2025-2026學年廣東省深圳市南山外國語學校（集團）高新中學九年級開學考數(shù)學試卷一、單選題(★★)1.2024年6月5日，是二十四節(jié)氣的芒種，二十四節(jié)氣是中國勞動人民獨創(chuàng)的文化遺產(chǎn)，能反映季節(jié)的變化，指導農(nóng)事活動．下面四幅圖片分別代表“芒種”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（）

A．B．C．D．(★★)2.若，則下列結(jié)論一定成立的是（）

A．B．C．D．(★★★)3.下列等式，從左到右的變形，屬于因式分解的是（）

A．B．C．D．(★★)4.一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）

A．2，1，5B．2，1，－5C．2，0，－5D．2，0，5(★★★)5.如圖，在一個對邊平行的紙條上有兩點A，B及線段的中點O，以下操作和判斷不正確的是（）

A．過點O作任意直線（除直線）交紙條兩邊于點C，D，得到平行四邊形B．過點O作的垂線交紙條兩邊于點C，D，得到菱形C．分別過點A，B作對邊的垂線，交對邊于點C，D，得到矩形D．在點A，B所在邊的對邊分別取C，D兩點，使得，得到平行四邊形(★)6.若，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（）

A．B．C．D．(★★)7.初中畢業(yè)前夕，某數(shù)學學習興趣小組的成員互贈紀念卡片作為畢業(yè)禮物．小組里每兩名成員之間互相贈送一張卡片（即送給一張，也送給一張）．已知全組共贈送了306張卡片，則該小組一共有多少名成員？（）

A．16B．17C．18D．19(★★★)8.如圖，邊長為8的等邊三角形中，是對稱軸上的一個動點，連接將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則在點運動過程中，的最小值是（）

A．4B．3C．2D．1二、填空題(★★)9.一元二次方程的一個解為，則_______．(★★)10.如圖，的周長為，，相交于點，交于點，則的周長為_______．(★★)11.在研究物體的放射性衰變時，我們常常關(guān)注放射性物質(zhì)質(zhì)量隨時間的變化．假設(shè)在2023年初，有一塊質(zhì)量為500克的某種放射性同位素．由于放射性衰變，其質(zhì)量會逐年減少．到2025年初，經(jīng)過精確測量，該放射性同位素的質(zhì)量降至405克．設(shè)這種放射性同位素質(zhì)量的年平均減少率為，根據(jù)題意，可列出一元二次方程為：______．（只列方程，不需求解）(★★★)12.如圖，某小區(qū)要在長為，寬為的矩形空地上建造一個花壇，使花壇四周小路的寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為______．(★★★)13.如圖，在四邊形中，，，連接、，若平分，，，則______．三、解答題(★★★)14.解下列方程：(1)；(2)．(★★★)15.先化簡，再從、0、1、2中選擇一個合適的數(shù)作為的值代入求值．(★★★)16.如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點的坐標分別為，，．(1)若經(jīng)過平移后得到，已知點的對應(yīng)點的坐標為，請畫出；(2)將繞坐標原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，請畫出；(3)若將繞點旋轉(zhuǎn)可得到，則點的坐標為_______．(★★★)17.如圖，在中，對角線，交于點，點，分別是，的中點，連接、、、．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若四邊形是矩形，，，求的長；(3)尺規(guī)作圖：過點作直線，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）(★★★)18.2022北京冬奧會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進、兩款冰墩墩鑰匙扣，進貨價和銷售價如下表：（注：利潤=銷售價進貨價）

類別價格款鑰匙扣款鑰匙扣進貨價（元/件）3025銷售價（元/件）4537(1)網(wǎng)店第一次用850元購進、兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進的件數(shù)；(2)第一次購進的冰墩墩鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計劃再次購進、兩款冰墩墩鑰匙扣共80件（進貨價和銷售價都不變），且進貨總價不高于2200元．應(yīng)如何設(shè)計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？(3)冬奧會臨近結(jié)束時，網(wǎng)店打算把款鑰匙扣降價促銷，如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，應(yīng)將銷售價格定為每件多少元時，才能使款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？(★★★)19.閱讀材料，并解決問題．【學習研究】我國古代數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，以為例，構(gòu)造方法如下：首先將方程變形為，然后畫四個長為，寬為的矩形，按如圖1所示的方式拼成一個“空心”大正方形，則圖1中大正方形的面積可表示為，還可表示為四個矩形與一個邊長為2的小正方形面積之和，即．因此，可得新方程，所以．因為表示邊長，所以，即．遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個正根．【理解應(yīng)用】參照上述圖解一元二次方程的方法，請在下面三個構(gòu)圖中選擇能夠用幾何法求解方程的正確構(gòu)圖是______．（從序號①②③中選擇）【類比遷移】（2）小穎根據(jù)以上解法解方程，請將其解答過程補充完整：第一步：將原方程變形為，即（_________）；第二步：利用四個全等的矩形構(gòu)造“空心”大正方形；（請仿照圖1在下列方框中畫出示意圖，標明各邊長．）第三步：根據(jù)大正方形的面積等于四個矩形與中間小正方形的面積和，可得新的方程為__________，解得原方程的一個根為_________；【拓展應(yīng)用】（3）一般地，對于形如的一元二次方程可以構(gòu)造圖2來解．已知圖2是由四個面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4，那么此方程的系數(shù)_______，_______，求得方程的一個正根為________．(★★★★)20.【定義學習】定義：如果四邊形有一組對角為直角，那么我們稱這樣的四邊形為“對直四邊形”．【判斷嘗試】（1）在①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，是“對直四邊形”的是__________；（填序號）（2）如圖1，四邊形是對直四邊形，若，，，，則邊的長是_________；【操作探究】如圖2，在菱形中，，，于點，請在邊上找一點，使得以點、、、組成的四邊形為“對直四邊形”，直接寫出的長是_________；【拓展延伸】如圖3，在正方形中，，點、、分別從點、、同時出發(fā)，并分別以每秒1、1、2個單位長度的速度，分別沿正方形的邊、、方向運動（保持），再分別過點、作、的垂線交于點，連結(jié)、．試說明：四邊形