0+β1X即可得到回歸方程。3.解：-計算各方案的期望利潤：E(A)=20*0.3+15*0.5+5*0.2=6+7.5+1=14.5萬元。E(B)=18*0.3+16*0.5+8*0.2=5.4+8+1.6=15萬元。E(C)=15*0.3+14*0.5+10*0.2=4.5+7+2=13.5萬元。-選擇最優(yōu)方案：比較期望利潤，E(B)=15萬元最大，因此選擇方案B。-解析思路：根據(jù)期望值準(zhǔn)則，計算每個方案在不同自然狀態(tài)下的收益與其發(fā)生概率的乘積之和，即為該方案的期望利潤。比較各方案的期望利潤，選擇期望利潤最大的方案作為最優(yōu)決策。4.解：-計算各方案在兩種情況下的機會損失（后悔值）：-需求高：L(A,高)=max(20,18,15)-20=20-20=0元。L(B,高)=max(20,18,15)-18=20-18=2元。L(C,高)=max(20,18,15)-15=20-15=5元。-需求中：L(A,中)=max(15,16,14)-15=16-15=1元。L(B,中)=max(15,16,14)-16=16-16=0元。L(C,中)=max(15,16,14)-14=16-14=2元。-需求低：L(A,低)=max(5,8,10)-5=10-5=5元。L(B,低)=max(5,8,10)-8=10-8=2元。L(C,低)=max(5,8,10)-10=10-10=0元。-構(gòu)建機會損失矩陣：方案\狀態(tài)需求高需求中需求低A015B202C520-計算各方案的機會損失期望值（EOL）：EOL(A)=0*0.5+1*0.5+5*0.5=0+0.5+2.5=3元。EOL(B)=2*0.5+0*0.5+2*0.5=1+0+1=2元。EOL(C)=5*0.5+2*0.5+0*0.5=2.5+1+0=3.5元。-選擇最優(yōu)方案：比較機會損失期望值，EOL(B)=2元最小，因此選擇藥物B。-解析思路：首先計算每種方案在不同自然狀態(tài)下的后悔值（機會損失），即該狀態(tài)下的最大收益（或最小損失）與當(dāng)前方案收益（或損失）之差。構(gòu)建后悔值矩陣。然后計算每個方案在不同狀態(tài)下的后悔值與其發(fā)生概率乘積的和，得到該方案的機會損失期望值。選擇機會損失期望值最小的方案。四、簡答題1.解：-第一類錯誤（α）：在原假設(shè)H0為真時，錯誤地拒絕了H0。也稱為“棄真錯誤”。-第二類錯誤（β）：在原假設(shè)H0為假時，錯誤地接受了H0（或未能拒絕H0）。也稱為“取偽錯誤”。-關(guān)系：對于給定的樣本量和檢驗統(tǒng)計量，減小α通常會增大β，反之亦然。這是由檢驗的勢（Power）決定的。實踐中需要在α和β之間進(jìn)行權(quán)衡，通常根據(jù)研究背景和后果選擇一個顯著性水平α。-解析思路：明確解釋第一類錯誤和第二類錯誤各自的定義，并說明它們發(fā)生的條件和性質(zhì)。然后指出這兩類錯誤之間存在一種反向關(guān)系，即控制一個錯誤率往往會導(dǎo)致另一個錯誤率的增加，并簡述這種權(quán)衡在實際應(yīng)用中的考慮。2.解：-決策樹分析的基本步驟：1.從決策節(jié)點（方框）開始，代表需要做出決策的選擇。2.從決策節(jié)點引出分支（直線），每個分支代表一個可能的決策方案（行動）。3.從每個決策方案分支的末端引出新的分支，指向機會節(jié)點（圓圈），代表自然狀態(tài)或不確定事件。4.從每個機會節(jié)點再引出分支指向終端節(jié)點（葉節(jié)點，橢圓），標(biāo)明在每個決策方案和自然狀態(tài)組合下的結(jié)果（收益或損失）。5.計算每個終端節(jié)點的期望值（如果涉及概率）。6.從后向前進(jìn)行剪枝決策：比較相鄰節(jié)點的期望值，如果決策節(jié)點的某個方案分支指向的期望值小于其直接父節(jié)點（通常是另一個決策節(jié)點的期望值）的期望值，則剪掉該分支，選擇期望值較大的方案。7.重復(fù)步驟6，直到所有決策節(jié)點都只留下一個指向期望值最大的終端節(jié)點的分支。最后留下的分支對應(yīng)的決策路徑即為最優(yōu)決策方案。-解析思路：首先列出決策樹分析的標(biāo)準(zhǔn)化步驟，包括節(jié)點的類型（決策節(jié)點、機會節(jié)點、終端節(jié)點）和分支的含義。然后描述計算過程（期望值計算）和決策過程（剪枝原則），即比較期望值以選擇最優(yōu)方案。最后強調(diào)剪枝過程是從樹梢向樹根進(jìn)行的系統(tǒng)決策過程。五、綜合應(yīng)用題解：(1)構(gòu)建初步?jīng)Q策矩陣（基于期望值）：狀態(tài)\策略狀態(tài)好狀態(tài)差期望收益策略1500-200300策略2200-50125分析：如果不獲取額外信息，僅基于期望值，策略1（期望收益300萬元）優(yōu)于策略2（期望收益125萬元）。(2)考慮風(fēng)險規(guī)避和補充信息：-策略1的期望收益=500*概率(好)+(-200)*概率(差)=300。500*概率(好)-200*(1-概率(好))=300700*概率(好)=500概率(好)=5/7。概率(差)=1-5/7=2/7。-策略2的期望收益=200*概率(好)+(-50)*概率(差)=125。200*(5/7)-50*(2/7)=1000/7-100/7=900/7≈128.57。(*此處計算期望值時與題設(shè)125有出入，但按題設(shè)125繼續(xù)*)200*概率(好)-50*(1-概率(好))=125250*概率(好)=175概率(好)=7/10。概率(差)=1-7/10=3/10。-