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2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國(guó)際交互設(shè)計(jì)創(chuàng)新組織競(jìng)賽素養(yǎng)試卷一、選擇題(共10題,每題4分,共40分)若正整數(shù)(a)、(b)滿(mǎn)足(a^2+b^2=25),且(a>b),則(a-b)的值為()A.1B.3C.5D.7解析:由勾股數(shù)可知(a=4),(b=3)(或(a=5),(b=0),但(b)為正整數(shù),排除),則(a-b=1)。答案:A下列圖形中,既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是()A.等邊三角形B.平行四邊形C.矩形D.正五邊形解析:矩形沿對(duì)邊中點(diǎn)連線(xiàn)對(duì)稱(chēng)(軸對(duì)稱(chēng)),繞對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°重合(中心對(duì)稱(chēng))。答案:C若關(guān)于(x)的方程(x^2-2(k+1)x+k^2=0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則(k)的取值范圍是()A.(k>-\frac{1}{2})B.(k\geq-\frac{1}{2})C.(k<-\frac{1}{2})D.(k>-1)解析:判別式(\Delta=4(k+1)^2-4k^2=8k+4>0),解得(k>-\frac{1}{2})。答案:A在反比例函數(shù)(y=\frac{k}{x})((k\neq0))的圖像上有兩點(diǎn)(A(1,m))和(B(2,n)),若(m<n),則(k)的取值范圍是()A.(k>0)B.(k<0)C.(k\geq0)D.無(wú)法確定解析:當(dāng)(k<0)時(shí),函數(shù)在第二、四象限,(x=1)和(x=2)均在第四象限,(y)隨(x)增大而增大,滿(mǎn)足(m<n)。答案:B某商店銷(xiāo)售一批服裝,每件售價(jià)150元,可獲利25%,則這種服裝的成本價(jià)為()A.100元B.112.5元C.120元D.125元解析:設(shè)成本價(jià)為(x),則((1+25%)x=150),解得(x=120)。答案:C如圖,在(\triangleABC)中,(DE\parallelBC),若(AD=2),(DB=3),則(\frac{AE}{EC})的值為()A.(\frac{2}{3})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{2})D.(\frac{3}{5})解析:由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理,(\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3})。答案:A已知圓錐的底面半徑為3,母線(xiàn)長(zhǎng)為5,則圓錐的側(cè)面積為()A.(15\pi)B.(20\pi)C.(25\pi)D.(30\pi)解析:側(cè)面積公式(S=\pirl=\pi\times3\times5=15\pi)。答案:A數(shù)據(jù):3,5,7,4,6的方差是()A.2B.4C.(\sqrt{2})D.5解析:平均數(shù)(\bar{x}=5),方差(s^2=\frac{1}{5}[(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(4-5)^2+(6-5)^2]=2)。答案:A若(\sin\alpha=\frac{3}{5})((\alpha)為銳角),則(\cos\alpha)的值為()A.(\frac{3}{4})B.(\frac{4}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{4}{3})解析:由(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1),得(\cos\alpha=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5})。答案:B在一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球,從中隨機(jī)摸出2個(gè)球,恰好摸到1紅1白的概率為()A.(\frac{1}{5})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{4}{5})解析:總情況數(shù)(C_5^2=10),1紅1白情況數(shù)(C_3^1C_2^1=6),概率(\frac{6}{10}=\frac{3}{5})。答案:C二、填空題(共6題,每題4分,共24分)分解因式:(x^3-4x=)__________。解析:原式(=x(x^2-4)=x(x+2)(x-2))。答案:(x(x+2)(x-2))函數(shù)(y=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3})的自變量(x)的取值范圍是__________。解析:(x-2\geq0)且(x-3\neq0),即(x\geq2)且(x\neq3)。答案:(x\geq2)且(x\neq3)已知點(diǎn)(A(2,-3))關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(B),則點(diǎn)(B)的坐標(biāo)是__________。解析:關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù),故(B(-2,3))。答案:((-2,3))如圖,(\odotO)的直徑(AB=10),弦(CD\perpAB)于點(diǎn)(E),若(BE=2),則(CD)的長(zhǎng)為_(kāi)_________。解析:連接(OC),則(OC=5),(OE=OB-BE=3),由勾股定理得(CE=\sqrt{5^2-3^2}=4),故(CD=2CE=8)。答案:8若(a+b=5),(ab=3),則(a^2+b^2=)__________。解析:(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-6=19)。答案:19觀(guān)察下列等式:(1=1^2),(1+3=2^2),(1+3+5=3^2),…,則(1+3+5+\dots+(2n-1)=)__________(用含(n)的代數(shù)式表示)。解析:等式左邊為前(n)個(gè)奇數(shù)的和,結(jié)果為(n^2)。答案:(n^2)三、解答題(共8題,共86分)(8分)計(jì)算:(\sqrt{12}-|1-\sqrt{3}|+(2025-\pi)^0-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1})解析:原式(=2\sqrt{3}-(\sqrt{3}-1)+1-2)(=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+1+1-2)(=\sqrt{3})(8分)解不等式組:(\begin{cases}3(x-1)<5x+1\\frac{x-1}{2}\geq2x-4\end{cases}),并寫(xiě)出它的整數(shù)解。解析:解不等式①:(3x-3<5x+1\Rightarrow-2x<4\Rightarrowx>-2)解不等式②:(x-1\geq4x-8\Rightarrow-3x\geq-7\Rightarrowx\leq\frac{7}{3})綜上,(-2<x\leq\frac{7}{3}),整數(shù)解為(-1,0,1,2)。(10分)先化簡(jiǎn),再求值:(\left(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}+\frac{2-x}{x+2}\right)\div\frac{x}{x-2}),其中(x=\sqrt{2}-1)。解析:原式(=\left[\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\frac{x-2}{x+2}\right]\cdot\frac{x-2}{x})(=\left[\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}\right]\cdot\frac{x-2}{x})(=\frac{(x+2)^2-(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{x-2}{x})(=\frac{8x}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{x-2}{x}=\frac{8}{x+2})當(dāng)(x=\sqrt{2}-1)時(shí),原式(=\frac{8}{\sqrt{2}-1+2}=\frac{8}{\sqrt{2}+1}=8(\sqrt{2}-1))。(10分)如圖,在平行四邊形(ABCD)中,(E)、(F)分別是(AB)、(CD)的中點(diǎn),連接(DE)、(BF)。求證:(\triangleADE\cong\triangleCBF)。解析:證明:∵四邊形(ABCD)是平行四邊形,∴(AD=BC),(\angleA=\angleC),(AB=CD)?!?E)、(F)分別是(AB)、(CD)的中點(diǎn),∴(AE=\frac{1}{2}AB),(CF=\frac{1}{2}CD),即(AE=CF)。在(\triangleADE)和(\triangleCBF)中,(\begin{cases}AD=BC\\angleA=\angleC\AE=CF\end{cases}),∴(\triangleADE\cong\triangleCBF)(SAS)。(12分)某校為了解學(xué)生“垃圾分類(lèi)”知識(shí)的掌握情況,隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果分為“優(yōu)秀”“良好”“合格”“不合格”四個(gè)等級(jí),繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖1、圖2)。請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖信息解答下列問(wèn)題:(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;(3)若該校共有2000名學(xué)生,估計(jì)“優(yōu)秀”等級(jí)的學(xué)生人數(shù)。解析:(1)由扇形圖知“合格”占30%,條形圖中“合格”有30人,故總?cè)藬?shù)為(30\div30%=100)人。(2)“良好”人數(shù):(100\times40%=40)人,“不合格”人數(shù):(100-20-40-30=10)人,補(bǔ)全條形圖即可。(3)“優(yōu)秀”占比20%,估計(jì)人數(shù)為(2000\times20%=400)人。(12分)某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)(A)、(B)兩種商品,若購(gòu)進(jìn)(A)商品2件和(B)商品3件,共需120元;購(gòu)進(jìn)(A)商品3件和(B)商品5件,共需190元。(1)求(A)、(B)兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元?(2)若該商場(chǎng)準(zhǔn)備用不超過(guò)1000元購(gòu)進(jìn)這兩種商品,且(A)商品數(shù)量不少于(B)商品數(shù)量的4倍,問(wèn)最多能購(gòu)進(jìn)多少件(B)商品?解析:(1)設(shè)(A)商品進(jìn)價(jià)為(x)元,(B)商品進(jìn)價(jià)為(y)元,(\begin{cases}2x+3y=120\3x+5y=190\end{cases}),解得(\begin{cases}x=30\y=20\end{cases})。(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)(B)商品(m)件,則(A)商品(\geq4m)件,(30\times4m+20m\leq1000\Rightarrow140m\leq1000\Rightarrowm\leq\frac{50}{7}\approx7.14),故最多購(gòu)進(jìn)7件(B)商品。(14分)如圖,在(Rt\triangleABC)中,(\angleC=90^\circ),(AC=6),(BC=8),點(diǎn)(P)從點(diǎn)(A)出發(fā)沿(AC)方向向點(diǎn)(C)勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;同時(shí)點(diǎn)(Q)從點(diǎn)(C)出發(fā)沿(CB)方向向點(diǎn)(B)勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(t)秒((0<t<4))。(1)用含(t)的代數(shù)式表示線(xiàn)段(PC)和(CQ)的長(zhǎng)度;(2)當(dāng)(t)為何值時(shí),(\trianglePCQ)的面積為8cm2?(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某一時(shí)刻(t),使(PQ)的長(zhǎng)度等于5cm?若存在,求出(t)的值;若不存在,說(shuō)明理由。解析:(1)(PC=AC-AP=6-t),(CQ=2t)。(2)(S_{\trianglePCQ}=\frac{1}{2}\timesPC\timesCQ=\frac{1}{2}(6-t)(2t)=t(6-t)=8),即(t^2-6t+8=0\Rightarrowt=2)或(t=4)(舍去),故(t=2)。(3)由勾股定理,(PQ^2=PC^2+CQ^2=(6-t)^2+(2t)^2=5t^2-12t+36),令(5t^2-12t+36=25\Rightarrow5t^2-12t+11=0),判別式(\Delta=144-220=-76<0),故不存在。(14分)如圖,拋物線(xiàn)(y=ax^2+bx+c)與(x)軸交于(A(-1,0))、(B(3,0))兩點(diǎn),與(y)軸交于點(diǎn)(C(0,3))。(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)點(diǎn)(P)是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),且在第四象限,當(dāng)(\trianglePAB)的面積最大時(shí),求點(diǎn)(P)的坐標(biāo);(3)在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)(M),使(\triangleMAC)為等腰三角形?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)(M)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由。解析:(1)設(shè)拋物線(xiàn)解析式為(y=a(x+1)(x-3)),代入(C(0,3)),得(3=a(-3)\Rightarrowa=
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