第05講圓的面積（一）

【知識(shí)梳理】

1圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)

將圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的平行四邊形，求面積。

圓的面積二平行四邊形的面積。

如果用S表示圓的面積，r表示圓的半徑，那么圓的面積計(jì)算公式可以表示為S二

nr2

【典型例題】

例1

在解決下面四個(gè)問(wèn)題時(shí)，都運(yùn)用了（）策略。

-ffiw

②

a.如圖①方式，推導(dǎo)三角形面積公式的過(guò)程。

b.如圖②方式，推導(dǎo)圓面積公式的過(guò)程。

c.計(jì)算1.2X3.6時(shí)，先看成12X36,再在積中添上小數(shù)點(diǎn)。

334

d.計(jì)算12：二時(shí)，可以這樣算12：-=12X-。

443

A.畫(huà)圖B.替換

C.倒推D.轉(zhuǎn)化

【詳解】

A.如圖①方式，推導(dǎo)三角形面積過(guò)程，把兩個(gè)相同的三角形轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四邊形，利用

平行四邊形面積公式，推導(dǎo)出三角形面積公式，用了轉(zhuǎn)化策略；

B.如圖②方式，是圓的面積公式的推導(dǎo)，把圓的面積轉(zhuǎn)化為近似長(zhǎng)方形面積，再根據(jù)長(zhǎng)方

形面積推導(dǎo)出圓的面積，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化策略；

C.計(jì)算1.2X3.6時(shí)，先看成12X36,再在積中添上小數(shù)點(diǎn)，把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘

法，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化策略；

334

D.計(jì)算124■二時(shí)，根據(jù)除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為12：==12X：,

此處運(yùn)用了轉(zhuǎn)化策略。

綜上所述，四個(gè)問(wèn)題都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化策略。

故答案為：D

【點(diǎn)睛】

轉(zhuǎn)化在是學(xué)習(xí)新知識(shí)的時(shí)侯常用的策略，通過(guò)把新知識(shí)特化為舊的知識(shí)來(lái)解答，再根據(jù)用

舊知識(shí)解答的過(guò)程形成新知識(shí)的解決方案。

例2

在學(xué)習(xí)圓的面積計(jì)算公式時(shí)，是通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想，把圓造化成長(zhǎng)方形后推導(dǎo)出來(lái)的。小明

把一個(gè)圓轉(zhuǎn)化成近似長(zhǎng)方形后，發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)比長(zhǎng)方形周長(zhǎng)少8厘米，如圖，那么原來(lái)圓

的面積是（）平方厘米。

【分析】

【詳解】

所以圓的面積是：50.241平方厘米）

【點(diǎn)睛】

本題的關(guān)鍵是理解轉(zhuǎn)化的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是什么，寬是什么，再根據(jù)圓的面積公式求解，需要

學(xué)生有一定的空間想象能力。

例3

如圖所示，把一個(gè)圓分成若干等份，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形。如果長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是16.56

厘米，圓的面積是多少平方厘米？

我是這樣想的：從如圖可以看出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)近似于圓的()，寬近似于圓的

()。因?yàn)殚L(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=(長(zhǎng)+寬)X2,如果用r表示圓的半徑，那么長(zhǎng)方形的

周長(zhǎng)也可以用含有字母r的式子表示為：[nr+()]X2=16.56,這樣就可

算出r=(),從而就可以求出圓的面積來(lái)。

【分析】

把一個(gè)圓平均分成若干份，然后，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方影，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的

一半，寬等于圓的半徑，拼成的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=圓的周長(zhǎng)+2個(gè)半徑；設(shè)半徑為r,由此求

出半徑，再根據(jù)圓的而積公式s=nr2,列式解答。

【詳解】

解：設(shè)圓的半徑為r厘米

(nr+r)X2=16.56

4.14rX2=16.56

8.28r=16.56

r=2

圓的面積是：3.14X22

=3.14X4

=12.56(平方厘米)

答：圓的面積是12.56平方厘米。

【點(diǎn)睛】

此題解答關(guān)鍵是通過(guò)把圓轉(zhuǎn)化成近似長(zhǎng)方形，根據(jù)拼成的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=圓的周長(zhǎng)+2個(gè)

半徑；列方程求出半徑，再根據(jù)圓的面積公式解答。

B【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一、選擇題

熊iH

9.探究圓的面積時(shí)，圓等分的份數(shù)越多，拼出的圖形就越接近平行四邊形。如圖，將一個(gè)

半徑為6cm的圓平均分成32份，拼成近似的平行四邊形的底是（）cm。

10.如圖，大圓的半徑是（）cm,小圓的半徑是【）cm,大圓的面積比小圓

三、計(jì)算題

11.求圖中陰影部分的面積。（單位：cm）（不取3.14）

<----12cm--------?

12.如圖中陰影部分的面枳是多少平方厘米？（單位：厘米）

4

四、解答題

13.如圖，用一根鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，再用一根同樣長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)圓，圓的面枳是

多少平方厘米？

)

4cmi~?

5.42cm、

14.如圖，張大伯利用一面墻壁，用竹籬笆圍成了一個(gè)半圓形養(yǎng)鴨場(chǎng)。養(yǎng)鴨場(chǎng)的面積是多

少平方米？

\8*7

15.冰壺的底面是一個(gè)圓形，直徑30厘米，底面的周長(zhǎng)是多少厘米？面積是多少平方厘

米？

16.想一想，做一做。

(2)我們運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想推導(dǎo)出了圓的面積公式。想想在以前的學(xué)習(xí)過(guò)程中，除了平面圖

形面積的推導(dǎo)，哪些地方還用到了這種思想？請(qǐng)舉出兩處例子。

參考答案

1.c

【分析】根據(jù)正方形的周長(zhǎng)是12厘米，可求出正方形的邊長(zhǎng)，即圓的半徑，再利用圓的面

積5=近/計(jì)算即可解答。

【詳解】正方形的邊長(zhǎng)是（即圓的半徑）：12+4=3（厘米）

所以圓的面積是：3.14X32=28.26（平方厘米）

故答案為：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與正方形的周長(zhǎng)公式的計(jì)笄應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是明確正方形

的邊長(zhǎng)是圓的半徑。

2.D

【分析】通過(guò)觀察圖形可知，陰影部分正方形的邊長(zhǎng)等于圓的半徑，根據(jù)圓的面積公式：S

=nr2,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【詳解】3.14X8=25.12（cm2）

圖中圓的就是25.12cm2o

故答案為：D

【點(diǎn)睛】此題主要考查正方形、圓的面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。

3.C

【分析】根據(jù)圓的面積公式：S=nr2,設(shè)圓的半徑是1,則擴(kuò)大后是3,分別求出面積，

再用擴(kuò)大后的面積除以原來(lái)的面積，即可求解。

【詳解】3.14X「

=3.14X1

=3.14

3.14X(1X3)2

=3.14X32

=3.14X9

=28.26

28.264-3.14=9

即這個(gè)圓的面積擴(kuò)大到原來(lái)的9倍。

故答案為：C

【點(diǎn)睛】本題考查圓的面積公式的靈活運(yùn)用，要重點(diǎn)掌握。

4.C

【分析】根據(jù)圓的面積公式：S=nr2,已知圓的面積可以求出半徑的平方，根據(jù)正方形內(nèi)

接圓的特征，在正方形內(nèi)畫(huà)一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)正方形

的面積公式：邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)，即正方形的面積=2rX2r=4產(chǎn)，把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【詳解】4X(12.564-3.14)

=4X4

=16(cm2)

故答案為：C

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的面積公式、正方形面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。

5.B

【分析】通過(guò)觀察圖形可知，紅色部分的面積等于圓的面積減去長(zhǎng)方膨的面積，根據(jù)國(guó)的

面積公式：S=nr2,長(zhǎng)方形的面積公式：長(zhǎng)X寬，把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【詳解】圓的面積：3.14X(804-2)2n

長(zhǎng)方形的面積：70X12

所以紅色部分的面積：(30:2)2n-70X12

故答案為：B

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的面積公式、長(zhǎng)方形面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。

6.13.14

【分析】半徑?jīng)Q定圓的大小，畫(huà)圓時(shí)，圓規(guī)兩腳之間的距離等于所畫(huà)的半徑，根據(jù)圓的周

長(zhǎng)公式：C=2nr,那么r=C+n：2,再根據(jù)圓的面積公式：S=nr2,把數(shù)據(jù)代入公式解

答。

【詳角簞］6.28+3.14+2=1(cm)

3.14X12

=3.14X1

=3.14(cm2)

圓規(guī)兩腳分開(kāi)的距離應(yīng)是1cm.紙片的面積是3.14cm\

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的周長(zhǎng)公式、面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。

7.618.8428.26

【分析】根據(jù)題意可知，長(zhǎng)方形內(nèi)剪最大的圓，圓的直;涇等于長(zhǎng)方形的寬；根據(jù)圓的周長(zhǎng)

公式：周長(zhǎng)=nX直徑，代入數(shù)據(jù)求出圓的周長(zhǎng)；根據(jù)圓的面積公式：面積=nX半徑2,

代入數(shù)據(jù)，即可解答。

【詳解】直徑是6分來(lái)

周長(zhǎng)：3.14X6=18.84(分米)

面積：3.14X(64-2)2

=3.14X32

=3.14X9

=28.26(平方分米)

在一個(gè)長(zhǎng)8分來(lái)，寬6分米的長(zhǎng)方形中剪一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的直徑是6分米，周長(zhǎng)足

18.84分米，面積是28.26平方分米。

【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵明確長(zhǎng)方形內(nèi)剪最大的圓，圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬。

8.nrr

【分析】把一個(gè)圓平均分成若干等份，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的底相當(dāng)于圓

周長(zhǎng)的一半，用字母表示是nr：高相當(dāng)于圓的半徑，用字母表示是r。

【詳解】長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是n”厘米，長(zhǎng)方形的寬是r厘米。

【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握?qǐng)A面積公式的推導(dǎo)過(guò)程及應(yīng)用，圓的周長(zhǎng)公式及應(yīng)

用。

9.18.84

【分析】根據(jù)圓面積公式的推導(dǎo)過(guò)程可知，把一個(gè)圓沿半徑分成若干份，拼成近似的平行

四邊形，這個(gè)平行四邊形的底等于圓周長(zhǎng)的一半，高等于圓的半徑，據(jù)此即可解答。

【詳解】3.14X6=18.84(cm)

拼成近似的平行四邊形的底大約是18.84cmo

【點(diǎn)睛】此題主要考查的目的是理解掌握?qǐng)A面積公式的推導(dǎo)過(guò)程及應(yīng)用以及平行四邊形的

周長(zhǎng)公式的應(yīng)用。

10.3215.7

【分析】通過(guò)觀察圖形可知，大圓的半徑等于長(zhǎng)方形寬的一半，小圓的半徑等于長(zhǎng)方丹的

長(zhǎng)與窗的差的一半.據(jù)此求出大小圓的半徑，根據(jù)圓的面積公式：S=nr2,把數(shù)據(jù)代入公

式求出大小圓的面積差即可。

【詳解】6+2=3(cm)

10—6=4(cm)

44-2=2(cm)

3.14X32-3.14X22

=3.1/1X9-3.1/1X/|

=28.26-12.56

=15.7(cm2)

大圓的半徑是3cm,小圓的半徑是2cm,大圓的面積比小圓大15.7cm?。

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。

11.15.48cm2

【分析】看圖，陰影部分面積=長(zhǎng)方形面積一半圓面積。長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)><寬，半圓面積

=n>+2,據(jù)此列式計(jì)算即可。

【詳解】124-2=6(cm)

12X6-3.14X624-2

=72-56.52

=15.48(cm2)

所以，陰影部分的面積是15.48cm1

12.22.26平方厘米

6

【分析】通過(guò)觀察0圖形可知,陰影部分的面積等于底是（64-4）厘

米，高是6厘米的三角形面積減去空白部分①的面積，空白部分①的面積等于邊長(zhǎng)6厘米

的正方形面積減去半徑6匣米的圓的面積的上，根據(jù)圓的面積公式：S=^r\正方形的面

4

積公式：S=a2,三角形的面積公式：S=ah:2,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【詳解】三角形面積：

（6+4）X64-2

=10X64-2

=604-2

=30（平方厘米）

空白部分①的面積：

6X6-3.14X62-F4

=36-28.26

=7.74（平方厘米）

陰影部分面積：

30-7.74=22.26（平方厘米）

陰影部分的面積是22.26平方厘米。

13.28.26平方厘米

【分析】長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）X2,長(zhǎng)方形周長(zhǎng)=圓的周長(zhǎng)，圓的周長(zhǎng)+11+2=圓

的半徑，nX半徑的平方=圓的面積，據(jù)此解答。

【詳解】（4+5.42）X2

=9.42X2

=18.84（厘米）

3.14X（18.844-3.144-2）2

=3.14X9

=28.26（平方厘米）

答：圓的面積是28.26平方厘米。

【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是計(jì)算出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)也是圓的周長(zhǎng)，然后再根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式

計(jì)算出圓的半徑即可。

14.25.12平方米

【分析】養(yǎng)鴨場(chǎng)的面積=〃X半徑？+其中，半徑=直徑：2。

【詳解】8+2=4(米)

3.14X42:2

=50.244-2

=25.12(平方米)

答：養(yǎng)鴨場(chǎng)的面積是25.12平方米。

【點(diǎn)睛】本題考