高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省許昌市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線，直線，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€的斜率，且，可知直線的斜率，所以的傾斜角為．故選：D．2.圓：與圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.相離【答案】A【解析】圓圓心為，半徑為；，則圓的圓心為，半徑為.兩圓心之間的距離，且滿足，可知兩圓相交.故選：A.3.在三棱錐中，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，.故選：C.4.直線過點(diǎn)，且與圓相切，則直線的方程為（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)與圓不相切，則直線的斜率一定存在，設(shè)直線方程為，化簡得，依題意，圓心到直線的距離為1，即，解得或，所以直線的方程為或.故選：D.5.在橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋庶c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，過點(diǎn)的直線恒與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為，則，又，兩式相減得，整理得，所以以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為，即.故選：C.6.在棱長為2的正方體中，E是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以故選：D.7.已知P是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€，可化為，由，解得，所以l過定點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，且，又由圓，可得圓心為，半徑，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到的距離最大，最大距離為，此時(shí)，所以直線的斜率為1，此時(shí)無解，故直線l不存在，所以距離；當(dāng)直線與圓O相交時(shí)，點(diǎn)P到l的距離最小，最小距離為0，故點(diǎn)P到的距離的取值范圍為.故選：D.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闄E圓方程為，所以，，，又線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，所以垂直平分線段，所以，又因?yàn)?，所以，，在直角三角形中，，于是的面積為．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓，直線．則以下幾個(gè)結(jié)論正確的有（）A.直線l與圓C相交B.圓C被y軸截得的弦長為C.點(diǎn)C到直線l的距離的最大值是D.直線l被圓C截得的弦長最短時(shí)，直線l的方程為【答案】ACD【解析】由，則，得，即恒過定點(diǎn)，由到圓心的距離，故定點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓恒相交，故A正確；令，則，可得，故圓被軸截得的弦長為，故B錯(cuò)誤；點(diǎn)C到直線l的距離的最大值為圓心到定點(diǎn)的距離，故最大值為，C正確，要使直線被圓截得弦長最短，只需與圓心連線垂直于直線，則，所以，可得，故直線為，故D正確．故選：ACD．10.下列命題為真命題的是（）A.若空間向量，，滿足，則B.若三個(gè)非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，必定共面C.若空間向量，，則D.對于任意空間向量，，必有【答案】BD【解析】若為零向量，有，但不一定成立，A錯(cuò)：三個(gè)非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則它們必共面，B對；若為零向量，，，但不一定成立，C錯(cuò)：由，，而，所以，D對.故選：BD.11.正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則錯(cuò)誤的有（）A.平面B.三棱錐的體積與點(diǎn)的位置有關(guān)C.的最小值為D.當(dāng)時(shí)，平面PEF截正方體的截面形狀為五邊形【答案】BCD【解析】對于A中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則，所以，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，所以A正確；對于B中，因?yàn)檎襟w中，且，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)椋驗(yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以棱上的所有點(diǎn)到平面的距離都相等，又因?yàn)辄c(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，所以三棱錐的體積始終為定值，所以B錯(cuò)誤；對于C中，由，因?yàn)?，所以，則，可得，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，所以C錯(cuò)誤；對于D中，連接，取中點(diǎn)為，此時(shí)與交點(diǎn)為點(diǎn)，如圖（1）所示過點(diǎn)作，可得，可得，所以，即，此時(shí)平面截正方體截面圖形為四邊形，所以D不正確.故選：BCD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，，則______．【答案】【解析】由題意，，于是.13.已知向量，，，若三個(gè)向量共面，則______．【答案】【解析】因?yàn)槿蛄抗裁妫钥稍O(shè)，即，所以，解得，，所以.14.已知圓與圓外離，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【解析】由題意圓與圓的圓心、半徑依次分別為，因?yàn)閮蓤A外離，所以圓心距滿足，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.的三個(gè)頂點(diǎn)，，，求：（1）邊上的高所在直線方程；（2）AC邊上的中線所在直線方程及中線的長度．解：（1）設(shè)邊上的高所在直線的斜率為，，則，由斜截式知邊上的高所在直線方程為：，即邊上的高所在直線方程為：.（2）的三個(gè)頂點(diǎn)，，，故邊上的中點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，即.邊上的中線的長度.16.如圖，在四棱臺(tái)中，底面是中點(diǎn)．底面為直角梯形，且．（1）證明：直線平面；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：因?yàn)榈酌?，底面，則，由題意可知：，且平面，所以平面，且平面，可得，不妨設(shè)，由題意可得：，可知：，即，且，平面，所以直線平面.（2）解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，可得，設(shè)二面角為，則，所以二面角的正弦值.17.已知圓C和直線，若圓C的圓心為(0,0)，且圓C經(jīng)過直線和的交點(diǎn)．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過定點(diǎn)(1,2)的直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．解：（1）首先由可得，所以直線和相交于點(diǎn)，所以圓C的半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為，代入圓C方程為可得，此時(shí)，符合題意，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，根據(jù)題意圓心到直線的距離為，所以，解得，此時(shí)直線方程為，所以直線l的方程為或.18.已知橢圓C：的焦距為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓C上找一點(diǎn)P，使它到直線l：的距離最短，并求出最短距離.解：（1）由題意可知，∴，，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，解得，則，故橢圓方程為.（2）方法一：設(shè)與直線l：平行的直線與橢圓相切，聯(lián)立直線與橢圓方程得消去y并整理，得，由其根的判別式，解得.當(dāng)時(shí)，直線l與直線的距離；當(dāng)時(shí)，直線l與直線的距離.由可知，符合題意.將代入可解得，將代入可得，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)距離的最小值為.方法二：設(shè)點(diǎn)，，則點(diǎn)P到直線l：的距離，當(dāng)，即時(shí)，d取最小值，最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.19.已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的周長為6，面積的最大值為：（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.解：（1）設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的定義及的周長為6，知①，由于為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，得到軸距離最大為，因?yàn)榈拿娣e的最大值為，所以②，又③，聯(lián)立①②③，得，所以橢圓的方程為.（2）為定值，理由如下：根據(jù)已知條件作出圖形如圖所示,設(shè)，則，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，則直線與橢圓一定有兩交點(diǎn)，聯(lián)立，消去得：，，又，且，所以，同理所以.所以為定值.河南省許昌市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線，直線，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€的斜率，且，可知直線的斜率，所以的傾斜角為．故選：D．2.圓：與圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.相離【答案】A【解析】圓圓心為，半徑為；，則圓的圓心為，半徑為.兩圓心之間的距離，且滿足，可知兩圓相交.故選：A.3.在三棱錐中，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，.故選：C.4.直線過點(diǎn)，且與圓相切，則直線的方程為（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)與圓不相切，則直線的斜率一定存在，設(shè)直線方程為，化簡得，依題意，圓心到直線的距離為1，即，解得或，所以直線的方程為或.故選：D.5.在橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋庶c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，過點(diǎn)的直線恒與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為，則，又，兩式相減得，整理得，所以以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為，即.故選：C.6.在棱長為2的正方體中，E是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以故選：D.7.已知P是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€，可化為，由，解得，所以l過定點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，且，又由圓，可得圓心為，半徑，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到的距離最大，最大距離為，此時(shí)，所以直線的斜率為1，此時(shí)無解，故直線l不存在，所以距離；當(dāng)直線與圓O相交時(shí)，點(diǎn)P到l的距離最小，最小距離為0，故點(diǎn)P到的距離的取值范圍為.故選：D.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闄E圓方程為，所以，，，又線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，所以垂直平分線段，所以，又因?yàn)椋?，，在直角三角形中，，于是的面積為．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓，直線．則以下幾個(gè)結(jié)論正確的有（）A.直線l與圓C相交B.圓C被y軸截得的弦長為C.點(diǎn)C到直線l的距離的最大值是D.直線l被圓C截得的弦長最短時(shí)，直線l的方程為【答案】ACD【解析】由，則，得，即恒過定點(diǎn)，由到圓心的距離，故定點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓恒相交，故A正確；令，則，可得，故圓被軸截得的弦長為，故B錯(cuò)誤；點(diǎn)C到直線l的距離的最大值為圓心到定點(diǎn)的距離，故最大值為，C正確，要使直線被圓截得弦長最短，只需與圓心連線垂直于直線，則，所以，可得，故直線為，故D正確．故選：ACD．10.下列命題為真命題的是（）A.若空間向量，，滿足，則B.若三個(gè)非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，必定共面C.若空間向量，，則D.對于任意空間向量，，必有【答案】BD【解析】若為零向量，有，但不一定成立，A錯(cuò)：三個(gè)非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則它們必共面，B對；若為零向量，，，但不一定成立，C錯(cuò)：由，，而，所以，D對.故選：BD.11.正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則錯(cuò)誤的有（）A.平面B.三棱錐的體積與點(diǎn)的位置有關(guān)C.的最小值為D.當(dāng)時(shí)，平面PEF截正方體的截面形狀為五邊形【答案】BCD【解析】對于A中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則，所以，所以，因?yàn)榍移矫妫云矫?，所以A正確；對于B中，因?yàn)檎襟w中，且，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以棱上的所有點(diǎn)到平面的距離都相等，又因?yàn)辄c(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，所以三棱錐的體積始終為定值，所以B錯(cuò)誤；對于C中，由，因?yàn)?，所以，則，可得，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，所以C錯(cuò)誤；對于D中，連接，取中點(diǎn)為，此時(shí)與交點(diǎn)為點(diǎn)，如圖（1）所示過點(diǎn)作，可得，可得，所以，即，此時(shí)平面截正方體截面圖形為四邊形，所以D不正確.故選：BCD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，，則______．【答案】【解析】由題意，，于是.13.已知向量，，，若三個(gè)向量共面，則______．【答案】【解析】因?yàn)槿蛄抗裁?，所以可設(shè)，即，所以，解得，，所以.14.已知圓與圓外離，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【解析】由題意圓與圓的圓心、半徑依次分別為，因?yàn)閮蓤A外離，所以圓心距滿足，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.的三個(gè)頂點(diǎn)，，，求：（1）邊上的高所在直線方程；（2）AC邊上的中線所在直線方程及中線的長度．解：（1）設(shè)邊上的高所在直線的斜率為，，則，由斜截式知邊上的高所在直線方程為：，即邊上的高所在直線方程為：.（2）的三個(gè)頂點(diǎn)，，，故邊上的中點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，即.邊上的中線的長度.16.如圖，在四棱臺(tái)中，底面是中點(diǎn)．底面為直角梯形，且．（1）證明：直線平面；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：因?yàn)榈酌?，底面，則，由題意可知：，且平面，所以平面，且平面，可得，不妨設(shè)，由題意可得：，可知：，即，且，平面，所以直線平面.（2）解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，可得，設(shè)二面角為，則，所以二面角的正弦值.17.已知圓C和直線，若圓C的圓心為(0,0)，且圓C經(jīng)過直線和的交點(diǎn)．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過定點(diǎn)(1,2)的直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．解：