2025年大學統(tǒng)計學期末考試題庫：統(tǒng)計與決策案例分析試題型考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______試題一某快餐連鎖店為了解其新產品（一種新口味的漢堡）的接受程度，在市中心隨機抽取了200名消費者進行調查。調查結果顯示，有120名消費者表示喜歡這種新口味的漢堡。管理層希望估計總體中喜歡該新口味漢堡的消費者比例，并希望以95%的置信水平使估計誤差不超過5%。請回答以下問題：1.基于樣本數據，計算喜歡該新口味漢堡的消費者比例的點估計值。2.計算總體中喜歡該新口味漢堡的消費者比例的95%置信區(qū)間。3.假設管理層希望將估計誤差縮小到3%，在樣本量不變的情況下，這種置信水平下的估計是否可行？請解釋原因。試題二一家汽車制造公司想知道某種新型電動汽車的續(xù)航里程是否符合其宣傳的500公里/次的指標。為此，他們隨機抽取了30輛電動汽車進行測試，記錄了它們的實際續(xù)航里程（單位：公里）。假設續(xù)航里程數據服從正態(tài)分布，樣本平均續(xù)航里程為495公里，樣本標準差為15公里。請根據這些信息回答：1.提出檢驗該新型電動汽車續(xù)航里程是否符合宣傳指標的零假設和備擇假設。2.選擇恰當的假設檢驗方法，并說明理由。3.假設顯著性水平為0.05，計算檢驗的p值，并據此做出統(tǒng)計決策。4.解釋你的統(tǒng)計決策意味著什么。試題三一家零售公司想要分析其顧客的年齡（歲）與其月均消費額（元）之間的關系。他們收集了100名顧客的數據，并考慮使用簡單線性回歸模型來研究這兩者之間的關系。初步計算結果顯示，月均消費額對年齡的回歸系數為-50，回歸模型的R2為0.32。請回答以下問題：1.解釋回歸系數-50的實際意義。2.解釋R2值為0.32的實際意義。3.基于以上信息，該公司可以得出關于顧客年齡和月均消費額之間關系的哪些結論？4.在進行回歸分析時，需要考慮哪些重要的假設條件？請列舉至少兩項。試題四一家銀行想知道其信用卡客戶的月消費額（X，單位：元）與其月收入（Y，單位：元）之間是否存在線性相關關系。他們隨機抽取了50名信用卡客戶，獲得了他們的月消費額和月收入數據。計算得到樣本相關系數r為0.65。請回答以下問題：1.解釋樣本相關系數r=0.65的實際意義。2.你認為月收入和月消費額之間是正相關還是負相關？請解釋理由。3.如果銀行想利用客戶的月收入來預測其月消費額，你是否建議使用線性回歸模型？請說明理由。4.除了相關系數和回歸分析，還有哪些統(tǒng)計方法可以用來分析月收入和月消費額之間的關系？請簡要說明。試題五一家制藥公司研發(fā)了一種新藥，希望了解該藥物能否有效降低患者的血壓。他們進行了一項臨床試驗，將參與試驗的患者隨機分為兩組：實驗組（n?=50）服用新藥，對照組（n?=50）服用安慰劑。試驗結束后，測量了兩組患者的收縮壓（單位：mmHg），數據如下（單位：mmHg）：*實驗組樣本均值：130*實驗組樣本標準差：15*對照組樣本均值：135*對照組樣本標準差：20假設兩組患者的收縮壓數據均近似服從正態(tài)分布，且兩組方差相等。請回答以下問題：1.提出檢驗新藥能否有效降低患者收縮壓的零假設和備擇假設。2.選擇恰當的假設檢驗方法，并說明理由。3.假設顯著性水平為0.01，請計算檢驗的p值（或提供檢驗統(tǒng)計量的值和P值所在的區(qū)間），并據此做出統(tǒng)計決策。4.解釋你的統(tǒng)計決策意味著什么。如果決策是拒絕零假設，請為新藥的有效性提供合理解釋。試卷答案試題一1.點估計值為120/200=0.60，即60%。2.由于p?=0.60，n=200，置信水平為95%，查標準正態(tài)分布表得z_(α/2)=1.96。標準誤SE=sqrt[p?(1-p?)/n]=sqrt[0.60(1-0.60)/200]=sqrt[0.24/200]=sqrt(0.0012)≈0.0346。置信區(qū)間=p?±z_(α/2)*SE=0.60±1.96*0.0346≈0.60±0.0681。即(0.5319,0.6681)。3.不可行。根據公式n=(z_(α/2)*sqrt[p?(1-p?)])2/E2，要使E縮小到3（即0.03），需要n=(1.96*sqrt[0.60*0.40])2/0.032=(1.96*0.48)2/0.0009=0.94082/0.0009≈0.8851/0.0009≈989。所需樣本量遠大于200，因此原樣本量無法滿足將誤差縮小到3%的要求。試題二1.H?:μ=500(新型電動汽車的續(xù)航里程符合宣傳的500公里/次)H?:μ≠500(新型電動汽車的續(xù)航里程不符合宣傳的500公里/次)2.選擇獨立樣本t檢驗。理由：樣本來自兩個獨立總體（實驗組與對照組），總體標準差未知，但假設方差相等，且樣本量n=30屬于小樣本。3.檢驗統(tǒng)計量t=(x??-μ?)/(s_p*sqrt(n?/n?))，其中s_p=sqrt[((n?-1)s?2+(n?-1)s?2)/(n?+n?-2)]=sqrt[((30-1)152+(30-1)202)/(30+30-2)]=sqrt[(4350+5700)/58]=sqrt(10050/58)≈sqrt(173.10)≈13.15。s_p≈13.15。t=(495-500)/(13.15*sqrt(30/30))=-5/13.15≈-0.381。查t分布表，自由度df=n?+n?-2=58，顯著性水平α=0.05，雙側檢驗，t_(0.025,58)≈2.002。由于|-0.381|<2.002，p值>0.05。決策：不拒絕H?。4.統(tǒng)計決策意味著沒有足夠的統(tǒng)計證據表明新型電動汽車的續(xù)航里程不符合宣傳的500公里/次?？梢哉J為，基于本次試驗數據，該新型電動汽車的續(xù)航里程符合其宣傳指標。試題三1.回歸系數-50表示，在其他因素保持不變的情況下，顧客年齡每增加1歲，其月均消費額預計平均減少50元。2.R2值為0.32表示，在月均消費額的變動中，有32%可以由顧客年齡的變化來解釋?；蛘弑硎绢櫩湍挲g與月均消費額之間存在中等程度的線性關系。3.結論：顧客年齡與月均消費額之間存在顯著的負線性相關關系（因為回歸系數為負）。年齡越大的顧客，其月均消費額可能越低。但R2值僅為0.32，說明年齡只能解釋消費額變動的32%，還有其他因素對消費額影響更大。4.重要假設條件：線性關系（數據點呈線性趨勢）、誤差項獨立（一個觀測值的誤差與另一個觀測值的誤差不相關）、誤差項具有零均值（平均而言，誤差項的期望值為0）、誤差項方差齊性（所有觀測值的誤差方差相同）、誤差項服從正態(tài)分布。試題四1.樣本相關系數r=0.65表示，在樣本中，月收入和月消費額之間存在中等強度的正線性相關關系。即月收入越高，月消費額也傾向于越高。2.正相關。因為相關系數r=0.65為正值，說明兩個變量之間的變動方向一致。3.建議使用。因為存在中等強度的正相關關系，且假設條件（如線性、誤差項正態(tài)性等）通常也較容易滿足，回歸模型可以用來根據月收入預測月消費額。4.其他方法：方差分析（ANOVA）可以用來檢驗不同收入組別之間的消費額是否存在差異；列聯表分析（卡方檢驗）可以用來檢驗收入水平與消費額（分類）之間是否存在關聯。試題五1.H?:μ?=μ?(兩組患者的收縮壓無差異)H?:μ?<μ?(實驗組患者的收縮壓低于對照組)2.選擇配對樣本t檢驗（如果數據是同一組患者在服用藥物前后測量的）或獨立樣本t檢驗（如果數據是兩組不同患者測量的，且已知方差相等，根據題目描述，后者更合適）。理由：樣本來自兩個獨立總體（實驗組與對照組），總體標準差未知，但假設方差相等，且樣本量n?=n?=50屬于中等樣本量。3.檢驗統(tǒng)計量t=(x??-x??)/(s_p*sqrt(1/n?+1/n?))，其中s_p=sqrt[((n?-1)s?2+(n?-1)s?2)/(n?+n?-2)]=sqrt[((50-1)152+(50-1)202)/(50+50-2)]=sqrt[(7190+9800)/98]=sqrt(17090/98)≈sqrt(174.69)≈13.22。s_p≈13.22。t=(130-135)/(13.22*sqrt(1/50+1/50))=-5/(13.22*sqrt(2/50))=-5/(13.22*0.1414)