五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題01集合11種常見考法歸類知識五年考情（2021-2025）命題趨勢知識1集合的含義與表示（5年3考）考點(diǎn)01判斷元素與集合的關(guān)系2022·全國乙卷集合的交并補(bǔ)運(yùn)算是高考中的重點(diǎn)高頻考點(diǎn)，主要還是以不等式作為背景，應(yīng)注重特殊符號，根號，對數(shù)，分式不等式?？键c(diǎn)02根據(jù)元素與集合的關(guān)系求集合2023·上?？键c(diǎn)03集合元素互異性的應(yīng)用2023·全國乙卷考點(diǎn)04集合的表示方法2024·北京2022·北京知識2集合間的基本關(guān)系（5年2考）考點(diǎn)05判斷兩個(gè)集合的關(guān)系2021·上?？键c(diǎn)06根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)2023·新課標(biāo)Ⅱ卷知識3集合間的基本運(yùn)算（5年5考）考點(diǎn)07交集的概念及運(yùn)算2025·北京2025·全國二卷2024·天津2024·全國甲卷2024·新高考全國Ⅰ卷2023·北京2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2022·新高考全國Ⅰ卷2022·新高考全國Ⅱ卷2022·全國甲卷2022·全國乙卷2022·上海2021·新高考全國Ⅰ卷2021·全國甲卷2021·全國乙卷考點(diǎn)08并集的概念及運(yùn)算2024·北京2024·上海2022·浙江2021·北京考點(diǎn)09補(bǔ)集的概念及運(yùn)算2025·全國Ⅰ卷2025·上海2022·北京考點(diǎn)10集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算2025·天津2024·全國甲卷2023·全國甲卷2023·全國乙卷2023·天津2022·天津2022·全國甲卷2021·天津2021·新高考全國Ⅱ卷2021·全國乙卷知識4集合新定義（5年1考）考點(diǎn)11集合新定義2025·北京2025·上?？键c(diǎn)01判斷元素與集合的關(guān)系1．（2022·全國乙卷·高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗先寫出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可【詳析】由題知,對比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤故選:考點(diǎn)02根據(jù)元素與集合的關(guān)系求集合2．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知，，若且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)〖祥解〗根據(jù)給定條件，直接求出集合中的元素作答.【詳析】因?yàn)?，由，得或，又，且，即有且，因此，所?故選：A考點(diǎn)03集合元素互異性的應(yīng)用3．（2023·全國乙卷·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【難度】0.65【知識點(diǎn)】求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列周期性的應(yīng)用、集合元素互異性的應(yīng)用〖祥解〗根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.【詳析】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，則在中，或或于是有或，即有，解得；或者，解得；所以，或.故選：B考點(diǎn)04集合的表示方法4．（2024·北京·高考真題）已知是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.設(shè)是中兩點(diǎn)間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【難度】0.4【知識點(diǎn)】描述法表示集合、三角形面積公式及其應(yīng)用、求平面兩點(diǎn)間的距離〖祥解〗先以t為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，結(jié)合圖形分析求解即可.【詳析】對任意給定，則，且，可知，即，再結(jié)合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，其中，可知任意兩點(diǎn)間距離最大值，陰影部分面積.故選：C.【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時(shí)要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．5．（2022·北京·高考真題）已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識點(diǎn)】描述法表示集合、球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、立體幾何中的軌跡問題〖祥解〗求出以為球心，5為半徑的球與底面的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.【詳析】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，且，故.因?yàn)?，故，故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，而三角形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為故選：B考點(diǎn)05判斷兩個(gè)集合的關(guān)系6．（2021·上海·高考真題）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x|x﹣1}，則（

）A．A?B B． C．A∩B＝ D．A∪B＝R【答案】D【難度】0.65【知識點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、交并補(bǔ)混合運(yùn)算、解不含參數(shù)的一元二次不等式〖祥解〗先求解集合中不等式，計(jì)算，依次判斷即可【詳析】由題意，或由和不存在包含關(guān)系，故選：D考點(diǎn)06根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)7．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)〖祥解〗根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.【詳析】因?yàn)?，則有：若，解得，此時(shí)，，不符合題意；若，解得，此時(shí)，，符合題意；綜上所述：.故選：B.考點(diǎn)07交集的概念及運(yùn)算8．（2024·天津·高考真題）集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)集合交集的概念直接求解即可.【詳析】因?yàn)榧?，，所以，故選：B9．（2025·北京·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗先求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出.【詳析】因?yàn)椋?，故選：D.10．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗利用交集的定義可求.【詳析】由題設(shè)有，故選：B.11．（2022·全國乙卷·高考真題）集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出．【詳析】因?yàn)?，，所以．故選：A.12．（2022·全國甲卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出．【詳析】因?yàn)?，，所以．故選：A.13．（2022·上?！じ呖颊骖}）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗由于是整數(shù)集，結(jié)合交集的概念即可求出結(jié)果.【詳析】因?yàn)?，所以，故選：B.14．（2025·全國二卷·高考真題）已知集合則（

）A． B．C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗求出集合后結(jié)合交集的定義可求.【詳析】，故，故選：D.15．（2024·全國甲卷·高考真題）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)集合的定義先算出具體含有的元素，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.【詳析】依題意得，對于集合中的元素，滿足，則可能的取值為，即，于是.故選：C16．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗求出集合后可求.【詳析】，故，故選：D17．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、由冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式〖祥解〗化簡集合，由交集的概念即可得解.【詳析】因?yàn)?，且注意到，從?故選：A.18．（2023·北京·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗先化簡集合，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.【詳析】由題意，，，根據(jù)交集的運(yùn)算可知，.故選：A19．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.85【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、解不含參數(shù)的一元二次不等式〖祥解〗方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．方法二：將集合中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．【詳析】方法一：因?yàn)?，而，所以．故選：C．方法二：因?yàn)?，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．20．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、公式法解絕對值不等式〖祥解〗方法一：求出集合后可求.【詳析】[方法一]：直接法因?yàn)?，故，故選：B.[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法代入集合，可得，不滿足，排除A、D；代入集合，可得，不滿足，排除C.故選：B.【整體點(diǎn)評】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解．21．（2021·全國甲卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗求出集合后可求.【詳析】，故，故選：B.22．（2021·全國甲卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)交集定義運(yùn)算即可【詳析】因?yàn)?，所?故選：B.【『點(diǎn)石成金』】本題考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的基本概念即可求解.23．（2021·全國乙卷·高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.94【知識點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳析】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.考點(diǎn)08并集的概念及運(yùn)算24．（2022·浙江·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算〖祥解〗利用并集的定義可得正確的選項(xiàng).【詳析】，故選：D.25．（2021·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算〖祥解〗結(jié)合題意利用并集的定義計(jì)算即可.【詳析】由題意可得：.故選：B.26．（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【難度】0.94【知識點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算〖祥解〗直接根據(jù)并集含義即可得到答案.【詳析】由題意得.故選：C.27．（2024·上?！じ呖颊骖}）設(shè)全集，集合，則．【答案】【難度】0.94【知識點(diǎn)】補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)補(bǔ)集的定義可求.【詳析】由題設(shè)有，故答案為：考點(diǎn)09補(bǔ)集的概念及運(yùn)算28．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)全集，集合，則中元素個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．3 C．5 D．8【答案】C【難度】0.94【知識點(diǎn)】補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求出．【詳析】因?yàn)椋?，中的元素個(gè)數(shù)為，故選：C．29．（2025·上海·高考真題）已知全集，集合，則．【答案】/【難度】0.94【知識點(diǎn)】補(bǔ)集的概念及運(yùn)算、區(qū)間的定義與表示〖祥解〗根據(jù)補(bǔ)集的含義即可得到答案.【詳析】根據(jù)補(bǔ)集的含義知.故答案為：.30．（2022·北京·高考真題）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點(diǎn)】補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng)．【詳析】由補(bǔ)集定義可知：或，即，故選：D．考點(diǎn)10集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算31．（2021·天津·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.94【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)交集并集的定義即可求出.【詳析】，，.故選：C.32．（2024·全國甲卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗由集合的定義求出，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳析】因?yàn)?，所以，則，故選：D33．（2022·天津·高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗先求出，再根據(jù)交集的定義可求.【詳析】，故，故選：A.34．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.【詳析】由題設(shè)可得，故，故選：B.35．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗由題意可得的值，然后計(jì)算即可.【詳析】由題意可得，則.故選：A.36．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【詳析】因?yàn)槿?，所以，又，所以，故選：A.37．（2025·天津·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗由集合的并集、補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解.【詳析】由，則，集合，故故選：D.38．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)全集,集合，（

）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出．【詳析】因?yàn)檎麛?shù)集，，所以，．故選：A．39．（2023·天津·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗對集合B求補(bǔ)集，應(yīng)用集合的并運(yùn)算求結(jié)果；【詳析】由，而，所以.故選：A40．（2022·全國甲卷·高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.【詳析】由題意，，所以,所以.故選：D.41．（2021·全國乙卷·高考真題）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.85【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算即可.【詳析】由題意可得：，則.故選：A.42．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)集合，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.65【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、并集的概念及運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算、交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.【詳析】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，則或，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；或，則或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.考點(diǎn)11集合新定義43．（2025·北京·高考真題）已知集合，從M中選取n個(gè)不同的元素組成一個(gè)序列：，其中稱為該序列的第i項(xiàng)，若該序列的相鄰項(xiàng)滿足：或，則稱該序列為K列．(1)對于第1項(xiàng)為的K列，寫出它的第2項(xiàng)．(2)設(shè)為K列，且中的項(xiàng)滿足：當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，：當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)，.判斷，能否同時(shí)為中的項(xiàng)，并說明理由；(3)證明：由M的全部元素組成的序列都不是K列．【答案】(1)或(2)不能，理由見解析(3)證明過程見解析【難度】0.4【知識點(diǎn)】集合新定義〖祥解〗（1）根據(jù)新定義即可得解；（2）假設(shè)與能同時(shí)在中，導(dǎo)出矛盾，從而得出與不能同時(shí)在中的結(jié)論；（3）假設(shè)全體元素構(gòu)成一個(gè)K列，通過構(gòu)造導(dǎo)出矛盾，從而得到要證明的結(jié)論.【詳析】（1）根據(jù)題目定義可知，或，若第一項(xiàng)為，顯然或不符合題意（不在集合中），所以下一項(xiàng)是或；（2）假設(shè)二者同時(shí)出現(xiàn)在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨設(shè)在之前.顯然，在K列中，相鄰兩項(xiàng)的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性總是相反的，所以從到必定要向下一項(xiàng)走奇數(shù)次.但又根據(jù)題目條件，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)均在中，所以從到必定要向下一項(xiàng)走偶數(shù)次.這導(dǎo)致矛盾，所以二者不能同時(shí)出現(xiàn)在中.（3）法1：若中的所有元素構(gòu)成K列，考慮K列中形如的項(xiàng)，這樣的項(xiàng)共有個(gè)，由題知其下一項(xiàng)為，共計(jì)16個(gè)，而，因?yàn)橹荒?由2來，3只能由7來，橫、縱坐標(biāo)不能同時(shí)相差4，這樣下一項(xiàng)只能有12個(gè)點(diǎn)，即對于16個(gè)，有12個(gè)與之相對應(yīng)，矛盾．綜上，由M的全部元素組成的序列都不是K列．法2：假設(shè)全體元素構(gòu)成一個(gè)K列，則.設(shè)，.則和都包含個(gè)元素，且中元素的相鄰項(xiàng)必定在中.如果存在至少兩對相鄰的項(xiàng)屬于，那么屬于的項(xiàng)的數(shù)目一定多于屬于的項(xiàng)的數(shù)目，所以至多存在一對相鄰的項(xiàng)屬于.如果存在，則這對相鄰的項(xiàng)的序號必定形如和，否則將導(dǎo)致屬于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)比屬于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)多2，此時(shí).從而這個(gè)序列的前項(xiàng)中，第奇數(shù)項(xiàng)屬于，第偶數(shù)項(xiàng)屬于；這個(gè)序列的后項(xiàng)中，第奇數(shù)項(xiàng)屬于，第偶數(shù)項(xiàng)屬于.如果不存在相鄰的屬于的項(xiàng)，那么也可以看作上述表示在或的特殊情況.這意味著必定存在，使得.由于相鄰兩項(xiàng)的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性必定相反，故中橫縱坐標(biāo)之和為奇數(shù)的點(diǎn)和橫縱坐標(biāo)之和為偶數(shù)的點(diǎn)的數(shù)量一定分別是和（不一定對應(yīng)）.但容易驗(yàn)證，和都包含個(gè)橫縱坐標(biāo)之和為奇數(shù)的點(diǎn)和個(gè)橫縱坐標(biāo)之和為偶數(shù)的點(diǎn)，所以，得.從而有.這就得到.再設(shè)，.則同理有.這意味著.從而得到，但顯然它們是不同的集合，矛盾.所以由M的全部元素組成的序列都不是K列．44．（2025·上海·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋畬τ谡龑?shí)數(shù)a，定義集合．(1)若，判斷是否是中的元素，請說明理由；(2)若，求a的取值范圍；(3)若是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對任意，均有．寫出，解析式，并證明：對任意實(shí)數(shù)c，函數(shù)在上至多有9個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)不是；(2)；(3)證明見解析.【難度】0.4【知識點(diǎn)】求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)、集合新定義、由奇偶性求函數(shù)解析式、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用〖祥解〗（1）直接代入計(jì)算和即可；（2）法一：轉(zhuǎn)化為在實(shí)數(shù)使得，分析得，再計(jì)算得，最后根據(jù)的范圍即可得到答案；法二：畫出函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為直線與該函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，將用表示，最后利用二次函數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；（3）利用函數(shù)奇偶性和集合新定義即可求出時(shí)解析式，再分析出，最后對的范圍進(jìn)行分類討論即可.【詳析】（1）（1），，則不是中的元素.（2）法一：因?yàn)椋瑒t存在實(shí)數(shù)使得，且，當(dāng)時(shí)，，其在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，其在上也嚴(yán)格單調(diào)遞增，則，則，令，解得，則，則.法二：作出該函數(shù)圖象，則由題意知直線與該函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖知，假設(shè)交點(diǎn)分別為，，聯(lián)立方程組得（3）（3）對任意，因?yàn)槠涫桥己瘮?shù)，則，而，所以，所以，因?yàn)?，則，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，，則，，則，而，，則，則，所以當(dāng)時(shí)，，而為偶函數(shù)，畫出函數(shù)圖象如下：其中，但其對應(yīng)的值均未知.首先說明，若，則，易知此時(shí)，則，所以，而時(shí)，，所以，與矛盾，所以，即，令，則，當(dāng)時(shí)，即使讓，此時(shí)最多7個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)最多5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)最多5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，若，則，易知此時(shí)，則，所以，而時(shí)，，所以，與矛盾，所以，則最多在之間取得6個(gè)零點(diǎn)，以及在處成為零點(diǎn)，故不超過9個(gè)零點(diǎn).綜上，零點(diǎn)不超過9個(gè).專題01集合11種常見考法歸類知識五年考情（2021-2025）命題趨勢知識1集合的含義與表示（5年3考）考點(diǎn)01判斷元素與集合的關(guān)系2022·全國乙卷集合的交并補(bǔ)運(yùn)算是高考中的重點(diǎn)高頻考點(diǎn)，主要還是以不等式作為背景，應(yīng)注重特殊符號，根號，對數(shù)，分式不等式?？键c(diǎn)02根據(jù)元素與集合的關(guān)系求集合2023·上?？键c(diǎn)03集合元素互異性的應(yīng)用2023·全國乙卷考點(diǎn)04集合的表示方法2024·北京2022·北京知識2集合間的基本關(guān)系（5年2考）考點(diǎn)05判斷兩個(gè)集合的關(guān)系2021·上?？键c(diǎn)06根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)2023·新課標(biāo)Ⅱ卷知識3集合間的基本運(yùn)算（5年5考）考點(diǎn)07交集的概念及運(yùn)算2025·北京2025·全國二卷2024·天津2024·全國甲卷2024·新高考全國Ⅰ卷2023·北京2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2022·新高考全國Ⅰ卷2022·新高考全國Ⅱ卷2022·全國甲卷2022·全國乙卷2022·上海2021·新高考全國Ⅰ卷2021·全國甲卷2021·全國乙卷考點(diǎn)08并集的概念及運(yùn)算2024·北京2024·上海2022·浙江2021·北京考點(diǎn)09補(bǔ)集的概念及運(yùn)算2025·全國Ⅰ卷2025·上海2022·北京考點(diǎn)10集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算2025·天津2024·全國甲卷2023·全國甲卷2023·全國乙卷2023·天津2022·天津2022·全國甲卷2021·天津2021·新高考全國Ⅱ卷2021·全國乙卷知識4集合新定義（5年1考）考點(diǎn)11集合新定義2025·北京2025·上?？键c(diǎn)01判斷元素與集合的關(guān)系1．（2022·全國乙卷·高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗先寫出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可【詳析】由題知,對比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤故選:考點(diǎn)02根據(jù)元素與集合的關(guān)系求集合2．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知，，若且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)〖祥解〗根據(jù)給定條件，直接求出集合中的元素作答.【詳析】因?yàn)?，由，得或，又，且，即有且，因此，所?故選：A考點(diǎn)03集合元素互異性的應(yīng)用3．（2023·全國乙卷·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【難度】0.65【知識點(diǎn)】求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列周期性的應(yīng)用、集合元素互異性的應(yīng)用〖祥解〗根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.【詳析】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，則在中，或或于是有或，即有，解得；或者，解得；所以，或.故選：B考點(diǎn)04集合的表示方法4．（2024·北京·高考真題）已知是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.設(shè)是中兩點(diǎn)間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【難度】0.4【知識點(diǎn)】描述法表示集合、三角形面積公式及其應(yīng)用、求平面兩點(diǎn)間的距離〖祥解〗先以t為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，結(jié)合圖形分析求解即可.【詳析】對任意給定，則，且，可知，即，再結(jié)合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，其中，可知任意兩點(diǎn)間距離最大值，陰影部分面積.故選：C.【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時(shí)要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．5．（2022·北京·高考真題）已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識點(diǎn)】描述法表示集合、球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、立體幾何中的軌跡問題〖祥解〗求出以為球心，5為半徑的球與底面的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.【詳析】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，且，故.因?yàn)椋?，故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，而三角形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為故選：B考點(diǎn)05判斷兩個(gè)集合的關(guān)系6．（2021·上海·高考真題）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x|x﹣1}，則（

）A．A?B B． C．A∩B＝ D．A∪B＝R【答案】D【難度】0.65【知識點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、交并補(bǔ)混合運(yùn)算、解不含參數(shù)的一元二次不等式〖祥解〗先求解集合中不等式，計(jì)算，依次判斷即可【詳析】由題意，或由和不存在包含關(guān)系，故選：D考點(diǎn)06根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)7．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)〖祥解〗根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.【詳析】因?yàn)椋瑒t有：若，解得，此時(shí)，，不符合題意；若，解得，此時(shí)，，符合題意；綜上所述：.故選：B.考點(diǎn)07交集的概念及運(yùn)算8．（2024·天津·高考真題）集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)集合交集的概念直接求解即可.【詳析】因?yàn)榧?，，所以，故選：B9．（2025·北京·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗先求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出.【詳析】因?yàn)?，所以，故選：D.10．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗利用交集的定義可求.【詳析】由題設(shè)有，故選：B.11．（2022·全國乙卷·高考真題）集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出．【詳析】因?yàn)?，，所以．故選：A.12．（2022·全國甲卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出．【詳析】因?yàn)?，，所以．故選：A.13．（2022·上海·高考真題）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗由于是整數(shù)集，結(jié)合交集的概念即可求出結(jié)果.【詳析】因?yàn)?，所以，故選：B.14．（2025·全國二卷·高考真題）已知集合則（

）A． B．C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗求出集合后結(jié)合交集的定義可求.【詳析】，故，故選：D.15．（2024·全國甲卷·高考真題）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)集合的定義先算出具體含有的元素，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.【詳析】依題意得，對于集合中的元素，滿足，則可能的取值為，即，于是.故選：C16．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗求出集合后可求.【詳析】，故，故選：D17．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、由冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式〖祥解〗化簡集合，由交集的概念即可得解.【詳析】因?yàn)?，且注意到，從?故選：A.18．（2023·北京·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗先化簡集合，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.【詳析】由題意，，，根據(jù)交集的運(yùn)算可知，.故選：A19．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.85【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、解不含參數(shù)的一元二次不等式〖祥解〗方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．方法二：將集合中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．【詳析】方法一：因?yàn)椋?，所以．故選：C．方法二：因?yàn)?，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．20．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、公式法解絕對值不等式〖祥解〗方法一：求出集合后可求.【詳析】[方法一]：直接法因?yàn)?，故，故選：B.[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法代入集合，可得，不滿足，排除A、D；代入集合，可得，不滿足，排除C.故選：B.【整體點(diǎn)評】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解．21．（2021·全國甲卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗求出集合后可求.【詳析】，故，故選：B.22．（2021·全國甲卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)交集定義運(yùn)算即可【詳析】因?yàn)?，所?故選：B.【『點(diǎn)石成金』】本題考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的基本概念即可求解.23．（2021·全國乙卷·高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.94【知識點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、交集的概念及運(yùn)算〖祥解〗分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳析】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.考點(diǎn)08并集的概念及運(yùn)算24．（2022·浙江·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算〖祥解〗利用并集的定義可得正確的選項(xiàng).【詳析】，故選：D.25．（2021·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算〖祥解〗結(jié)合題意利用并集的定義計(jì)算即可.【詳析】由題意可得：.故選：B.26．（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【難度】0.94【知識點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算〖祥解〗直接根據(jù)并集含義即可得到答案.【詳析】由題意得.故選：C.27．（2024·上海·高考真題）設(shè)全集，集合，則．【答案】【難度】0.94【知識點(diǎn)】補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)補(bǔ)集的定義可求.【詳析】由題設(shè)有，故答案為：考點(diǎn)09補(bǔ)集的概念及運(yùn)算28．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)全集，集合，則中元素個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．3 C．5 D．8【答案】C【難度】0.94【知識點(diǎn)】補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求出．【詳析】因?yàn)?，所以，中的元素個(gè)數(shù)為，故選：C．29．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知全集，集合，則．【答案】/【難度】0.94【知識點(diǎn)】補(bǔ)集的概念及運(yùn)算、區(qū)間的定義與表示〖祥解〗根據(jù)補(bǔ)集的含義即可得到答案.【詳析】根據(jù)補(bǔ)集的含義知.故答案為：.30．（2022·北京·高考真題）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點(diǎn)】補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng)．【詳析】由補(bǔ)集定義可知：或，即，故選：D．考點(diǎn)10集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算31．（2021·天津·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.94【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)交集并集的定義即可求出.【詳析】，，.故選：C.32．（2024·全國甲卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗由集合的定義求出，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳析】因?yàn)?，所以，則，故選：D33．（2022·天津·高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗先求出，再根據(jù)交集的定義可求.【詳析】，故，故選：A.34．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.【詳析】由題設(shè)可得，故，故選：B.35．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗由題意可得的值，然后計(jì)算即可.【詳析】由題意可得，則.故選：A.36．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算〖祥解〗利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【詳析】因?yàn)槿?，所以，又，所以，故選：A.37．（2025·天津·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗由集合的并集、補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解.【詳析】由，則，集合，故故選：D.38．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)全集,集合，（

）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出．【詳析】因?yàn)檎麛?shù)集，，所以，．故選：A．39．（2023·天津·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗對集合B求補(bǔ)集，應(yīng)用集合的并運(yùn)算求結(jié)果；【詳析】由，而，所以.故選：A40．（2022·全國甲卷·高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.【詳析】由題意，，所以,所以.故選：D.41．（2021·全國乙卷·高考真題）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.85【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算即可.【詳析】由題意可得：，則.故選：A.42．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)集合，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.65【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、并集的概念及運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算、交并補(bǔ)混合運(yùn)算〖祥解〗由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.【詳析】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，則或，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；或，則或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.考點(diǎn)11集合新定義43．（2025·北京·高考真題）已知集合，從M中選取n個(gè)不同的元素組成一個(gè)序列：，其中稱為該序列的第i項(xiàng)，若該序列的相鄰項(xiàng)滿足：或，則稱該序列為K列．(1)對于第1項(xiàng)為的K列，寫出它的第2項(xiàng)．(2)設(shè)為K列，且中的項(xiàng)滿足：當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，：當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)，.判