2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國(guó)際現(xiàn)代藝術(shù)創(chuàng)新組織競(jìng)賽試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）若正整數(shù)(a)、(b)滿足(a^2+b^2=2025)，且(a<b)，則(b-a)的最小值為（）A.9B.15C.21D.27解答：2025是45的平方，即(45^2=2025)。將2025拆分為兩個(gè)平方數(shù)之和，可能的組合有：(0^2+45^2=2025)（不符合正整數(shù)條件）(27^2+36^2=729+1296=2025)(15^2+42^2=225+1764=1989)（不滿足）(36^2+27^2)與上述重復(fù)，且(a<b)，故(a=27)，(b=36)，(b-a=9)。答案：A。如圖1（示意圖），在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(y=ax^2+bx+c)與x軸交于點(diǎn)(A(-1,0))和(B(3,0))，與y軸交于點(diǎn)(C(0,3))，則該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.(1,4)B.(1,-4)C.(-1,4)D.(2,3)解答：由交點(diǎn)式設(shè)拋物線方程為(y=a(x+1)(x-3))，代入點(diǎn)(C(0,3))：(3=a(0+1)(0-3)\Rightarrow3=-3a\Rightarrowa=-1)。故(y=-(x^2-2x-3)=-x^2+2x+3)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(x=-\frac{2a}=1)，代入得(y=-1+2+3=4)。頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,4)。答案：A。若關(guān)于(x)的分式方程(\frac{2x}{x-1}+\frac{m}{1-x}=3)有增根，則(m)的值為（）A.2B.-2C.1D.-1解答：方程兩邊同乘(x-1)得：(2x-m=3(x-1))，化簡(jiǎn)得(x=3-m)。增根為(x=1)，代入得(1=3-m\Rightarrowm=2)。答案：A。在(\triangleABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=6)，(BC=8)，點(diǎn)(D)為(AB)的中點(diǎn)，以(CD)為直徑作圓，則該圓的半徑為（）A.5B.4C.3D.2.5解答：由勾股定理得(AB=\sqrt{6^2+8^2}=10)。直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，故(CD=\frac{1}{2}AB=5)，圓的半徑為(CD/2=2.5)。答案：D。若(a=2025^{2024})，(b=2024^{2025})，則(a)與(b)的大小關(guān)系為（）A.(a>b)B.(a<b)C.(a=b)D.無(wú)法確定解答：作商比較：(\frac{a}=\frac{2024^{2025}}{2025^{2024}}=2024\times\left(\frac{2024}{2025}\right)^{2024})。令(x=2024)，則(\frac{a}=x\times\left(\frac{x}{x+1}\right)^x=x\times\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x})。由極限(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\approx2.718)，當(dāng)(x=2024)時(shí)，(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\approxe)，故(\frac{a}\approx2024/e>1)，即(b>a)。答案：B。如圖2（示意圖），在菱形(ABCD)中，(\angleA=60^\circ)，邊長(zhǎng)(AB=4)，點(diǎn)(E)為(BC)中點(diǎn)，連接(AE)并延長(zhǎng)交(DC)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)(F)，則(\triangleAFD)的面積為（）A.(8\sqrt{3})B.(12\sqrt{3})C.(16\sqrt{3})D.(20\sqrt{3})解答：菱形中(AB\parallelCD)，(\angleA=60^\circ)，則(\triangleABD)為等邊三角形，高為(4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3})。點(diǎn)(E)為(BC)中點(diǎn)，故(BE=EC=2)，由(\triangleABE\sim\triangleFCE)（相似比1:1），得(CF=AB=4)，(FD=CD+CF=8)。(\triangleAFD)的高與菱形的高相等，即(2\sqrt{3})，面積(S=\frac{1}{2}\times8\times2\sqrt{3}=8\sqrt{3})。答案：A。已知關(guān)于(x)的不等式組(\begin{cases}x-a\geq0\5-2x>1\end{cases})有且只有3個(gè)整數(shù)解，則(a)的取值范圍是（）A.(-2<a\leq-1)B.(-2\leqa<-1)C.(-1<a\leq0)D.(-1\leqa<0)解答：解不等式組得：(x\geqa)且(x<2)，整數(shù)解為(x=1,0,-1)，故(a)需滿足(-2<a\leq-1)（若(a=-2)，則整數(shù)解包含-2，共4個(gè)）。答案：A。下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.正五邊形D.圓解答：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，非中心對(duì)稱；平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，非軸對(duì)稱（除非特殊平行四邊形）；正五邊形是軸對(duì)稱圖形，非中心對(duì)稱；圓既是軸對(duì)稱圖形（無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸），也是中心對(duì)稱圖形（對(duì)稱中心為圓心）。答案：D。計(jì)算(\sin60^\circ+\cos45^\circ-\tan30^\circ)的值為（）A.(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3})C.(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3})D.(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3})解答：代入特殊角三角函數(shù)值：(\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2})，(\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2})，(\tan30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3})，故原式為(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3})。答案：A。某商店銷售一種商品，進(jìn)價(jià)為每件20元，售價(jià)為每件(x)元，每天可賣出((100-x))件，若每天獲利1920元，則售價(jià)(x)應(yīng)滿足（）A.(x^2-120x+3920=0)B.(x^2-120x+2000=0)C.(x^2-80x+3920=0)D.(x^2-80x+2000=0)解答：利潤(rùn)=(售價(jià)-進(jìn)價(jià))×銷量，即((x-20)(100-x)=1920)，展開(kāi)得：(-x^2+120x-2000=1920\Rightarrowx^2-120x+3920=0)。答案：A。二、填空題（共6題，每題5分，共30分）分解因式：(x^3-4x^2+4x=)__________。解答：提取公因式(x)后用完全平方公式：(x(x^2-4x+4)=x(x-2)^2)。答案：(x(x-2)^2)。若數(shù)據(jù)(2,3,5,7,x)的平均數(shù)是5，則該組數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)_________。解答：平均數(shù)(\frac{2+3+5+7+x}{5}=5\Rightarrowx=8)。方差(s^2=\frac{1}{5}[(2-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(8-5)^2]=\frac{1}{5}[9+4+0+4+9]=\frac{26}{5}=5.2)。答案：5.2（或(\frac{26}{5})）。如圖3（示意圖），(\odotO)的半徑為5，弦(AB)長(zhǎng)為8，點(diǎn)(P)為弦(AB)上一動(dòng)點(diǎn)，則(OP)的最小值為_(kāi)_________。解答：當(dāng)(OP\perpAB)時(shí)，(OP)最小（垂線段最短）。連接(OA)，由勾股定理得(OP=\sqrt{OA^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{25-16}=3)。答案：3。若(2^m=3)，(3^n=4)，則(m\cdotn=)__________（用含對(duì)數(shù)的式子表示）。解答：由(m=\log_23)，(n=\log_34)，則(m\cdotn=\log_23\cdot\log_34=\frac{\ln3}{\ln2}\cdot\frac{\ln4}{\ln3}=\frac{\ln4}{\ln2}=2)（或直接用換底公式得(m\cdotn=\log_24=2)）。答案：2。在一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出2個(gè)球，恰好摸到1個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率為_(kāi)_________。解答：總情況數(shù)為(\binom{5}{2}=10)，符合條件的情況數(shù)為(\binom{3}{1}\times\binom{2}{1}=6)，概率(P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5})。答案：(\frac{3}{5})。已知(a+b=5)，(ab=3)，則(a^4+b^4=)__________。解答：先求(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-6=19)，再求(a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2=19^2-2\times9=361-18=343)。答案：343。三、解答題（共5題，共70分）（12分）計(jì)算：(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}+|\sqrt{3}-2|-2\sin60^\circ+(\pi-3.14)^0)。解答：原式=(4+(2-\sqrt{3})-2\times\frac{\sqrt{3}}{2}+1)=(4+2-\sqrt{3}-\sqrt{3}+1)=(7-2\sqrt{3})。（14分）如圖4（示意圖），在(\triangleABC)中，(AB=AC)，以(AB)為直徑的(\odotO)交(BC)于點(diǎn)(D)，交(AC)于點(diǎn)(E)，連接(OD)、(DE)。（1）求證：(OD\parallelAC)；（2）若(\angleC=70^\circ)，求(\angleODE)的度數(shù)。解答：（1）證明：∵(AB=AC)，∴(\angleB=\angleC)?！?OB=OD)（半徑），∴(\angleB=\angleODB)，∴(\angleODB=\angleC)，∴(OD\parallelAC)（同位角相等，兩直線平行）。（2）解：∵(\angleC=70^\circ)，(AB=AC)，∴(\angleBAC=180^\circ-2\times70^\circ=40^\circ)?！?OD\parallelAC)，∴(\angleAOD=\angleBAC=40^\circ)（兩直線平行，同位角相等）?！?OA=OE)，∴(\triangleAOE)為等腰三角形，(\angleAEO=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ)?！?OD\parallelAC)，∴(\angleODE=\angleAEO=70^\circ)（內(nèi)錯(cuò)角相等）。（14分）某工廠計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共100件，已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需甲材料3kg、乙材料2kg，生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需甲材料1kg、乙材料4kg，且甲材料總量不超過(guò)200kg，乙材料總量不超過(guò)240kg。（1）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品(x)件，寫(xiě)出(x)應(yīng)滿足的不等式組；（2）若每件A產(chǎn)品利潤(rùn)為50元，每件B產(chǎn)品利潤(rùn)為40元，求最大利潤(rùn)。解答：（1）由題意得：(\begin{cases}x+(100-x)=100&(\text{總件數(shù)})\3x+1\times(100-x)\leq200&(\text{甲材料})\2x+4\times(100-x)\leq240&(\text{乙材料})\end{cases})化簡(jiǎn)不等式組：(\begin{cases}2x+100\leq200\Rightarrowx\leq50\-2x+400\leq240\Rightarrowx\geq80\end{cases})（注：此處需檢查計(jì)算，正確應(yīng)為：甲材料：(3x+(100-x)\leq200\Rightarrow2x\leq100\Rightarrowx\leq50)；乙材料：(2x+4(100-x)\leq240\Rightarrow-2x\leq-160\Rightarrowx\geq80)。發(fā)現(xiàn)(x\leq50)與(x\geq80)矛盾，說(shuō)明題目數(shù)據(jù)可能有誤，但按原題條件，假設(shè)正確不等式為：甲材料：(3x+(100-x)\leq200\Rightarrowx\leq50)；乙材料：(2x+4(100-x)\leq240\Rightarrowx\geq80)，此時(shí)無(wú)解。若調(diào)整乙材料不等式為(2x+4(100-x)\leq340)，則(x\geq30)，此處按原題數(shù)據(jù)，可能應(yīng)為乙材料總量不超過(guò)340kg，此時(shí)(x)范圍為30≤x≤50，最大利潤(rùn)在x=50時(shí)，利潤(rùn)=50×50+50×40=4500元。）（2）假設(shè)修正后乙材料條件，利潤(rùn)(W=50x+40(100-x)=10x+4000)，當(dāng)(x=50)時(shí)，(W_{\text{max}}=4500)元。（14分）如圖5（示意圖），在平面直角坐標(biāo)系中，直線(y=x+2)與雙曲線(y=\frac{k}{x})（(k\neq0)）交于點(diǎn)(A(1,m))和點(diǎn)(B)。（1）求(k)的值及點(diǎn)(B)的坐標(biāo)；（2）直接寫(xiě)出不等式(x+2>\frac{k}{x})的解集。解答：（1）將(A(1,m))代入直線方程：(m=1+2=3)，故(A(1,3))。代入雙曲線方程：(3=\frac{k}{1}\Rightarrowk=3)，即(y=\frac{3}{x})。聯(lián)立方程組(\begin{cases}y=x+2\y=\frac{3}{x}\end{cases})，得(x+2=\frac{3}{x}\Rightarrowx^2+2x-3=0)，解得(x_1=1)，(x_2=-3)。當(dāng)(x=-3)時(shí)，(y=-3+2=-1)，故(B(-3,-1))。（2）不等式(x+2>\frac{3}{x})的解集為直線在雙曲線上方的區(qū)域，結(jié)合圖像得：(-3<x<0)或(x>1)。（14分）已知二次函數(shù)(y=x^2-2mx+m^2-1)（(m)為常數(shù)）。（1）求證：不論(m)為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）若該函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)(C)，且(\triangleABC)的面積為4（其中(A)、(B)為函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)），求(m)的值。解答：（1）證明：判別式(\Delta=(-2m)^2-4\times1\times(m^2-1)=4m^2-4m^2+4=4>0)，故方程(x^2-2mx+m^2-1=0)總有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即函數(shù)圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)。（2）解：令(y=0)，得(x^2-2mx+m^2-1=0\Rightarrow(x-m)^2=1\Rightarrowx=m\pm1)，故(A(m-1,0))，(B(m+1,0))，(AB=(m+1)-(m-1)=2)。與y軸交點(diǎn)(C(0,m^2-1))，(\triangleABC)的高為(|m^2-1|)，面積(S=\frac{1}{2}\timesAB\times|m^2-1|=\frac{1}{2}\times2\times|m^2-1|=|m^2-1|=4)。解得(m^2-1=\pm4)，即(m^2=5)或(m^2=-3)（舍去），故(m=\pm\sqrt{5})。四、綜合題（共2題，每題25分，共50分）（25分）如圖6（示意圖），在正方形(ABCD)中，點(diǎn)(E)為邊(BC)上一點(diǎn)（不與(B)、(C)重合），連接(AE)，將(\triangleABE)沿(AE)翻折得到(\triangleAFE)，延長(zhǎng)(EF)交(CD)于點(diǎn)(G)，連接(AG)。（1）求證：(\triangleADG\cong\triangleAFG)；（2）若(AB=6)，(BE=2)，求(CG)的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，求(\cos\angleEAG)的值。解答：（1）證明：∵四邊形(ABCD)為正方形，∴(AB=AD)，(\angleB=\angleD=90^\circ)。翻折后(AF=AB=AD)，(\angleAFE=\angleB=90^\circ)，∴(\angleAFG=90^\circ=\angleD)。在(\triangleADG)和(\triangleAFG)中：(\begin{cases}AD=AF\\angleD=\angleAFG\AG=AG\end{cases})，∴(\triangleADG\cong\triangleAFG)（HL）。（2）解：設(shè)(CG=x)，則(DG=6-x)，由（1）得(FG=DG=6-x)?！?BE=2)，∴(EC=6-2=4)，(EF=BE=2)，∴(EG=EF+FG=2+(6-x)=8-x)。在(\Rt\triangleECG)中，(EC^2+CG^2=EG^2)，即(4^2+x^2=(8-x)^2)，展開(kāi)得(16+x^2=64-16x+x^2\Rightarrow16x=48\Rightarrowx=3)，故(CG=3)。（3）解：由（2）得(DG=3)，在(\Rt\triangleADG)中，(AG=\sqrt{AD^2+DG^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5})。(\angleEAG=\angleEAF+\angleFAG)，由翻折知(\angleEAF=\angleBAE)，由（1）知(\angleFAG=\angleDAG)，∴(\angleEAG=\frac{1}{2}\angleBAD=45^\circ)（正方形內(nèi)角為90°），故(\cos\angleEAG=\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2})。（25分）如圖7（示意圖），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(O)為原點(diǎn)，點(diǎn)(A(0,4))，點(diǎn)(B(3,0))，點(diǎn)(P)為線段(AB)上一動(dòng)點(diǎn)（不與(A)、(B)重合），過(guò)點(diǎn)(P)作(PD\perpx)軸于點(diǎn)(D)，作(PE\perpy)軸于點(diǎn)(E)。（1）求直線(AB)的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)(P)的橫坐標(biāo)為(t)，用含(t)的代數(shù)式表示矩形(PDOE)的面積(S)，并求出(S)的最大值；（3）在點(diǎn)(P)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)(P)使得(\triangleAPE)與(\triangleBPD)相似？若存在，求出點(diǎn)(P)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。解答：（1）解：設(shè)直線(AB)的表達(dá)式為(y=kx+b)，代入(A(0,4))和(B(3,0))：(\begin{cases}b=4\3k+b=0\end{cases}\Rightarrowk=-\frac{4}{3})，(b=4)，故(y=-\frac{4}{3}x+4)。（2）解：點(diǎn)(P)的橫坐標(biāo)為(t)，則(P(t,-\frac{4}{3}t+4))（(0<t<3)），(PD=-\frac{4}{3}t+4)，(PE=t)，矩形面積(S=PD\timesPE=t\left(-\frac{4}{3}t+4\right)=-\frac{4}{3}t^2+4t)。對(duì)稱軸(t=-\frac{4}{2\times(-\frac{4}{3})}=\frac{3}{2})，開(kāi)口向下，當(dāng)(t=\frac{3}{2})時(shí)，(S_{\text{max}}=-\frac{4}{3}\times\left(\frac{3}{2}\right)^2+4\times\frac{3}{2}=3)。（3）解：存在?！?PE\perpy)軸，(PD\per